Data-Driven Bed Capacity Planning Using $M_t/G_t/\infty$ Queueing Models with an Application to Neonatal Intensive Care Units

यहाँ शोध पत्र "Data-Driven Bed Capacity Planning Using $M_t/G_t/\infty$ Queueing Models with an Application to Neonatal Intensive Care Units" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

अस्पतालों को गैर-स्थिर मांग (non-stationary demand) के कारण दीर्घकालिक गहन देखभाल इकाई (ICU) क्षमता नियोजन में महत्वपूर्ण चुनौतियों का सामना करना पड़ता है। पारंपरिक नियोजन स्थिर-अवस्था कतार मॉडल (steady-state queueing models) (जो निरंतर आगमन दर और सेवा समय मानते हैं) या अनुमानी नियमों (heuristic rules) (जैसे कि "85% अधिभोग नियम") पर निर्भर करता है। ये दृष्टिकोण निम्नलिखित को पकड़ने में विफल रहते हैं:

• सामयिक परिवर्तनशीलता (Temporal Variability): मौसमी बदलाव, जनसंख्या गतिशीलता और नैदानिक परिवर्तनों के कारण प्रवेश (admissions) में उतार-चढ़ाव होता है।
• प्रवास अवधि (Length of Stay - LOS) विषमता: LOS वितरण रोगी की गंभीरता, केस मिक्स और नैदानिक प्रोटोकॉल के आधार पर भिन्न होता है, और यह केवल उनके माध्य (mean) द्वारा परिभाषित नहीं होता है।
• "85% नियम" की सीमा: दीर्घकालिक औसत पर निर्भर रहने से दैनिक भीड़भाड़ छिप जाती है। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि भले ही दीर्घकालिक उपयोगिता लक्ष्य पूरे हो जाएं, क्षणिक उछाल के कारण दैनिक अधिभोग अक्सर 100% क्षमता से अधिक हो जाता है।

विशिष्ट संदर्भ कैलगरी, कनाडा में नियोनेटल इंटेंसिव केयर यूनिट्स (NICUs) का है, जहाँ साइटों के बीच रोगी स्थानांतरण अक्सर क्षमता-संचालित होता है, जिससे व्यक्तिगत सुविधाओं की वास्तविक मांग अस्पष्ट हो जाती है। लक्ष्य ऐसे बेड आवश्यकताओं का अनुमान लगाना है जो स्थिर औसत पर निर्भर रहने के बजाय ओवरफ्लो के प्रति लचीलापन सुनिश्चित करें।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक $M_t/G_t/\infty$ कतार मॉडल (गैर-सजातीय पॉइसन आगमन, सामान्य समय-परिवर्तित सेवा समय, अनंत सर्वर) पर आधारित एक डेटा-संचालित ढांचे का प्रस्ताव करते हैं। अनंत-सर्वर धारणा इस नैदानिक वास्तविकता को दर्शाती है कि गंभीर रूप से बीमार रोगियों को तुरंत भर्ती किया जाता है; तनाव प्रतीक्षा रेखाओं के बजाय ओवरलोड के रूप में प्रकट होता है।

यह ढांचा चार मुख्य घटकों से बना है:

A. आगमन दर अनुमान ($\lambda_t$)

• तकनीक: ऐतिहासिक दैनिक प्रवेश डेटा पर लोएस (STL) का उपयोग करके सीज़नल-ट्रेंड डिकंपोज़िशन (Seasonal-Trend decomposition) लागू किया जाता है।
• प्रक्रिया: एक ग्रिड सर्च (grid search) सीज़नल (7, 15, 31 दिन) और ट्रेंड (15, 31, 61 दिन) विंडो को अनुकूलित करती है ताकि एक सुचारू, समय-परिवर्तित आगमन तीव्रता $\lambda_t$ निकाली जा सके।
• औचित्य: STL को ब्लैक-बॉक्स ML या SARIMA की तुलना में प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि यह ट्रेंड और सीज़नलिटी के बीच एक व्याख्या योग्य अलगाव प्रदान करता है, जो परिदृश्य नियोजन (scenario planning) के लिए आवश्यक है।

B. LOS वितरण मॉडलिंग

• मोमेंट्स अनुमान (Moments Estimation): समय-परिवर्तित माध्य ($\mu_t$) और विचरण ($\sigma^2_t$) का अनुमान लगाने के लिए LOS डेटा पर भी STL लागू किया जाता है।
• पैरामीट्रिक फिटिंग: मैक्सिमम लाइक्लीहुड एस्टीमेशन (MLE) का उपयोग करके पांच उम्मीदवार वितरणों (Weibull, Lognormal, Gamma, Fisk/Burr, Exponential) को अनुभवजन्य डेटा पर फिट किया जाता है।
• स्थिरता धारणा: पाया गया है कि वितरणों का आकार पैरामीटर ($\kappa$) समय के साथ स्थिर रहता है। इसलिए, $\kappa$ प्रत्येक साइट के लिए स्थिर रखा जाता है, जबकि स्केल पैरामीटर्स को STL से प्राप्त समय-परिवर्तित $\mu_t$ और $\sigma^2_t$ से मेल खाने के लिए गतिशील रूप से पुन: पैरामीटराइज किया जाता है।
• चयन: अनुभवजन्य कपलान-मेयर सर्वाइवल कर्व के विरुद्ध रूट मीन स्क्वेर्ड एरर (RMSE) के आधार पर सर्वश्रेष्ठ-फिटिंग वितरण का चयन किया जाता है।

C. अधिभोग अनुमान (Occupancy Estimation)

• कन्वोल्यूशन फॉर्मूला: दिन $t$ पर अपेक्षित अधिभोग $\rho_t$ को पिछले आगमन और LOS की सशर्त उत्तरजीविता संभावना (conditional survival probability) के संवहन (convolution) द्वारा गणना की जाती है:
  $$\rho_t = \sum_{u=0}^{S_{max}} \lambda_{t-u} \cdot P(S > u \mid \tau = t-u)$$
  जहाँ $P(S > u \mid \tau)$ वह संभावना है कि $u$ दिन पहले भर्ती किया गया रोगी अभी भी उपस्थित है, जिसे समय-परिवर्तित पैरामीट्रिक वितरणों से प्राप्त किया गया है।
• मान्यताएं: आगमन नॉन-होमोजेनियस पॉइसन प्रक्रिया का पालन करते हैं; LOS अन्य रोगियों या आगमन प्रक्रिया से स्वतंत्र है।

D. क्षमता नियोजन रणनीतियाँ

ढांचा दो रणनीतियों का उपयोग करके अधिभोग अनुमानों को क्षमता लक्ष्यों ($B$) में परिवर्तित करता है:

1. औसत-आधारित ($B_{average}$): $B = \bar{\rho} + \sqrt{\bar{\rho}}$। दीर्घकालिक औसत प्लस स्क्वायर-रूट बफर का उपयोग करके एक बेसलाइन (जो कॉल सेंटर स्टाफिंग में मानक है)।
2. ओवरफ्लो-प्रतिबंधित ($B_\alpha$): न्यूनतम $B$ के लिए समाधान करता है जिससे उपयोगिता थ्रेशोल्ड $\gamma$ (जैसे, 100% या 85%) को पार करने की संभावना जोखिम सहनशीलता $\alpha$ से कम हो:
   $$P(L_t > \gamma B) \leq \alpha$$
   चूंकि $L_t$ एक पॉइसन वितरण का पालन करता जिसका माध्य $\rho_t$ है, इसे पॉइसन टेल प्रोबेबिलिटी (Poisson tail probability) का उपयोग करके हल किया जाता है।

E. भविष्योन्मुखी प्रोजेक्शन (Forward-Looking Projections)

एक बर्थ-ड्रिवन प्रोजेक्शन मॉड्यूल जनसांख्यिकीय पूर्वानुमानों को क्षमता आवश्यकताओं से जोड़ता है। यह ऐतिहासिक दैनिक आगमन/LOS पैटर्न को अनुमानित जन्म दरों ($\tilde{K}_y$) द्वारा स्केल करता है और भविष्य के वर्षों (2024-2030) के लिए 300 परिदृश्य-आधारित प्रक्षेपवक्र (trajectories) उत्पन्न करने के लिए ऐतिहासिक दैनिक आगमन/LOS पैटर्न को पुनः नमूना (resample) करता है।

3. प्रमुख योगदान

1. गैर-स्थिर मॉडलिंग: $M_t/G_t/\infty$ ढांचे में समय-परिवर्तित आगमन दर और LOS वितरणों को एकीकृत करके स्थिर-अवस्था धारणाओं से आगे बढ़ता है।
2. डेटा-संचालित अपघटन: आगमन और LOS दोनों के लिए ट्रेंड और सीज़नलिटी को अलग करने के लिए STL डिकंपोज़िशन का उपयोग करता है, जो नियोजन में अक्सर अनदेखी की जाने वाली सामयिक गतिशीलता को पकड़ता है।
3. जोखिम-स्पष्ट क्षमता: नियोजन को उपयोगिता अनुमानी (जैसे, "85% अधिभोग बनाए रखें") से बदलकर संभावित लचीलापन लक्ष्यों (जैसे, "ओवरफ्लो की संभावना <1% सुनिश्चित करें") की ओर ले जाता है।
4. विचरण (Variance) पर अंतर्दृष्टि: यह प्रदर्शित करता है कि अनंत-सर्वर प्रणालियों में, उच्च LOS विचरण वास्तव में पीक अधिभोग को कम कर सकता है (डिस्चार्ज को बिखेरकर), जबकि कम विचरण प्रस्थानों को केंद्रित करता है, जिससे भीड़भाड़ का जोखिम बढ़ जाता है—यह क्षमता योजनाकारों के लिए एक विरोधाभासी निष्कर्ष है।
5. स्थानांतरण के लिए समायोजन: ऐतिहासिक डेटा को "समायोजित" करने के लिए एक विधि विकसित करता है जो क्षमता-संचालित स्थानांतरणों को मूल साइट को वापस सौंपती है, जिससे नेटवर्क में वास्तविक संरचनात्मक मांग असंतुलन का पता चलता है।

4. प्रमुख परिणाम

• स्थिर नियमों की अपर्याप्तता: अध्ययन ने 5 कैलगरी NICU साइटों पर लागू होने पर दिखाया कि पारंपरिक "85% नियम" या औसत-आधारित अनुमान क्षमता की जरूरतों को काफी कम आंकते हैं। उदाहरण के लिए, साइट 3 पर, औसत-आधारित नियम ने 14 बेड का सुझाव दिया, लेकिन अधिभोग 23% दिनों पर 100% से अधिक था।
• क्षमता आवश्यकताएँ:
  • साइट 2 (उच्च मांग): औसत नियम के तहत 67 बेड की आवश्यकता थी, लेकिन ओवरफ्लो जोखिम को 1% तक सीमित करने के लिए 90 बेड की आवश्यकता थी ($B_{0.01}$)।
  • ट्रेड-ऑफ: $B_{0.05}$ (5% ओवरफ्लो जोखिम) से $B_{0.01}$ (1% ओवरफ्लो जोखिम) तक जाने से प्रति साइट क्षमता की आवश्यकता 8-13 बेड बढ़ गई, लेकिन औसत उपयोगिता ~65% से घटकर ~56% हो गई।
• LOS विचरण का प्रभाव: संवेदनशीलता विश्लेषण ने दिखाया कि LOS विचरण को कम करने से (ठहराव को अधिक नियतात्मक बनाने से) ओवरफ्लो लक्ष्यों को पूरा करने के लिए आवश्यक बेड की संख्या बढ़ गई। इसके विपरीत, उच्च विचरण ने रोगी के निकास को बिखेर दिया, जिससे पीक भीड़भाड़ कम हो गई।
• भविष्य के अनुमान: जन्म दरों में वृद्धि से प्रेरित 2030 तक के अनुमान, औसत-आधारित अनुमानों की तुलना में 4-6 अतिरिक्त बेड (5% जोखिम के लिए) और 8-13 अतिरिक्त बेड (1% जोखिम के लिए) की आवश्यकता दर्शाते हैं।
• नेटवर्क असंतुलन: जब स्थानांतरणों को शामिल किया गया, तो पाया गया कि साइट 2 अपनी आंतरिक मांग के सापेक्ष गंभीर रूप से कम क्षमता वाली थी, जबकि साइट 3-5 अधिक क्षमता वाली प्रतीत हुईं, जो परिचालन स्थानांतरणों द्वारा छिपा हुआ एक संरचनात्मक क्षेत्रीय असंतुलन को उजागर करता है।

5. महत्व और निहितार्थ

• परिचालन लचीलापन (Operational Resilience): यह ढांचा बेड स्तर निर्धारित करने के लिए एक मात्रात्मक आधार प्रदान करता है जो स्पष्ट रूप से ओवरफ्लो के जोखिम को प्रबंधित करता है, जो गंभीर देखभाल के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ प्रवेश में देरी घातक हो सकती है।
• नीति मार्गदर्शन: यह सार्वभौमिक "85% अधिभोग नियम" के अनुप्रयोग को चुनौती देता है, यह सुझाव देता है कि गैर-स्थिर वातावरण में, प्रतिक्रियाशीलता बनाए रखने के लिए उच्च क्षमता बफर की आवश्यकता होती है।
• रणनीतिक नियोजन: "व्हाट-इफ" (क्या होगा यदि) परिदृश्यों (जैसे, नए नैदानिक प्रोटोकॉल या जनसांख्यिकीय बदलावों के कारण LOS विचरण में परिवर्तन) को मॉडल करने की क्षमता अस्पताल प्रशासकों को बुनियादी ढांचे के निवेश के बारे में सूचित निर्णय लेने की अनुमति देती है।
• सामान्यीकरण (Generalizability): हालांकि इसे NICUs पर लागू किया गया है, $M_t/G_t/\infty$ ढांचा अन्य ICU सेटिंग्स और अस्पताल इकाइयों के लिए भी लागू है जहाँ तत्काल प्रवेश को प्राथमिकता दी जाती है और मांग समय-परिवर्तित होती है।

अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि मजबूत क्षमता नियोजन के लिए स्थिर औसत से हटकर गतिशील, संभाव्य मॉडलों की ओर जाने की आवश्यकता है जो मांग की सामयिक परिवर्तनशीलता और सेवा समय के पूर्ण वितरण को ध्यान में रखते हैं।