Statistical description and dimension reduction of continuous time categorical trajectories with multivariate functional principal components

Technische Samenvatting: Statistische Beschrijving en Dimensiereductie van Continu-Tijd Categorieële Trajecten

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de uitdaging om sets van continu-tijd categorieële trajecten statistisch te beschrijven en te vergelijken. Hoewel de analyse van functionele data (FDA) uitgebreide tools heeft ontwikkeld voor random trajecten die waarden aannemen in $\mathbb{R}$, is er minder aandacht besteed aan trajecten die waarden aannemen in een eindige verzameling niet-numerieke toestanden $S = \{S_1, \dots, S_q\}$.

Bestaande benaderingen ondervinden specifieke beperkingen:

• Categorieële Analyse van Functionele Data (CFDA): Gebaseerd op continu-tijd correspondentieanalyse (Deville, 1982), codeert deze methode trajecten naar reële componenten. De interpretatie van individuele trajecten is echter vaak lastig, en de methode heeft moeite met toestanden die op bepaalde tijdstippen een nulwaarschijnlijkheid van voorkomen hebben.
• Markov/Semi-Markov-processen: Deze modelleren de wet van trajecten op populatieniveau, maar zijn vaak te simplistisch voor analyse op individueel niveau. Bovendien hebben ze moeite met kaders waarin meerdere toestanden gelijktijdig kunnen worden waargenomen (bijvoorbeeld Temporal Check-All-That-Apply of TCATA), aangezien dit een exponentiële toename vereist in het aantal systeemtoestanden ($2^q$).

De auteurs beogen een hulpmiddel te bieden voor eenvoudige representatie en vergelijking van categorieële trajecten zonder informatie te verliezen, specifiek voor scenario's waarin trajecten stuksgewijs constant zijn met eindige sprongen en waarin meerdere toestanden gelijktijdig kunnen voorkomen.

2. Methodologie

De voorgestelde aanpak transformeert het probleem van de statistische beschrijving van categorieële trajecten naar een Multivariate Functionele Hoofdkomponentenanalyse (MFPCA).

Wiskundig Kader:

• Binaire Indicator Transformatie: In plaats van het categorieële proces $Y(t)$ direct te analyseren, koppelen de auteurs elke staat $S_j$ aan een binaire random indicatorfunctie $X_j(t) = \mathbb{1}_{\{Y(t) \ni S_j\}}$. Dit creëert een multivariaat functioneel vector $X(t) = (X_1(t), \dots, X_q(t))$ die waarden aanneemt in $\{0, 1\}^q$.
• Functionele Ruimte: De trajecten worden gemodelleerd als random elementen in de Hilbertruimte $H = L^2([0, T], \mathbb{R}^q)$. De auteurs stellen vast dat onder de zwakke hypothese dat trajecten continu zijn in waarschijnlijkheid (Hypothese H1) en behoren tot de ruimte van rechtscontinue functies met linkslimieten ($D([0, T], \mathbb{R}^q)$), deze processen gezamenlijk meetbaar zijn en goed gedefinieerde gemiddelde- en covariantie-operatoren bezitten.
• Additieve Decompositie: In tegenstelling tot CFDA, dat een multiplicatieve decompositie van gezamenlijke kansen gebruikt, vertrouwt deze methode op een additieve decompositie van de covariantiestructuur. De covariantieoperator $\Gamma$ wordt gedefinieerd via de kern $\gamma(s, t)$, waarbij niet-diagonaale termen afwijkingen van onafhankelijkheid vertegenwoordigen.
• Dimensiereductie: De methode voert MFPCA uit op de vector $X$. De Karhunen-Loève-expansie maakt het mogelijk om het gecentreerde proces $X - p$ (waarbij $p$ de gemiddelde traject is) te representeren in een laagdimensionale deelruimte opgespannen door de eigenfuncties $\phi_r$.

Schatting:

• Consistentie: Het artikel levert consistentieresultaten voor de empirische gemiddelde $\hat{p}$ en de empirische covariantieoperator $\hat{\Gamma}$ onder zwakke regulariteitsaannames.
• Discrete Observatie: De auteurs merken op dat hoewel trajecten in gecontroleerde experimenten exhaustief kunnen worden waargenomen, consistente schatters ook kunnen worden verkregen uit een voldoende dicht raster van discretisatiepunten met behulp van niet-parametrische smoothing (lokale lineaire smoothers), waarbij convergentiesnelheden tot een logaritmische factor worden bereikt.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Gecombineerd Kader: De aanpak omvat zowel Temporal Dominance of Sensations (TDS) (waarbij op elk tijdstip exact één staat actief is) als TCATA (waarbij meerdere toestanden gelijktijdig actief kunnen zijn) zonder een explosie in de dimensie van de toestandsruimte te vereisen.
• Theoretische Strenge: Het artikel biedt een rigoureuze wiskundige rechtvaardiging voor het behandelen van discontinu, stuksgewijs constante categorieële trajecten als random elementen in een Hilbertruimte van kwadraat-integreerbare functies, en vestigt de continuïteit van gemiddelde- en covariantiefuncties onder de aanname van continuïteit in waarschijnlijkheid.
• Interpreteerbaarheid: De resulterende hoofdkomponenten blijken eenvoudig interpreteerbaar als variaties rond de gemiddelde kanscurves voor elke staat. De methode maakt het mogelijk om dominante patronen in individuele trajecten te identificeren.
• Robuustheid ten opzichte van Nulkansen: Door gebruik te maken van een additieve decompositie van de covariantie in plaats van de multiplicatieve aanpak van correspondentieanalyse, vermijdt de methode het probleem van ongedefinieerde codeerfuncties wanneer een staat op specifieke tijdstippen een nulwaarschijnlijkheid van voorkomen heeft.

4. Resultaten

De methodologie werd geïllustreerd met een dataset van 150 experimenten met zintuiglijke waarneming, waarbij 50 panelleden drie verschillende door een gustometer gecontroleerde stimuli (S04, S06, S07) proefden met $q=8$ mogelijke sensatie-toestanden.

• Dimensiereductie: De eerste twee hoofdkomponenten verklaarden 34% van de totale variantie (respectievelijk 23% en 11%). De eigenwaarden namen langzaam af, wat de discontinuïteit van de trajecten weerspiegelt.
• Differentiatie van Stimuli:
  • PC1 onderscheidde de S04-stimulus (gekarakteriseerd door een hoge waarschijnlijkheid van Citroen aan het begin en Zoet aan het einde) effectief van de S06-stimulus (gekarakteriseerd door het tegenovergestelde patroon).
  • PC2 onderscheidde de S07-stimulus (Zuur $\to$ Zoet $\to$ Zout) van de anderen.
• Vergelijking met CFDA:
  • De MFPCA-scores vertoonden een hoge lineaire correlatie (0,93) met de eerste dimensie van de CFDA-scores, waarbij de stimuli-groepen succesvol werden gescheiden.
  • MFDA bood echter een directere interpretatie in termen van voorkomingskans.
  • CFDA had moeite met de descriptor "Munt" (een afleider), aangezien de codeerfuncties ongedefinieerd waren wanneer het voorkomenpercentage nul was. Daarentegen hanteerde MFPCA deze intervallen met nulwaarschijnlijkheid op een natuurlijke manier.
  • De tweede dimensie in CFDA ving voornamelijk uitbijters op (zeldzame gebeurtenissen zoals de Munt-afleider), terwijl de tweede dimensie in MFPCA het S07-signaal succesvol van de anderen scheidde.

5. Betekenis en Claims

De auteurs claimen dat deze aanpak een krachtig hulpmiddel biedt voor de dimensiereductie van categorieële functionele data dat zowel statistisch consistent als interpreteerbaar is.

• Analyse op Individueel Niveau: In tegenstelling tot Markov-gebaseerde benaderingen die zich richten op wetten op populatieniveau, faciliteert deze methode de analyse en vergelijking van individuele trajecten.
• Omgaan met Gelijktijdige Toestanden: De methode behandelt op een natuurlijke manier experimentele kaders zoals TCATA, waarbij meerdere toestanden gelijktijdig voorkomen; een scenario dat moeilijk te modelleren is met standaard Markov- of correspondentieanalyse-benaderingen zonder de complexiteit drastisch te verhogen.
• Voorspellende Nut: De representatie in gereduceerde dimensie (scores van hoofdkomponenten) kan dienen als verklarende variabelen voor voorspellende modellen, zoals regressie van scalaire waarden op categorieële functionele data. De auteurs demonstreerden dat eenvoudige discriminantanalyse gebaseerd op deze scores het onderliggende proefexperiment (S04, S06 of S07) nauwkeurig kon voorspellen.
• Generaliteit: Het kader wordt gepresenteerd als een uitbreiding van eerder werk (Cardot en Peltier, 2025), met een gedetailleerdere wiskundige beschrijving en consistente schatters onder zwakke aannames, toepasbaar op elk continu-tijd categorieel proces met eindige sprongen.