Statistical description and dimension reduction of continuous time categorical trajectories with multivariate functional principal components

तकनीकी सारांश: निरंतर समय श्रेणीबद्ध प्रक्षेपवक्रों का सांख्यिकीय विवरण और आयामी न्यूनीकरण (Dimension Reduction)

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र निरंतर-समय श्रेणीबद्ध प्रक्षेपवक्रों (categorical trajectories) के सेटों के सांख्यिकीय विवरण और तुलना की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि फंकशनल डेटा एनालिसिस (FDA) ने $\mathbb{R}$ में मान लेने वाले यादृच्छिक प्रक्षेपवक्रों के लिए उपकरणों का व्यापक रूप से विकास किया है, गैर-संख्यात्मक अवस्थाओं के एक परिमित सेट $S = \{S_1, \dots, S_q\}$ में मान लेने वाले प्रक्षेपवक्रों पर कम ध्यान दिया गया है।

मौजूदा दृष्टिकोण विशिष्ट सीमाओं का सामना करते हैं:

• कैटेगोरिकल फंकशनल डेटा एनालिसिस (CFDA): यह निरंतर-समय पत्राचार विश्लेषण (Deville, 1982) पर आधारित है, जो प्रक्षेपवक्रों को वास्तविक घटकों (real components) में एनकोड करता है। हालाँकि, व्यक्तिगत प्रक्षेपवक्रों की व्याख्या अक्सर जटिल होती है, और यह विधि उन अवस्थाओं के साथ संघर्ष करती है जिनकी कुछ समय पर होने की संभावना शून्य होती है।
• मार्कोव/सेमी-मार्कोव प्रक्रियाएं: ये जनसंख्या स्तर पर प्रक्षेपवक्रों के नियम को मॉडल करती हैं, लेकिन व्यक्तिगत स्तर के विश्लेषण के लिए अक्सर बहुत सरल होती हैं। इसके अलावा, वे उन ढांचों के साथ संघर्ष करती हैं जहाँ कई अवस्थाएं एक साथ देखी जा सकती हैं (जैसे, टेम्पोरल चेक-ऑल-दैट-अप्लाई या TCATA), क्योंकि इसके लिए सिस्टम अवस्थाओं की संख्या में घातीय वृद्धि ($2^q$) की आवश्यकता होती है।

लेखक बिना सूचना खोए श्रेणीबद्ध प्रक्षेपवक्रों के सरल प्रतिनिधित्व और तुलना के लिए एक उपकरण प्रदान करने का लक्ष्य रखते हैं, विशेष रूप से उन परिदृश्यों को समायोजित करते हैं जहाँ प्रक्षेपवक्र सीमित जंप के साथ पीसवाइज कांस्टेंट (piecewise constant) होते हैं और जहाँ कई अवस्थाएं सह-अस्तित्व में हो सकती हैं।

2. कार्यप्रणाली

प्रस्तावित दृष्टिकोण श्रेणीबद्ध प्रक्षेपवक्रों के सांख्यिकीय विवरण की समस्या को मल्टीवेरिएट फंकशनल प्रिंसिपल कंपोनेंट्स एनालिसिस (MFPCA) में परिवर्तित करता है।

गणितीय ढांचा:

• बाइनरी इंडिकेटर ट्रांसफॉर्मेशन: श्रेणीबद्ध प्रक्रिया $Y(t)$ का सीधे विश्लेषण करने के बजाय, लेखक प्रत्येक अवस्था $S_j$ को एक बाइनरी रैंडम इंडिकेटर फंक्शन $X_j(t) = \mathbb{1}_{\{Y(t) \ni S_j\}}$ से जोड़ते हैं। यह एक मल्टीवेरिएट फंकशनल वेक्टर $X(t) = (X_1(t), \dots, X_q(t))$ बनाता है जो $\{0, 1\}^q$ में मान लेता है।
• फंकशनल स्पेस: प्रक्षेपवक्रों को हिल्बर्ट स्पेस $H = L^2([0, T], \mathbb{R}^q)$ में रैंडम एलिमेंट्स के रूप में मॉडल किया गया है। लेखक यह स्थापित करते हैं कि कमजोर परिकल्पना के तहत कि प्रक्षेपवक्र प्रायिकता में निरंतर (continuous in probability) हैं (परिकल्पना H1) और $D([0, T], \mathbb{R}^q)$ के राइट-कंटीन्यूअस फंक्शन्स के स्पेस से संबंधित हैं, ये प्रक्रियाएं संयुक्त रूप से मापने योग्य (jointly measurable) हैं और इनका सुस्पष्ट माध्य (mean) और कोवेरिएंस ऑपरेटर है।
• एडिटिव डीकंपोजिशन: CFDA के विपरीत, जो संयुक्त प्रायिकताओं के गुणात्मक (multiplicative) अपघटन का उपयोग करता है, यह विधि कोवेरिएंस संरचना के योगात्मक (additive) अपघटन पर निर्भर करती है। कोवेरिएंस ऑपरेटर $\Gamma$ को कर्नेल $\gamma(s, t)$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जहाँ ऑफ-डायगोनल टर्म्स स्वतंत्रता से विचलन का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• आयामी न्यूनीकरण (Dimension Reduction): यह विधि $X$ पर MFPCA करती है। कारकुनेंन-लोएव (Karhunen-Loève) विस्तार एफिंग फंक्शन $\phi_r$ द्वारा स्पैन किए गए लो-डायमेंशनल सबस्पेस में केंद्रित प्रक्रिया $X - p$ (जहाँ $p$ माध्य प्रक्षेपवक्य है) के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।

अनुमान (Estimation):

• संगति (Consistency): शोध पत्र कमजोर नियमितता धारणाओं के तहत अनुभवजन्य माध्य $\hat{p}$ और अनुभवजन्य कोवेरिएंस ऑपरेटर $\hat{\Gamma}$ के लिए संगति परिणाम प्रदान करता है।
• डिस्क्रीट ऑब्जर्वेशन: लेखक नोट करते हैं कि जबकि नियंत्रित प्रयोगों में प्रक्षेपवक्रों को पूर्ण रूप से देखा जा सकता है, नॉन-पैरामीट्रिक स्मूथिंग (लोकल लीनियर स्मूथर्स) का उपयोग करके विविक्त ग्रिड (discrete grid) के पर्याप्त घने बिंदुओं से भी सुसंगत अनुमान प्राप्त किए जा सकते हैं, जो लॉगरिदमिक फैक्टर तक पैरामीट्रिक अभिसरण दर प्राप्त करते हैं।

3. मुख्य योगदान

• एकीकृत ढांचा: यह दृष्टिकोण टेम्पोरल डोमिनेंस ऑफ सेंसेशन (TDS) (जहाँ किसी भी समय ठीक एक अवस्था सक्रिय होती है) और TCATA (जहाँ एक साथ कई अवस्थाएं सक्रिय हो सकती हैं) दोनों को समाहित करता है, बिना स्टेट स्पेस डायमेंशन में विस्फोट की आवश्यकता के।
• सैद्धांतिक कठोरता: यह पेपर श्रेणीबद्ध प्रक्षेपवपथों को वर्ग-समावेशी कार्यों (square-integrable functions) के हिल्बर्ट स्पेस में रैंडम एलिमेंट्स के रूप में मानने के लिए एक कठोर गणितीय औचित्य प्रदान करता है, जो प्रायिकता में निरंतरता की धारणा के तहत माध्य और कोवेरिएंस फंक्शन की निरंतरता को स्थापित करता है।
• व्याख्यात्मकता (Interpretability): यह दिखाया गया है कि परिणामी प्रिंसिपल कंपोनेंट्स प्रत्येक अवस्था के लिए माध्य प्रायिकता वक्रों के आसपास के परिवर्तनों के रूप में आसानी से व्याख्या योग्य हैं। यह विधि व्यक्तिगत प्रक्षेपवक्रों में प्रमुख पैटर्न की पहचान करने की अनुमति देती है।
• शून्य प्रायिकता के प्रति मजबूती: कोरेस्पोंडेंस एनालिसिस के गुणात्मक दृष्टिकोण के बजाय कोवेरिएंस के योगात्मक अपघटन का उपयोग करके, यह विधि उन एनकोडिंग फंक्शनों की समस्या से बचती है जो तब अनिश्चित हो जाते हैं जब किसी विशिष्ट समय बिंदु पर किसी अवस्था के होने की प्रायिकता शून्य होती है।

4. परिणाम

इस कार्यप्रणाली को 150 संवेदी धारणा प्रयोगों के एक डेटासेट का उपयोग करके स्पष्ट किया गया, जिसमें 50 पैनलिस्ट शामिल थे जिन्होंने तीन अलग-अलग गस्टमिटर-नियंत्रित उद्दीपकों (S04, S06, S07) के साथ $q=8$ संभावित संवेदन अवस्थाओं का स्वाद लिया।

• आयामी न्यूनीकरण: पहले दो प्रिंसिपल कंपोनेंट्स ने कुल भिन्नता (variance) का 34% (क्रमशः 23% और 11%) कैप्चर किया। आइजनवैल्यू धीरे-धीरे कम हुए, जो प्रक्षेपवक्रों की असंतत प्रकृति को दर्शाते हैं।
• उद्दीपक का विभेदन (Differentiation of Stimuli):
  • PC1 ने प्रभावी रूप से S04 उद्दीपक (जो शुरुआत में लेमन और अंत में स्वीट की उच्च प्रायिकता द्वारा विशेषता रखता है) को S06 उद्दीमक (जो विपरीत पैटर्न द्वारा विशेषता रखता है) से अलग किया।
  • PC2 ने S07 उद्दीपक (Acid $\to$ Sweet $\to$ Salty) को अन्यों से अलग किया।
• CFDA के साथ तुलना:
  • MFPCA स्कोर ने CFDA स्कोर के पहले आयाम के साथ उच्च रैखिक सहसंबंध (0.93) दिखाया, जिससे उद्दीपक समूहों को सफलतापूर्वक अलग किया गया।
  • हालाँकि, MFPCA ने प्रायिकता के संदर्भ में अधिक सीधा अर्थ प्रदान किया।
  • CFFA "मिंट" (Mint) डिस्क्रिप्टर (एक विचलित कारक) के साथ संघर्ष करता है, क्योंकि जब उपस्थिति का अनुपात शून्य होता है तो एनकोडिंग फंक्शन अनिश्चित हो जाते हैं। इसके विपरीत, MFPCA ने इन शून्य-प्रायिकता अंतरालों को स्वाभाविक रूप से संभाला।
  • CFDA का दूसरा आयाम मुख्य रूप से आउटलेयर्स (दुर्लभ घटनाएं जैसे मिंट विस्कैक्टर) को कैप्चर करता था, जबकि MFPCA का दूसरा आयाम S07 सिग्नल को सफलतापूर्वक अन्यों से अलग करने में सफल रहा।

5. महत्व और दावे

लेखक दावा करते हैं कि यह दृष्टिकोण श्रेणीबद्ध फंकशनल डेटा के आयामी न्यूनीकरण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है जो सांख्यिकीय रूप से सुसंगत और व्याख्यात्मक है।

• व्यक्तिगत स्तर का विश्लेषण: जनसंख्या-स्तर के नियमों पर ध्यान केंद्रित करने वाले मार्कोव-आधारित दृष्टिकोणों के विपरीत, यह विधि व्यक्तिगत प्रक्षेपवक्रों के विश्लेषण और तुलना की सुविधा प्रदान करती है।
• एक साथ सक्रिय अवस्थाओं को संभालना: यह विधि उन प्रयोगात्मक ढांचों को स्वाभाविक रूप से संभालती है जहाँ कई अवस्थाएं सह-अस्तित्व में होती हैं, जो एक जटिलता को अत्यधिक बढ़ाए बिना मानक मार्कोव या कोरेस्पोंडेंस एनालिसिस दृष्टिकोणों के साथ कठिन है।
• भविष्यवाणी उपयोगिता (Predictive Utility): न्यूनीकरण आयाम प्रतिनिधित्व (प्रिंसिपल कंपोनेंट स्कोर) स्केलर-ऑन-कैटेगोरिकल फंकशनल डेटा रिग्रेशन जैसे भविष्य कहने वाले मॉडलों के लिए व्याख्यात्मक चर के रूप में कार्य कर सकते हैं। लेखकों ने प्रदर्शित किया कि इन स्कोर के आधार पर सरल डिस्क्रिमिनेन्ट एनालिसिस सटीक रूप से अंतर्निहित टेस्टिंग एक्सपेरिमेंट (S04, S06, या S07) की भविष्यवाणी कर सकता है।
• सामान्यीकरण: इस ढांचे को पिछले कार्य (Cardot और Peltier, 2025) के विस्तार के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो एक विस्तृत गणितीय विवरण और कमजोर धारणाओं के तहत सुसंगत अनुमानक प्रदान करता है, जो किसी भी निरंतर-समय श्रेणीबद्ध प्रक्रिया के लिए लागू है जिसमें सीमित जंप होते हैं।