Testing Partially-Identifiable Causal Queries Using Ternary Tests

Resumen Técnico

1. Planteamiento del Problema

El trabajo aborda el desafío de realizar pruebas de hipótesis sobre consultas causales binarias (que toman valores 0 o 1) utilizando únicamente datos observacionales.

• Identificabilidad Parcial: En muchos escenarios causales (debido a confusores no observados, violaciones de positividad, etc.), la consulta causal no es totalmente identificable. Esto significa que existen modelos causales distintos que inducen la misma distribución observacional pero difieren en el valor de la consulta causal.
• Limitación de las Pruebas Binarias: Las pruebas estadísticas tradicionales (binarias: rechazar/no rechazar) fallan en estos casos. Si se define una hipótesis nula estadística basada en la distribución inducida por la consulta causal siendo 0, y la distribución observacional cae en la intersección de las distribuciones inducidas por ambos valores (0 y 1), la prueba binaria no puede distinguir entre "la consulta es 0" y "la consulta es no identificable".
• Consecuencia: Rechazar la nula implica que la consulta es 1, pero no rechazar la nula solo permite concluir "no identificable", lo cual es una pérdida de información crítica.

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un marco de pruebas ternarias (con tres resultados posibles) para abordar la identificabilidad parcial:

1. Rechazar la nula (La consulta causal es 1).
2. No rechazar la nula (La consulta causal es 0).
3. No identificable (La distribución observacional pertenece a la intersección de las distribuciones inducidas por ambas hipótesis causales).

Estructura del Enfoque:

• Definición de Hipótesis: Se definen tres conjuntos disjuntos de distribuciones de probabilidad basados en las hipótesis causales $H_0$ y $H_1$:
  • $R_0 = H_0 \setminus H_1$ (Solo compatible con $H_0$).
  • $R_1 = H_1 \setminus H_0$ (Solo compatible con $H_1$).
  • $R_2 = H_0 \cap H_1$ (Compatible con ambas, zona de no identificabilidad).
• Consistencia y Control de Error: Se establecen requisitos de consistencia uniforme y control de errores asintóticos para las pruebas ternarias. Un error se define como una discrepancia entre el resultado de la prueba y el conjunto verdadero ($R_i$) del cual se extrajo la muestra.
• Pruebas Ternarias de Dos Etapas (Two-Stage): Para aprovechar el vasto arsenal existente de pruebas binarias, los autores proponen construir pruebas ternarias combinando dos pruebas binarias secuenciales.
  • Estrategia "Split-Null" (SN): Primero se prueba si la muestra pertenece a $R_2$ (no identificable) contra el resto. Si no es $R_2$, se realiza una segunda prueba binaria para distinguir entre $R_0$ y $R_1$.
  • Estrategia "Split-Alternative" (SA): Primero se prueba si la muestra pertenece a $R_0$ (o $R_1$) contra el resto. Si no, se realiza una segunda prueba para distinguir entre los conjuntos restantes.

3. Contribuciones Clave

1. Formalización de la Necesidad de Pruebas Ternarias: Se demuestra teóricamente que para consultas parcialmente identificables, las pruebas binarias son insuficientes para proporcionar conclusiones causales exactas en todos los casos, mientras que las ternarias permiten distinguir explícitamente la zona de no identificabilidad.
2. Condiciones Topológicas para la Existencia: Se establecen condiciones topológicas necesarias y suficientes en el espacio de medidas de probabilidad (con la topología débil) para la existencia de "buenas" pruebas ternarias:
   • Los conjuntos sobre los cuales se desea controlar el error deben ser cerrados.
   • Los conjuntos restantes deben ser conjuntos $F_\sigma$ (unión numerable de conjuntos cerrados).
3. Completitud de las Pruebas de Dos Etapas: Se prueba que las pruebas ternarias construidas mediante la combinación de dos pruebas binarias (dos etapas) son completas. Esto significa que si existe alguna prueba ternaria que cumpla con ciertos criterios de control de error, entonces existe una prueba de dos etapas que cumple los mismos criterios. Esto permite a los investigadores utilizar herramientas binarias existentes para construir soluciones ternarias óptimas.
4. Guía de Construcción: Se proporciona un marco sistemático (basado en árboles de decisión topológicos) para que los practicantes seleccionen la estructura de prueba de dos etapas (SA o SN) adecuada según las propiedades topológicas de sus hipótesis específicas.

4. Resultados y Aplicaciones

Los autores validan su marco teórico aplicándolo a dos problemas concretos de inferencia causal:

• Prueba de las Desigualdades de la Variable Instrumental (IV):

  • Se aplica para verificar si una variable instrumental es válida.
  • Se identifica que la zona de no identificabilidad ($R_2$) corresponde a casos donde se viola la positividad de la variable instrumental.
  • Se construye una prueba de dos etapas: primero se prueba la positividad (para detectar $R_2$) y, si se cumple, se prueban las desigualdades de IV.
  • Se demuestra que esta estructura controla los errores de tipo I y II deseados.

• Comparación de Eficacia de Tratamiento:

  • Se aborda el problema de determinar si la eficacia de un tratamiento (estimado a partir de datos observacionales) supera un umbral dado (ej. la eficacia de un tratamiento controlado aleatoriamente).
  • Se utilizan los límites de Manski para acotar la eficacia causal.
  • Se diseña una prueba SN que controla los errores al distinguir entre "eficacia superior al umbral", "inferior" e "indeterminada".
  • Experimentos Numéricos: Las simulaciones muestran que la prueba propuesta (Algoritmo 2) tiene una mayor probabilidad de detección correcta (PCD) y un mejor control de errores en comparación con una prueba ternaria "ingenua" basada en intervalos de confianza de los límites de Manski.

• Estudio de Caso Real: Se aplicó la prueba de desigualdades IV al conjunto de datos de admisiones de la Universidad de California, Berkeley (1973), demostrando que las desigualdades se satisfacen y que la estructura de prueba funciona en datos reales.

5. Significado e Impacto

• Puente entre Estadística y Causalidad: El trabajo resuelve una brecha fundamental en la inferencia causal: cómo traducir resultados estadísticos a conclusiones causales cuando la identificación no es perfecta.
• Utilidad Práctica: Al demostrar que las pruebas de dos etapas son completas, el artículo permite a los investigadores utilizar el "cajón de sastre" de pruebas binarias existentes (como pruebas de chi-cuadrado, pruebas de Kolmogorov-Smirnov, etc.) para construir pruebas ternarias robustas sin tener que desarrollar algoritmos nuevos desde cero.
• Transparencia en la Incertidumbre: Al introducir el resultado "no identificable", el método evita conclusiones falsas o engañosas en escenarios donde los datos observacionales son inherentemente insuficientes para distinguir entre modelos causales, promoviendo una inferencia más honesta y rigurosa.

En conclusión, este artículo establece un marco teórico sólido y práctico para la prueba de hipótesis causales en presencia de identificabilidad parcial, utilizando la topología de espacios de probabilidad para garantizar la existencia y construcción óptima de pruebas ternarias.