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Testing Partially-Identifiable Causal Queries Using Ternary Tests

यह शोध पत्र आंशिक रूप से-पहचान योग्य (partially-identifiable) कारण संबंधी प्रश्नों (causal queries) के परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) में बाइनरी परीक्षणों की सीमाओं को संबोधित करने के लिए टर्नरी सांख्यिकीय परीक्षणों (ternary statistical tests) का उपयोग करने का प्रस्ताव करता है, आवश्यक निरंतरता (consistency) और टोपोलॉजिकल स्थितियों को स्थापित करता है और इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल असमानताओं (instrumental variable inequalities) तथा उपचार प्रभावकारिता तुलनाओं (treatment efficacy comparisons) पर उनके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Sourbh Bhadane, Joris M. Mooij, Philip Boeken, Onno Zoeter

प्रकाशित 2026-02-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sourbh Bhadane, Joris M. Mooij, Philip Boeken, Onno Zoeter

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे एक जासूस हैं, लेकिन आपके पास अपराध स्थल की केवल एक धुंधली, अधूरी तस्वीर (अवलोकन संबंधी डेटा) है। आप जानना चाहते हैं कि क्या एक विशिष्ट संदिग्ध (एक कारण मॉडल/causal model) दोषी है।

सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, एक मानक उपकरण है जिसे बाइनरी टेस्ट (Binary Test) कहा जाता है। यह एक सरल "दोषी" या "निर्दोष" के फैसले जैसा है।

दोषी (Reject Null): सबूत इतने मजबूत हैं कि हम सुनिश्चित हैं कि उसने यह किया है।
निर्दोष (Don't Reject Null): सबूत दोषसिद्धि के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं।

समस्या:
कभी-कभी फोटो इतनी धुंधली होती है कि दो अलग-अलग संदिग्ध बिल्कुल एक जैसे पदचिह्न छोड़ सकते हैं। पेपर की भाषा में, इसे आंशिक पहचान क्षमता (Partial Identifiability) कहा जाता है।

यदि आप एक मानक बाइनरी टेस्ट का उपयोग करते हैं और कहते हैं "निर्दोष", तो आप वास्तव में यह साबित नहीं कर रहे हैं कि संदिग्ध निर्दोष है। आप केवल यह कह रहे हैं, "फोटो इतनी धुंधली है कि अंतर करना मुश्किल है।"
लेकिन एक मानक टेस्ट आपको एक विकल्प चुनने के लिए मजबूर करता है। यह एक न्यायाधीश की तरह है जो कहता है, "मैं नहीं बता सकता कि उसने यह किया या नहीं, इसलिए मुझे उसे निर्दोष घोषित करना चाहिए," जो कि एक खतरनाक गलती है।

समाधान: टर्नरी टेस्ट (Ternary Test - तीन विकल्पों वाला फैसला)
लेखक एक नया प्रकार का टेस्ट प्रस्तावित करते हैं जो दो परिणामों के बजाय तीन संभावित परिणाम प्रदान करता है। इसे अपने फैसले को साधारण "हाँ/नहीं" से अपग्रेड करने के रूपas सोचें।

फैसला A (Reject): "सबूत स्पष्ट हैं। संदिग्ध निश्चित रूप से दोषी है।" (डेटा उस क्षेत्र में गिरता है जहाँ केवल दोषी संदिग्ध ही ये पदचिह्न छोड़ सकता था)।
फैसला B (Don't Reject): "सबूत स्पष्ट हैं। संदिग्ध निश्चित रूप से निर्दोष है।" (डेटा उस क्षेत्र में गिरता है जहाँ केवल निर्दोष संदिग्ध ही ये पदचिह्न छोड़ सकता था)।
फैसला C (Unidentifiable): "फोटो बहुत धुंधली है। पदचिह्न दोषी या निर्दोष किसी के भी हो सकते हैं। हम नहीं बता सकते।" (डेटा उस ओवरलैपिंग "धुंधले" क्षेत्र में गिरता है)।

"दो-चरणीय" रणनीति (The Two-Stage Strategy - जासूस का टूलकिट)

आप पूछ सकते हैं, "हम इस तीन-विकल्प वाले टेस्ट को कैसे बनाएंगे? क्या हमें एक नया विज्ञान आविष्कार करने की आवश्यकता है?"

लेखक कहते हैं: नहीं! जो आपके पास पहले से है उसका उपयोग करें।

वे एक चतुर ट्रिक प्रस्तावित करते हैं जिसे टू-स्टेज टर्नरी टेस्ट (Two-Stage Ternary Test) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि एक जासूस दो चरणों में काम कर रहा है:

चरण 1: एक मानक "बाइनरी टेस्ट" (पुराना टूल) का उपयोग करके यह जांचें कि संदिग्ध "धुंधले क्षेत्र" (Foggy Zone) में है या "स्पष्ट क्षेत्र" (Clear Zone) में।
- यदि टेस्ट कहता है "यह धुंधला क्षेत्र है," तो आप तुरंत रुक जाते हैं और "अनिर्धारित" (Unidentifiable - Verdict C) घोषित करते हैं।
- यदि टेस्ट कहता है "यह स्पष्ट क्षेत्र है," तो आप चरण 2 पर जाते हैं।
चरण 2: उस स्पष्ट क्षेत्र के भीतर "दोषी" और "निर्दोष" के बीच निर्णय लेने के लिए दूसरे मानक "बाइनरी टेस्ट" का उपयोग करें।

यह पेपर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि यह दो-चरणीय दृष्टिकोण शून्य से एक बिल्कुल नया, जटिल तीन-विकल्प वाला सिस्टम बनाने जितना ही शक्तिशाली है। यह ऐसा है जैसे कहना, "आपको एक नई कार की आवश्यकता नहीं है; आपको बस अपने पुराने कार को दो विशिष्ट लेन में चलाने की आवश्यकता है ताकि समान परिणाम प्राप्त हो सके।"

पेपर के वास्तविक दुनिया के उदाहरण

1. "टूटा हुआ उपकरण" (Instrumental Variable Test)
कल्पना कीजिए कि आप यह देखने की कोशिश कर रहे हैं कि एक नई दवा काम करती है या नहीं, लेकिन आप एक आदर्श प्रयोग नहीं कर सकते। इसके बजाय, आप एक "प्राकृतिक प्रयोग" (जैसे कि किसे दवा मिलेगी इसके लिए लॉटरी) का उपयोग करते हैं।

जाल: कभी-कभी लॉटरी पक्षपाती या टूटी हुई होती है (जैसे, केवल पुरुषों को दवा मिलती है, महिलाओं को नहीं)। इस स्थिति में, डेटा "धुंधला" होता है।
टर्नरी समाधान:
- चरण 1: जांचें कि क्या लॉटरी टूटी हुई थी (Positivity Test)। यदि हाँ -> "अनिर्धारित" (Unidentifiable)।
- चरण 2: यदि लॉटरी निष्पक्ष थी, तो जांचें कि क्या दवा ने वास्तव में काम किया। -> "दोषी" (काम करती है) या "निर्दोष" (काम नहीं करती)।
- महत्व: एक मानक टेस्ट गलत तरीके से दावा कर सकता है कि दवा काम करती है क्योंकि डेटा अजीब दिख रहा था। टरी टेस्ट आपको यह गलती करने से रोकता है क्योंकि यह स्वीकार करता है, "हे, लॉटरी टूटी हुई थी, इसलिए हम परिणामों पर भरोसा नहीं कर सकते।"

2. "थ्रेशोल्ड चेक" (Treatment Efficacy)
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक नई दवा है, और आप जानना चाहते हैं कि क्या यह एक प्रसिद्ध प्रतिस्पर्धी दवा के कम से कम बराबर अच्छी है।

जाल: डेटा शोर भरा (noisy) है। शायद नई दवा थोड़ी बेहतर है, थोड़ी खराब है, या बिल्कुल समान है।
टर्नरी समाधान:
- चरण 1: जांचें कि क्या नई दवा प्रतिस्पर्धी से स्पष्ट रूप से खराब है। यदि हाँ -> "निर्दोष" (यह खराब है)।
- चरण 2: यदि यह स्पष्ट रूप से खराब नहीं है, तो जांचें कि क्या यह स्पष्ट रूप से बेहतर है। यदि हाँ -> "दोषी" (यह बेहतर है)।
- परिणाम: यदि यह बीच में है, तो टेस्ट "अनिर्धारित" (Unidentifiable) कहेगा। यह आपको तब एक बड़ा दावा करने से रोकता है जब डेटा वास्तव में अस्पष्ट हो।

"टोपोलॉजिकल" (Topological) गुप्त सूत्र

पेपर कुछ भारी गणितीय शब्दों का उपयोग करता है जैसे "टोपोलॉजी" और "क्लोज्ड सेट्स" (closed sets)। सरल अंग्रेजी में, यह केवल संभावनाओं के आकार की जांच करने का एक तरीका है।

सोचिए कि "दोषी" और "निर्दोष" की संभावनाएं समुद्र तट पर रेत के दो ढेरों की तरह हैं।

यदि ढेर अलग (कोई ओवरलैप नहीं) हैं, तो आप उन्हें आसानी से पहचान सकते हैं।
यदि ढेर छूते या मिल जाते हैं (ओवरलैप), तो आपके पास एक "धुंधला क्षेत्र" है।
लेखकों के गणितीय नियम बताते हैं: "यदि ढेर एक विशिष्ट, ठोस तरीके से (closed sets) आकार में हैं, तो आप एक विश्वसनीय टू-स्टेज टेस्ट बना सकते हैं। यदि वे अजीब तरह से आकार में हैं (जैसे धूल का बादल), तो आप एक विश्वसनीय टेस्ट नहीं बना पाएंगे।"

मुख्य निष्कर्ष

यह पेपर वैज्ञानिकों और डेटा विश्लेषकों के लिए एक मार्गदर्शिका है। यह कहता है:

"जब डेटा अस्पष्ट हो, तो 'हाँ/नहीं' उत्तर देने के लिए मजबूर होना बंद करें। इसके बजाय, 'हाँ/नहीं/अज्ञात' प्रणाली का उपयोग करें। और इसे करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? बस दो सरल 'हाँ/नहीं' टेस्ट को एक स्मार्ट क्रम में जोड़ दें। यह आपको तब गलत दावे करने से बचाएगा जब डेटा बहुत धुंधला हो और निश्चित होने के लिए पर्याप्त न हो।"

यह एक निराशाजनक सीमा (निश्चित रूप से न जान पाना) को एक उपयोगी, ईमानदार उत्तर में बदल देता है: "हमें अभी तक नहीं पता।" और विज्ञान में, यह जानना कि आप नहीं जानते, अक्सर सबसे महत्वपूर्ण खोज होती है।

यहाँ भदाने एवं अन्य द्वारा लिखित शोध पत्र "Testing Partially-Identifiable Causal Queries Using Ternary Tests" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र बाइनरी कॉज़ल क्वेरीज़ (जैसे, "क्या कोई सीधा प्रभाव है?" या "क्या कारण प्रभाव शून्य है?") के लिए अवलोकनात्मक डेटा (observational data) का उपयोग करके परिकल्पना परीक्षण (hypothesis testing) की चुनौती को संबोधित करता है।

मुख्य मुद्दा: कई कॉज़ल सेटिंग्स में, क्वेरीज़ आंशिक रूप से पहचान योग्य (partially identifiable) होती हैं। यह तब होता है जब कॉज़ल मॉडल्स और अवलोकनात्मक वितरणों (observational distributions) के बीच का मैपिंग एक-से-एक (one-to-one) नहीं होता है। विशेष रूप से, उन कॉज़ल मॉडल्स द्वारा प्रेरित अवलोकनात्मक वितरणों का सेट जहाँ क्वेरी सत्य है ( $H_1$ ) और वह सेट जहाँ यह असत्य है ( $H_0$ ), आपस में ओवरलैप (overlap) करते हैं।
बाइनरी टेस्ट की सीमा: मानक बाइनरी सांख्यिकीय परीक्षण (Reject $H_0$ $H_{0}$ बनाम Don't Reject $H_0$ $H_{0}$ ) इन ओवरलैपिंग परिदृश्यों में निर्णायक कॉज़ल निष्कर्ष प्रदान करने में विफल रहते हैं।
- यदि एक बाइनरी टेस्ट $H_0$ को रिजेक्ट करता है, तो इसका अर्थ है कि कॉज़ल क्वेरी सत्य है।
- हालाँकि, यदि परीक्षण $H_0$ को रिजेक्ट करने में विफल रहता है, तो परिणाम अस्पष्ट होता है। डेटा या तो दोनों सेटों के प्रतिच्छेदन (intersection) से आ सकता है (जहाँ क्वेरी अनिर्धारित/unidentifiable है) या फिर नल सेट (null set) से। इस प्रकार, एक बाइनरी टेस्ट यह अंतर नहीं कर सकता कि "क्वेरी असत्य है" या "क्वेरी अनिर्धारित है।"

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक अस्पष्टता को दूर करने के लिए टर्नरी (तीन-परिणाम वाले) सांख्यिकीय परीक्षणों पर आधारित एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं।

A. टर्नरी फ्रेमवर्क (The Ternary Framework)

बाइनरी आउटपुट $\{0, 1\}$ के बजाय, परीक्षण तीन परिणामों में से एक आउटपुट देता है:

रिजेक्ट नल (0): डेटा $R_0 = H_0 \setminus H_1$ का हिस्सा है (कॉज़ल क्वेरी निश्चित रूप से 0 है)।
डोंट रिजेक्ट नल (1): डेटा $R_1 = H_1 \setminus H_0$ का हिस्सा है (कॉज़ल क्वेरी निश्चित रूप से 1 है)।
अनिर्धारित (Unidentifiable) (2): डेटा $R_2 = H_0 \cap H_1$ का हिस्सा है (अवलोकनात्मक डेटा से क्वेरी निर्धारित नहीं की जा सकती)।

B. त्रुटि गारंटी और निरंतरता (Error Guarantees and Consistency)

शोध पत्र इन परीक्षणों के लिए कठोर त्रुटि-नियंत्रण मानदंड (desiderata) परिभाषित करता है:

निरंतरता (Consistency): जैसे-जैसे नमूना आकार $n \to \infty$ होता है, क्षेत्र ( $R_0, R_1, R_2$ ) को सही ढंग से पहचानने की प्रायिकता 1 के करीब पहुँच जाती है।
यूनिफॉर्म निरंतरता (Uniform Consistency): त्रुटि दरें हाइपोथीसिस के भीतर सभी वितरणों में समान रूप से नियंत्रित रहती हैं।
$(i, j)$ -त्रुटि नियंत्रण: जब वास्तविक वितरण $R_j$ में हो, तब $i$ आउटपुट देने की प्रायिकता एक थ्रेशोल्ड $\alpha$ द्वारा सीमित होती है।

C. अस्तित्व के लिए टोपोलॉजिकल स्थितियाँ (Topological Conditions for Existence)

लेखक "अच्छे" टर्नरी टेस्ट (जो यूनिफॉर्म निरंतरता और त्रुटि नियंत्रण को संतुष्ट करते हैं) के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त टोपोलॉजिकल स्थितियाँ स्थापित करते हैं:

मान लीजिए $W = H_0 \cup H_1$ है।
एक विशिष्ट सेट $I \subseteq \{R_0, R_1, R_2\}$ के लिए, जो त्रुटि नियंत्रण के साथ परीक्षण योग्य है, सेटों को प्रोबेबिलिटी मेजर्स के वीक टोपोलॉजी (weak topology) में क्लोज्ड (closed) होना चाहिए, जबकि जो सेट इसमें शामिल नहीं हैं, उन्हें $F_\sigma$ होना चाहिए।

D. दो-चरणीय टर्नरी टेस्ट (Two-Stage Ternary Tests - Completeness)

मौजूदा बाइनरी टेस्टिंग टूल्स का लाभ उठाने के लिए, लेखक एक दो-चरणीय (two-stage) प्रक्रिया में दो बाइनरी टेस्ट को संयोजित करके टर्नरी टेस्ट बनाने का प्रस्ताव देते हैं:

चरण 1: एक विशिष्ट क्षेत्र का परीक्षण करें (उदाहरण के लिए, $R_2$ ) उसके पूरक (complement) के विरुद्ध।
चरण 2: चरण 1 के परिणाम के आधार पर, शेष क्षेत्र को विभाजित करें और दूसरा बाइनरी टेस्ट करें।

स्प्लिट-नल (Split-Null - SN): पहले $R_1$ बनाम $R_0 \cup R_2$ का परीक्षण करें।
स्प्लिट-अल्टरनेटिव (Split-Alternative - SA): पहले $R_2$ बनाम $R_0 \cup R_1$ का परीक्षण करें।

मुख्य सैद्धांतिक परिणाम: लेखक सिद्ध करते हैं कि दो-चरणीय टर्नरी परीक्षण पूर्ण (complete) है। यदि एक "अच्छा" टर्नरी टेस्ट मौजूद है (जो टोपोलॉजिकल स्थितियों को संतुष्ट करता है), तो बाइनरी टेस्ट का उपयोग करके बनाया गया दो-चरणीय निर्माण समान त्रुटि नियंत्रण प्राप्त कर सकता है। यह चिकित्सकों को मानक बाइनरी टेस्ट लाइब्रेरी का उपयोग करके टर्नरी टेस्ट बनाने की अनुमति देता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

टर्नरी कॉज़ल टेस्टिंग का औपचारिकीकरण: यह शोध पत्र 'अनिश्चितता' (unidentifiable) के मामले को स्पष्ट रूप से संभालते हुए, तीन-परिणाम वाले ढांचे का उपयोग करके आंशिक रूप से पहचान योग्य कॉज़ल क्वेरीज़ के परीक्षण को कड़ाई से परिभाषित करता है।
टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन: यह समकक्ष टोपोलॉजिकल स्थितियों (closedness बनाम $F_\sigma$ ) को प्रदान करता है जो यह निर्धारित करती है कि क्या विशिष्ट त्रुटि गारंटी के साथ टर्नरी टेस्ट मौजूद है।
दो-चरणीय निर्माण की पूर्णता: यह सिद्ध करता है कि बाइनरी टेस्ट को संयोजित करना ओवरलैपिंग हाइपोथीसिस के लिए इष्टतम त्रुटि नियंत्रण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है, जो सैद्धांतिक अस्तित्व और व्यावहारिक कार्यान्वयन के बीच की खाई को पाटता है।
व्यावहारिक दिशा-निर्देश: यह टोपोलॉजिकल गुणों (आधार पर $R_0, R_1, R_2$ ) के आधार पर निर्णय वृक्ष (decision trees) प्रदान करता है, जो चिकित्सकों को उनके विशिष्ट समस्या के लिए सही दो-चरणीय टेस्ट संरचना (SN बनाम SA) चुनने में मार्गदर्शन करते हैं।

4. परिणाम और अनुप्रयोग (Results and Applications)

इस ढांचे को दो ठोस कॉज़ल इन्फरेंस समस्याओं पर लागू किया गया है:

A. इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल (IV) असमानताओं का परीक्षण

संदर्भ: क्या एक IV मॉडल वैध है, इसका परीक्षण करना (पर्ल, 1995)।
चुनौती: प्रतिच्छेदन $R_2$ उन वितरणों के अनुरूप है जहाँ इंस्ट्रूमेंट पॉज़िटिविटी धारणा (positivity assumption) का उल्लंघन करता है (कुछ इंस्ट्रूमेंट वैल्यूज की प्रायिकता शून्य है)।
समाधान: लेखक एक स्प्लिट-अल्टरनेटिव (SA) टेस्ट का निर्माण करते हैं।
- चरण 1: पॉज़िटिविटी के लिए परीक्षण करें (क्या $P(Z=z) > 0$ है?)। यदि उल्लंघन होता है, तो "अनिर्धारित" (2) आउटपुट दें।
- चरण 2: यदि पॉजिटिव है, तो IV असमानताओं का परीक्षण करें।
परिणाम: यह पॉज़िटिविटी क्षेत्र की नॉन-कॉम्पैक्टनेस को सही ढंग से संभालता है और वैध त्रुटि नियंत्रण प्रदान करता है।

B. उपचार प्रभावकारिता तुलना (Treatment Efficacy Comparison)

संदर्भ: ऑब्जर्वेशनल डेटा का उपयोग करके एक उपचार के कॉज़ल प्रभाव ($P(Y=1|do(X=1)) $) की एक थ्रेशोल्ड$ c$ के विरुद्ध तुलना करना।
चुनौती: मान्स्की बाउंड्स (Manski bounds) का उपयोग करते हुए, $R_0$ (प्रभावकारिता $\ge c$ ) और $R_1$ (प्रभावकारिता $< c$ ) के सेट असमानताओं द्वारा परिभाषित होते हैं।
समाधान: लेखक एक स्प्लिट-नल (SN) टेस्ट का निर्माण करते हैं।
- चरण 1: परीक्षण करें कि क्या प्रभावकारिता $c$ से सख्ती से कम है (लोअर बाउंड पर वन-साइडेड बिनोमियल टेस्ट का उपयोग करके)।
- चरण 2: यदि रिजेक्ट नहीं होता है, तो परीक्षण करें कि क्या प्रभावकारिता $c$ से सख्ती से अधिक है।
परिणाम: संख्यात्मक प्रयोग दिखाते हैं कि प्रस्तावित टर्नरी टेस्ट, मान्स्की बाउंड्स पर कॉन्फिडेंस इंटरवल का उपयोग करने वाले एक साधारण दृष्टिकोण की तुलना में उच्च प्रोबेबिलिटी ऑफ करेक्ट डिटेक्शन (PCD) प्राप्त करता है।

5. महत्व (Significance)

सिद्धांत और व्यवहार को जोड़ना: यह शोध पत्र कॉज़ल इन्फरेंस में एक महत्वपूर्ण अंतराल को हल करता है जहाँ मानक बाइनरी हाइपोथीसिस टेस्टिंग आंशिक पहचान के कारण विफल हो जाती है। यह एक गणितीय रूप से सुदृढ़ विकल्प प्रदान करता है जो अस्पष्ट "फेल टू रिजेक्ट" परिणामों के बजाय कार्रवाई योग्य "अनिर्धारित" निष्कर्ष प्रदान करता है।
मौजूदा उपकरणों का लाभ उठाना: दो-चरणीय परीक्षणों की पूर्णता को सिद्ध करके, लेखक जटिल कॉज़ल समस्याओं के लिए दशकों पुराने बाइनरी हाइपोथीसिस टेस्टिंग साहित्य के तत्काल अनुप्रयोग को सक्षम करते हैं, जिससे नई सांख्यिकीय मशीनरी बनाने की आवश्यकता नहीं पड़ती।
मजबूती (Robustness): टोपोलॉजिकल ढांचा यह सुनिश्चित करता है कि प्रस्तावित परीक्षण केवल एक अनुमान (heuristic) नहीं हैं, बल्कि डेटा वितरण स्पेस पर विशिष्ट, जांच योग्य स्थितियों के तहत उनके अस्तित्व और प्रदर्शन की गारंटी है।

संक्षेप में, यह कार्य अनऑब्जर्व्ड कन्फाउंडिंग या आंशिक पहचान की उपस्थिति में कॉज़ल क्वेरीज़ के परीक्षण के लिए एक कठोर, टोपोलॉजिकल रूप से आधारित पद्धति प्रदान करता है, जो "अनिर्धारित" मामले को इन्फरेंस की विफलता से बदलकर एक अलग, परीक्षण योग्य परिणाम में बदल देता है।