Multiple positive solutions to a perturbed Gelfand problem involving mixed local-nonlocal operators and singular nonlinearity

技术摘要：涉及混合局部-非局部算子与奇异非线性的扰动 Gelfand 问题存在多个正解的研究

问题陈述
本文研究了由混合局部-非局部 $p$-Laplacian 算子驱动的扰动 Gelfand 型边界值问题在正解的存在性与多重性问题。该问题表述为：
$$\begin{cases} -\Delta_p u + (-\Delta_p)_s u = \lambda \frac{f(u)}{u^\beta} & \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u > 0 & \text{在 } \Omega \text{ 内}, \\ u = 0 & \text{在 } \mathbb{R}^N \setminus \Omega \text{ 内}, \end{cases} \quad (P_\lambda)$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是一个光滑有界区域，$1 < p < \infty$，$s \in (0, 1)$，$\lambda > 0$ 是一个参数，$0 \le \beta < 1$。非线性函数 $f: [0, \infty) \to (0, \infty)$ 是一个 $C^1$ 增函数且满足 $f(0) > 0$。该算子结合了局部 $p$-Laplacian $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 和通过主值积分定义的非局部分数 $p$-Laplacian。

本研究受到化学动力学中燃烧模型（特别是遵循 Arrhenius 定律的小燃料损失稳态模型）的启发。奇异项 $u^{-\beta}$ 的引入以及混合算子的结构增加了分析上的挑战，特别是在解的正则性以及比较原理的应用方面。

研究方法
采用的主要分析工具是经过改进的次/超解方法（method of sub- and supersolutions），以处理非线性函数的奇异性质和混合算子的结构。

1. 泛函框架： 作者在空间 $X_0^{1,p}(\Omega)$ 中开展工作，该空间定义为 $C_c^\infty(\Omega)$ 在结合了 $W^{1,p}$ 范数和 Gagliardo 半范数的范数下的完备化。该空间自然地包含了 Dirichlet 边界条件 $u=0$ 在 $\mathbb{R}^N \setminus \Omega$ 中的要求。
2. 次解与超解的构造：
   • 对于任何 $\lambda > 0$，利用线性问题解的一个较小倍数以及一个特定奇异解 $\psi_0$ 的一个较大倍数，构造了第一对严格次解与超解 $(\phi_1, \psi_1)$。
   • 在 $f$ 满足特定结构条件（记作 (f1)–(f5)）的情况下，构造了第二对 $(\phi_2, \psi_2)$。此构造依赖于针对混合设置定制的辅助函数和截断技术，避免了依赖于纯局部或纯分数背景下常见的 ODE 技术或格林函数估计。
3. 不动点定理：
   • 对于两个解的存在性，作者在由次解和超解定义的有序区间内利用单调迭代法。
   • 对于第三个解的存在性，论文采用了 Amann 不动点定理。这要求建立解映射是完全连续的，并且次/超解对满足特定的排序和不相交性质。
4. 强比较原理： 方法论的一个关键组成部分是推导具有奇异非线性的线性混合算子的 Hopf 型强比较原理 (SCP)，这涉及证明解之间以及解与其在边界上的法向导数之间的严格不等式。

主要贡献与结果

• 两个解的存在性 (定理 1.1)： 在假设 (f1)–(f3) 下，对于每个 $\lambda > 0$，该问题至少有一个正解。若 $f$ 进一步满足条件 (f4) 和 (f5)，则存在一个参数区间 $(\lambda_*, \lambda^*)$，在此区间内该问题至少有两个不同的正解。
• 三个解的存在性 (定理 1.2 & 1.4)： 论文在两种特定情形下建立了“三解定理”：
  1. 非奇异情形 ($\beta = 0, p > 1$)： 对于 $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$，存在三个不同的正解。
  2. 线性奇异情形 ($p = 2, 0 < \beta < 1$)： 对于 $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$，存在三个不同的正解。
     在这些情形下，分叉图被证明具有具有两个转折点的 S 型结构，分别对应于点火极限和熄灭极限。
• Hopf 型强比较原理 (定理 1.3)： 作者证明了一个针对具有奇异非线性的线性混合算子的新型强比较原理。具体而言，若 $u_1, u_2$ 满足方程且 $f_1 \le f_2$（且 $f_1 \not\equiv f_2$），则在 $\Omega$ 内 $u_1 < u_2$，且在边界 $\partial \Omega$ 上 $\frac{\partial u_2}{\partial \nu} < \frac{\partial u_1}{\partial \nu} < 0$。该结果对整个 $s \in (0, 1)$ 范围均成立，改进了以往仅限于 $s < 1/2$ 的结果。
• 新颖的构造技术： 次解与超解的构造避开了传统的 ODE 技术和格林函数估计，提供了一个更易于适应非线性和非局部算子的框架。

意义与局限性
该论文声称提供了关于具有奇异非线性的混合局部-非局部问题的首个多重性和三解结果。一个重要的贡献是开发了线性混合设置下奇异问题的 Hopf 型 SCP，这被描述为推导第三个解的关键工具，并具有更广泛的数学意义。

作者明确指出了一个局限性：对于一般的非线性奇异情形（$p \neq 2$ 且 $0 < \beta < 1$），第三个解的存在性仍是一个开放性问题。主要的障碍在于证明非线性混合算子的 Hopf 型强比较原理存在困难。论文最后指出，后续工作将致力于开发针对非线性及非齐次混合算子的 Hopf 型 SCP，从而允许将三解定理扩展到一般情形。

研究结果是以非线性椭圆型偏微分方程框架下的严谨数学证明形式呈现的，特别关注了局部扩散、非局部相互作用以及奇异反应项之间的相互作用。