Statistical description and dimension reduction of continuous time categorical trajectories with multivariate functional principal components

Resumo Técnico: Descrição Estatística e Redução de Dimensionalidade de Trajetórias Categóricas em Tempo Contínuo

1. Formulação do Problema

O artigo aborda o desafio de descrever e comparar estatisticamente conjuntos de trajetórias categóricas em tempo contínuo. Embora a análise de dados funcionais (FDA) tenha desenvolvido extensivamente ferramentas para trajetórias aleatórias que assumem valores em $\mathbb{R}$, menos atenção foi dedicada a trajetórias que assumem valores em um conjunto finito de estados não numéricos $S = \{S_1, \dots, S_q\}$.

As abordagens existentes enfrentam limitações específicas:

• Análise de Dados Funcionais Categóricos (CFDA): Baseada na análise de correspondência em tempo contínuo (Deville, 1982), este método codifica trajetórias em componentes reais. No entanto, a interpretação de trajetórias individuais é frequentemente delicada, e o método enfrenta dificuldades com estados que têm probabilidade zero de ocorrência em certos momentos.
• Processos de Markov/Semi-Markov: Estes modelam a lei das trajetórias ao nível da população, mas são frequentemente demasiado simplistas para análise ao nível individual. Além disso, enfrentam dificuldades em contextos onde múltiplos estados podem ser observados simultaneamente (por exemplo, Verificação de Todos os Aplicáveis Temporais ou TCATA), pois isso requer um aumento exponencial no número de estados do sistema ($2^q$).

Os autores visam fornecer uma ferramenta para representação e comparação simples de trajetórias categóricas sem perda de informação, acomodando especificamente cenários onde as trajetórias são constantes por partes com saltos finitos e onde múltiplos estados podem co-ocorrer.

2. Metodologia

A abordagem proposta transforma o problema da descrição estatística de trajetórias categóricas numa Análise de Componentes Principais Funcionais Multivariada (MFPCA).

Estrutura Matemática:

• Transformação de Indicador Binário: Em vez de analisar o processo categórico $Y(t)$ diretamente, os autores associam cada estado $S_j$ a uma função indicadora aleatória binária $X_j(t) = \mathbb{1}_{\{Y(t) \ni S_j\}}$. Isto cria um vetor funcional multivariado $X(t) = (X_1(t), \dots, X_q(t))$ que assume valores em $\{0, 1\}^q$.
• Espaço Funcional: As trajetórias são modeladas como elementos aleatórios no espaço de Hilbert $H = L^2([0, T], \mathbb{R}^q)$. Os autores estabelecem que, sob a hipótese fraca de que as trajetórias são contínuas em probabilidade (Hipótese H1) e pertencem ao espaço de funções contínuas à direita com limites à esquerda ($D([0, T], \mathbb{R}^q)$), estes processos são mensuráveis conjuntamente e possuem operadores de média e covariância bem definidos.
• Decomposição Aditiva: Ao contrário da CFDA, que utiliza uma decomposição multiplicativa de probabilidades conjuntas, este método baseia-se numa decomposição aditiva da estrutura de covariância. O operador de covariância $\Gamma$ é definido através do núcleo $\gamma(s, t)$, onde os termos fora da diagonal representam desvios da independência.
• Redução de Dimensionalidade: O método realiza MFPCA no vetor $X$. A expansão de Karhunen-Loève permite a representação do processo centrado $X - p$ (onde $p$ é a trajetória média) num subespaço de baixa dimensão gerado pelas autofunções $\phi_r$.

Estimação:

• Consistência: O artigo fornece resultados de consistência para a média empírica $\hat{p}$ e o operador de covariância empírico $\hat{\Gamma}$ sob suposições fracas de regularidade.
• Observação Discreta: Os autores notam que, embora as trajetórias possam ser observadas exaustivamente em experimentos controlados, estimadores consistentes também podem ser obtidos a partir de uma grelha suficientemente densa de pontos de discretização utilizando suavização não paramétrica (suavizadores lineares locais), alcançando taxas de convergência paramétricas até um fator logarítmico.

3. Contribuições Principais

• Quadro Unificado: A abordagem engloba tanto a Dominância Temporal de Sensações (TDS) (onde exatamente um estado está ativo a qualquer momento) quanto o TCATA (onde múltiplos estados podem estar ativos simultaneamente) sem exigir uma explosão na dimensão do espaço de estados.
• Rigor Teórico: O artigo fornece uma justificação matemática rigorosa para tratar trajetórias categóricas descontínuas e constantes por partes como elementos aleatórios num espaço de Hilbert de funções integráveis ao quadrado, estabelecendo a continuidade das funções de média e covariância sob a suposição de continuidade em probabilidade.
• Interpretabilidade: As componentes principais resultantes mostram-se facilmente interpretáveis como variações em torno das curvas de probabilidade média para cada estado. O método permite a identificação de padrões dominantes em trajetórias individuais.
• Robustez a Probabilidades Zero: Ao utilizar uma decomposição aditiva da covariância em vez da abordagem multiplicativa da análise de correspondência, o método evita o problema de funções de codificação indefinidas quando um estado tem probabilidade zero de ocorrência em pontos temporais específicos.

4. Resultados

A metodologia foi ilustrada utilizando um conjunto de dados de 150 experimentos de percepção sensorial envolvendo 50 painelistas que provaram três estímulos diferentes controlados por gustometro (S04, S06, S07) com $q=8$ estados de sensação possíveis.

• Redução de Dimensionalidade: As duas primeiras componentes principais capturaram 34% da variância total (23% e 11%, respetivamente). Os autovalores diminuíram lentamente, refletindo a natureza descontínua das trajetórias.
• Diferenciação de Estímulos:
  • PC1 distinguiu eficazmente o estímulo S04 (caracterizado por alta probabilidade de Limão no início e Doce no final) do estímulo S06 (caracterizado pelo padrão oposto).
  • PC2 distinguiu o estímulo S07 (Ácido $\to$ Doce $\to$ Salgado) dos restantes.
• Comparação com CFDA:
  • As pontuações da MFPCA mostraram uma alta correlação linear (0,93) com a primeira dimensão das pontuações da CFDA, separando com sucesso os grupos de estímulos.
  • No entanto, a MFPCA ofereceu uma interpretação mais direta em termos de probabilidade de ocorrência.
  • A CFDA enfrentou dificuldades com o descritor "Hortelã" (um distrator), pois as funções de codificação eram indefinidas quando a proporção de ocorrência era zero. Em contraste, a MFPCA lidou naturalmente com estes intervalos de probabilidade zero.
  • A segunda dimensão na CFDA capturou principalmente valores atípicos (eventos raros como o distrator Hortelã), enquanto a segunda dimensão na MFPCA separou com sucesso o sinal S07 dos restantes.

5. Significado e Alegações

Os autores afirmam que esta abordagem fornece uma ferramenta poderosa para a redução de dimensionalidade de dados funcionais categóricos que é simultaneamente estatisticamente consistente e interpretável.

• Análise ao Nível Individual: Ao contrário das abordagens baseadas em Markov que se focam em leis ao nível da população, este método facilita a análise e comparação de trajetórias individuais.
• Tratamento de Estados Simultâneos: O método lida naturalmente com quadros experimentais como o TCATA, onde múltiplos estados co-ocorrem, um cenário difícil de modelar com abordagens padrão de Markov ou análise de correspondência sem aumentar drasticamente a complexidade.
• Utilidade Preditiva: A representação de dimensão reduzida (pontuações de componentes principais) pode servir como variáveis explicativas para modelos preditivos, como regressão de escalar sobre dados funcionais categóricos. Os autores demonstraram que uma análise discriminante simples baseada nestas pontuações podia prever com precisão o experimento de degustação subjacente (S04, S06 ou S07).
• Generalidade: O quadro é apresentado como uma extensão de trabalhos anteriores (Cardot e Peltier, 2025), oferecendo uma descrição matemática mais detalhada e estimadores consistentes sob suposições fracas, aplicável a qualquer processo categórico em tempo contínuo com saltos finitos.