Testing Partially-Identifiable Causal Queries Using Ternary Tests

1. Il Problema: Identificabilità Parziale e Limiti dei Test Binari

Il lavoro affronta il problema del testing di ipotesi causali utilizzando dati osservazionali. In molti scenari reali (ad esempio, a causa di confondenti non osservati o violazioni della positività), le query causali sono parzialmente identificabili.

• Identificabilità: Una query è identificabile se modelli causali che inducono la stessa distribuzione osservazionale concordano sul valore della query.
• Identificabilità Parziale: Quando i modelli che soddisfano l'ipotesi nulla causale ($H_0$) e quelli che soddisfano l'ipotesi alternativa ($H_1$) inducono distribuzioni osservazionali che si sovrappongono (intersezione non vuota).
• Il Limite dei Test Binari: I test statistici tradizionali a due esiti (rifiuto/non rifiuto) falliscono in questo contesto. Se si rifiuta l'ipotesi nulla statistica, si può concludere con certezza che l'ipotesi causale è vera (o falsa). Tuttavia, se non si rifiuta l'ipotesi nulla, la conclusione è ambigua: il dato potrebbe provenire dall'intersezione delle distribuzioni, rendendo la query non identificabile dai dati osservazionali. Un test binario non può distinguere tra "l'ipotesi è vera" e "non possiamo dirlo".

2. Metodologia Proposta: Test Ternari

Gli autori propongono di utilizzare test statistici ternari (a tre esiti) per gestire l'identificabilità parziale.

• I Tre Esiti:
  1. Rifiutare l'ipotesi nulla (conclusione causale: $H_1$ è vera).
  2. Non rifiutare l'ipotesi nulla (conclusione causale: $H_0$ è vera).
  3. Non identificabile (conclusione causale: il dato appartiene all'intersezione delle distribuzioni indotte da $H_0$ e $H_1$).
• Definizione degli Spazi: Lo spazio delle distribuzioni osservazionali $W$ è partizionato in tre insiemi disgiunti:
  • $R_0 = H_0 \setminus H_1$ (Solo $H_0$ è possibile).
  • $R_1 = H_1 \setminus H_0$ (Solo $H_1$ è possibile).
  • $R_2 = H_0 \cap H_1$ (Sovrapposizione/Non identificabile).

3. Contributi Chiave e Risultati Teorici

A. Condizioni Topologiche per l'Esistenza di Test "Buoni"

Gli autori definiscono i requisiti di desiderabilità per un test ternario in termini di consistenza uniforme e controllo degli errori (asintotici).

• Teorema di Esistenza: Viene stabilito un legame fondamentale tra l'esistenza di test ternari consistenti e le proprietà topologiche degli insiemi di ipotesi ($R_0, R_1, R_2$) nello spazio delle misure di probabilità (topologia debole).
• Condizione Necessaria e Sufficiente: Un test ternario che controlla gli errori in modo uniforme esiste se e solo se gli insiemi per cui si desidera il controllo degli errori sono chiusi nella topologia debole, mentre gli insiemi rimanenti sono $F_\sigma$ (unione numerabile di insiemi chiusi).
• Questo risultato generalizza i risultati noti per i test binari (come quelli di Ermakov, 2017) al caso ternario.

B. Completezza dei Test Ternari a Due Stadi

Per sfruttare l'ampio arsenale di test binari esistenti, gli autori introducono i Test Ternari a Due Stadi:

1. Fase 1: Si esegue un test binario per separare un insieme (es. $R_2$) dal suo complemento.
2. Fase 2: Se il primo test non conclude per l'insieme isolato, si esegue un secondo test binario per distinguere i restanti due insiemi.

• Risultato Principale (Completezza): Viene dimostrato che i test a due stadi sono completi. Cioè, se esistono condizioni topologiche che permettono l'esistenza di un test ternario generico con certi controlli di errore, allora esiste anche un test a due stadi (costruito combinando test binari) che raggiunge lo stesso livello di controllo degli errori.
• Guida Pratica: Gli autori forniscono una guida (basata su alberi decisionali topologici) per scegliere quale combinazione di test binari (Split-Null o Split-Alternative) utilizzare in base alla chiusura o apertura degli insiemi $R_0, R_1, R_2$.

4. Applicazioni Concrete

Il paper dimostra l'applicazione pratica della metodologia su due problemi causali specifici:

A. Testing delle Disuguaglianze della Variabile Strumentale (IV)

• Problema: Verificare se i dati osservazionali soddisfano le disuguaglianze di Pearl per una variabile strumentale, il che implica la validità del modello IV.
• Sfida: La sovrapposizione ($R_2$) si verifica quando la positività della variabile strumentale è violata (alcuni valori di $Z$ non appaiono nei dati).
• Soluzione: Viene costruito un test a due stadi:
  1. Test di positività (per identificare $R_2$).
  2. Test delle disuguaglianze IV (assumendo positività) per distinguere $R_0$ da $R_1$.
• Risultato: Il test restituisce "Non identificabile" se la positività è violata, evitando conclusioni errate.

B. Confronto dell'Efficacia del Trattamento

• Problema: Confrontare l'efficacia causale di un trattamento ($P(Y=1|do(X=1))$) rispetto a una soglia $c$, utilizzando dati osservazionali.
• Sfida: L'uso dei limiti di Manski crea una zona di sovrapposizione dove l'efficacia non è identificabile rispetto alla soglia.
• Soluzione: Un test a due stadi basato su test binomiali unilaterali che utilizza i limiti di Manski per definire le regioni $R_0, R_1, R_2$.
• Risultato: Le simulazioni mostrano che il test proposto (Algorithm 2) ha una Probabilità di Rilevamento Corretto (PCD) superiore rispetto a un approccio "naive" basato su intervalli di confidenza dei limiti di Manski, specialmente per campioni di dimensioni moderate.

5. Significato e Impatto

• Risoluzione dell'Ambiguità: Il lavoro risolve il problema fondamentale di come interpretare i risultati dei test causali quando l'identificabilità è parziale, fornendo un esito esplicito ("non identificabile") invece di forzare una decisione binaria errata.
• Ponte tra Teoria e Pratica: Dimostra che non è necessario sviluppare nuovi test statistici da zero; è possibile combinare test binari esistenti (ampiamente disponibili) per ottenere test ternari ottimali, guidati da condizioni topologiche rigorose.
• Fondamento Teorico: Stabilisce le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di test ternari consistenti, estendendo la teoria dell'identificabilità e del testing delle ipotesi oltre il caso binario.
• Applicabilità: Offre un framework pratico per problemi reali come la validazione di modelli IV e la valutazione di trattamenti in assenza di trial randomizzati controllati (RCT).

In sintesi, il paper propone un cambio di paradigma: invece di forzare una decisione binaria in scenari di identificabilità parziale, si adotta un approccio ternario che quantifica l'incertezza causale, garantendo che le conclusioni siano statisticamente valide e topologicamente fondato.