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Estimated Dynamic Equilibrium Model: Supply and Demand as a Sample Path of a Stochastic Process

यह शोध पत्र एस्टिमेटेड डायनेमिक इक्विलिब्रियम मॉडल (EDEM) प्रस्तुत करता है, जो एक एजेंट-आधारित ढांचा है जो यह प्रदर्शित करता है कि कैसे शोर वाले बिड वितरणों (noisy bid distributions) के ऊपरी छोर से मार्केट-क्लियरिंग कीमतों का क्रमिक रूप से नमूना लेना एक सांख्यिकीय पूर्वाग्रह उत्पन्न करता है जो निवेशक तर्कहीनता या आशावाद की आवश्यकता के बिना घातांकीय मूल्य वृद्धि और निरंतर असंतुलन को प्रेरित करता है।

मूल लेखक: Mikhail L. Arbuzov, Sisong Bei, Alexey Shvets

प्रकाशित 2026-05-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mikhail L. Arbuzov, Sisong Bei, Alexey Shvets

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: कीमतें क्यों बढ़ती रहती हैं, भले ही हर कोई "तर्कसंगत" हो?

कल्पना कीजिए कि आप एक कमरे में उन लोगों के बीच हैं जो एक रहस्यमयी पेंटिंग के मूल्य का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं। कोई भी वास्तविक कीमत नहीं जानता। हर कोई एक अनुमान लगाता है, लेकिन क्योंकि वे इंसान हैं, उनके अनुमान थोड़े गलत होते हैं—कुछ बहुत अधिक, कुछ बहुत कम। औसतन, अनुमान पूरी तरह से सटीक (शून्य त्रुटि) होते हैं।

अब, एक नियम की कल्पना करें: विक्रेता केवल उच्चतम बोली (highest bid) को स्वीकार करता है।

यह शोध पत्र तर्क देता है कि यह सरल नियम एक छिपा हुआ जाल बनाता है। भले ही हर कोई निष्पक्ष अनुमान लगा रहा हो, उच्चतम अनुमान लगभग हमेशा औसत अनुमान से अधिक होगा। यदि विक्रेता उस उच्चतम अनुमान को लेता है और उसे अगले दौर के अनुमान के लिए "नया सामान्य" (new normal) मान लेता है, तो कीमत ऊपर की ओर बढ़ने लगती है। यह एक पहाड़ी से नीचे लुढ़कते हुए हिमखंड (snowball) की तरह है; इसे बढ़ने के लिए किसी धक्के (जैसे लालची निवेशकों) की आवश्यकता नहीं है; इसे बस पहाड़ी के सही आकार की आवश्यकता है।

लेखक इसे एस्टिमेटेड डायनेमिक इक्विलिब्रियम मॉडल (EDEM) कहते हैं। उन्होंने यह साबित करने के लिए एक पड़ोस का कंप्यूटर सिमुलेशन बनाया कि कीमतें केवल गणित और सांख्यिकी के कारण बुलबुले (bubble) या क्रैश में बदल सकती हैं, बिना किसी के अतार्किक, लालची या अत्यधिक आशावादी हुए।

मुख्य तंत्र: "सबसे लंबे व्यक्ति" की समस्या

गणित को समझने के लिए, एक कतार में खड़े लोगों के बारे में सोचें जो एक बाड़ (fence) के ऊपर से कूदने की कोशिश कर रहे हैं।

सच्चाई: बाड़ ठीक 6 फीट ऊंची है।
अनुमान: हर कोई ऊंचाई का अनुमान लगाने की कोशिश करता है। कुछ 5'9" कहते हैं, कुछ 6'3" कहते हैं, कुछ 6'0" कहते हैं। औसतन, वे सही होते हैं।
नियम: विक्रेता (जो बाड़ पकड़े हुए है) केवल उस व्यक्ति की परवाह करता है जिसने सबसे ऊँचा छलाँग लगाई।

यदि 10 लोग कूद रहे हैं, तो जो व्यक्ति सबसे ऊँचा कूदेगा, वह लगभग निश्चित रूप से औसत 6 फीट से अधिक ऊँचा कूदेगा। शायद वह 6'4" तक कूदा।

गलती: यदि विक्रेता सोचता है, "वाह, बाड़ 6'4" ऊंची होनी चाहिए क्योंकि सबसे अच्छे जंपर ने इतना ऊंचा छलांग लगाया," और अगली बाड़ 6'4" पर सेट कर देता है, तो अगला समूह 6'4" पार करने की कोशिश करेगा।
परिणाम: अगले समूह का "सबसे अच्छा जंपर" संभवतः 6'8" तक कूद जाएगा। विक्रेता बाड़ को 6'8" पर सेट कर देता है। कीमत (बाड़ की ऊंचाई) ऊपर की ओर बढ़ती रहती है, भले ही बाड़ की वास्तविक ऊंचाई कभी नहीं बदली।

इसे शोध पत्र में ऑर्डर-सांख्यिकी पूर्वाग्रह (Order-Statistic Bias) कहा गया है। यह एक सांख्यिकीय विचित्रता है जहाँ समूह के शोर भरे अनुमानों में से "विजेता" को चुनने पर हमेशा एक ऐसा मान (value) मिलता है जो बहुत अधिक होता है।

सिमुलेशन: एक डिजिटल पड़ोस

लेखकों ने 1,024 घरों वाला एक आभासी पड़ोस बनाया।

विक्रेता (Sellers) घर बिक्री के लिए लगाते हैं।
खरीदार (Buyers) इधर-उधर घूमते हैं, घरों को देखते हैं और अपने स्वयं के "शोर भरे" अनुमानों के आधार पर प्रस्ताव देते हैं।
ट्विस्ट: खरीदार तभी खरीदते हैं जब कीमत उनके द्वारा अब तक किए गए सभी प्रस्तावों के औसत से बेहतर होती है। यह खरीदार की ओर से भी "सबसे लंबे व्यक्ति" के तर्क को दर्शाता है।

उन्होंने विभिन्न स्थितियों के तहत इस सिमुलेशन को चलाया ताकि देखा जा सके कि क्या होता है।

बाजार के छह "मौसम पैटर्न"

तीन सरल बटनों (कितने लोग मूल्य पर असहमत हैं, विक्रेता कितनी देर प्रतीक्षा करते हैं, और खरीदारों/विक्रेताओं की संख्या कैसे बदलती है) को बदलकर, उन्होंने छह अलग-अलग बाजार व्यवहार पाए:

शांत झील (स्थिर - Stable): जब लोग मूल्य पर करीब से सहमत होते हैं और विक्रेता धैर्यवान होते हैं, तो कीमतें वास्तविक मूल्य के पास स्थिर रहती हैं।
रोलरकोस्टर (व्यापार चक्र - Business Cycles): जब लोग बहुत अधिक असहमत होते (उच्च "विचारों का विचलन"), तो कीमतें बिना किसी बाहरी समाचार के, स्वाभाविक उछाल और गिरावट पैदा करती हैं।
धीमी चढ़ाई (लगातार ओवरशूट - Persistent Overshoot): यदि विक्रेता बहुत धैर्यवान हैं (वे एक अच्छे प्रस्ताव के लिए लंबा इंतजार करते हैं), तो कीमतें स्थायी रूप से वास्तविक मूल्य से उच्च स्तर पर स्थिर हो जाती हैं।
धीमी गिरावट (लगातार अंडरशूट - Persistent Undershoot): यदि घूमने वाले खरीदारों की संख्या बहुत कम है (कम घनत्व), तो विक्रेता हताश हो जाते हैं और कीमतें स्थायी रूप से वास्तविक मूल्य से नीचे गिर जाती हैं।
रॉकेट शिप (अनियंत्रित बुलबुला - Runaway Bubble): यदि आप "बैलेंसर" (चीजों को निष्पक्ष रखने के लिए खरीदारों को जोड़ने/हटाने वाली प्रक्रिया) को बंद कर देते हैं और "उच्चतम बोली" के नियम को बेकाबू छोड़ देते हैं, तो कीमतें तेजी से (exponentially) बढ़ती हैं। यह एक ऐसा बुलबुला है जो बढ़ता रहता है, जो केवल उच्चतम बोली चुनने के गणित के कारण होता है।
पीछा करने वाला खेल (संक्रमणकालीन - Transitional): यदि बाजार के नियम लगातार बदलते रहते हैं (जैसे मांग ऊपर-नीचे होना), तो कीमत कभी स्थिर नहीं होती; यह बस एक चलते हुए लक्ष्य का पीछा करती है।

वास्तविक जीवन के लिए यह क्यों मायने रखता है

शोध पत्र वास्तविक दुनिया के बारे में दो आश्चर्यजनक दावे करता है:

1. बुलबुलों के लिए "अतार्किक" लोगों की आवश्यकता नहीं होती।
आमतौर पर, हम सोचते हैं कि बुलबुले इसलिए होते हैं क्योंकि निवेशक लालची या पागल हो जाते हैं। यह शोध पत्र कहता है कि आपको पागल लोगों की आवश्यकता नहीं है। आपको बस सामान्य लोगों की आवश्यकता है जो थोड़े शोर भरे अनुमान लगा रहे हैं, और एक ऐसी प्रणाली की आवश्यकता है जो हमेशा उच्चतम संख्या को चुनती है। गणित ही बुलबुला बनाने का काम करता है।

2. कंप्यूटर एल्गोरिदम इसे और खराब बना सकते हैं।
लेखक आधुनिक AI मूल्यांकन उपकरणों (जैसे ज़िलो या बैंकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले) के साथ एक खतरे की ओर इशारा करते हैं।

ये AI उपकरण ऐतिहासिक बिक्री कीमतों पर प्रशिक्षित होते हैं।
लेकिन ऐतिहासिक बिक्री कीमतें "उच्चतम बोली" के नियम का परिणाम हैं। वे पहले से ही ऊँची (पूर्वाग्रह युक्त) हैं ("सबसे लंबे व्यक्ति" का प्रभाव)।
यदि कोई AI इन कीमतों से सीखता है, तो वह सत्य नहीं, बल्कि पूर्वाग्रह सीखता है।
जब AI एक कीमत का सुझाव देता है, तो वह एक ऐसी कीमत का सुझाव देता है जो पहले से ही बहुत अधिक है। यह वास्तविक मनुष्यों के लिए और भी अधिक भुगतान करने का संकेत बन जाता है, जिससे एक फीडबैक लूप बनता है जो बुलबुले को और अधिक फुला देता है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र सुझाव देता है कि "कुशल बाजार परिकल्पना" (Efficient Market Hypothesis - यह विचार कि कीमतें हमेशा सच्चाई को दर्शाती हैं) एक महत्वपूर्ण विवरण को छोड़ देती है: कीमत खोजने की प्रक्रिया मायने रखती है।

यदि आप एक ऐसा बाजार बनाते हैं जहाँ आप केवल सबसे ऊंची आवाज (उच्चतम बोली) को सुनते हैं, तो आप अनिवार्य रूप से सच्चाई से दूर हो जाएंगे, भले ही हर कोई सटीक होने की पूरी कोशिश कर रहा हो। "बुलबुला" मानवीय मनोविज्ञान की खराबी नहीं है; यह गणित की एक विशेषता है।

तकनीकी सारांश: एस्टिमेटेड डायनेमिक इक्विलिब्रियम मॉडल (EDEM)

समस्या का विवरण
यह शोध पत्र कुशल बाजार परिकल्पना (Efficient Market Hypothesis - EMH) की उस निरंतर विफलता को संबोधित करता है जो बुलबुलों (bubbles), क्रैश और निरंतर क्रॉस-सेक्शनल रिटर्न विसंगतियों जैसी बाजार घटनाओं की व्याख्या करने में असमर्थ है। "मतभेद के विचलन" (divergence of opinion) (मिलर, 1977) पर आधारित अनुभवजन्य साहित्य, जो प्रतिस्पर्धी सिद्धांत प्रस्तुत करता है—जिसमें से कुछ मतभेद के लिए प्रीमियम की भविष्यवाणी करते हैं, तो अन्य डिस्काउंट की—विरोधाभासी निष्कर्ष प्रदान करता है। ये निष्कर्ष अक्सर अवलोकन की विशिष्ट अवधि पर निर्भर करते हैं। लेखक तर्क देते हैं कि इस भ्रम का मूल कारण आपूर्ति और मांग का स्थिर ढांचा (static framing) है। वास्तविक बाजार निश्चित अनुसूचियाँ नहीं हैं, बल्कि निरंतर, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं जहाँ आज की कीमतें कल के मूल्यांकन को प्रभावित करती हैं। यह शोध पत्र यह निर्धारित करने के लिए एक जेनेरेटिव, बॉटम-अप मॉडल बनाने का प्रयास करता है कि क्या सरल, सामान्य-समझ वाले नियमों से निरंतर असंतुलन (disequilibrium) उत्पन्न हो सकता है, बिना निवेशक अतार्किकता, आशावाद या व्यवहारिक पूर्वाग्रह को माने।

कार्यप्रणाली
लेखक एस्टिमेटेड डायनेमिक इक्विलिब्रियम मॉडल (EDEM) पेश करते हैं, जो एक एजेंट-आधारित फ्रेमवर्क (ABM) है जिसे पायथन लाइब्रेरी 'मेसा' (Mesa) में लागू किया गया है। यह मॉडल एक टोरोइडल ग्रिड (toroidal grid) पर एक रियल-स्टेट मार्केट का अनुकरण करता है जहाँ विषम एजेंट (खरीदार और विक्रेता) निम्नलिखित संरचनात्मक नियमों के तहत परस्पर क्रिया करते हैं:

विषम अनुमान (Heterogeneous Estimation): एजेंटों के पास संपत्ति के मूल्य के लिए व्यक्तिगत अनुमान कार्य होते हैं, जिन्हें $E_{i,t}(h) = v_t(h) \cdot (1 + \epsilon_{i,t,h})$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\epsilon$ एक शून्य-माध्य (zero-mean) त्रुटि पद है जिसमें एजेंट-विशिष्ट फैलाव $\sigma$ होता है। महत्वपूर्ण रूप से, त्रुटियां शून्य-माध्य हैं; एजेंट स्वाभाविक रूप से पक्षपाती नहीं हैं।
मैक्स-बिड क्लियरिंग (Max-Bid Clearing): विक्रेता शोर वाले अनुमानों के समूह से प्राप्त अधिकतम बोली (maximum bid) का चयन करता है।
बिड-कमिटमेंट नियम (Bid-Commitment Rule): खरीदार केवल तभी खरीदारी के लिए प्रतिबद्ध होता है जब प्रस्तावित कीमत उसकी अपनी चल रही औसत बोलियों के बराबर या उससे ऊपर हो। यह वास्तविक लेनदेन को खरीदार के अपने बिड वितरण के ऊपरी छोर (upper tail) तक सीमित कर देता है।
डायनेमिक फीडबैक (Dynamic Feedback):
- डायनेमिक इक्विलिब्रियम (DE) वेरिएंट: कीमतों को अपडेट करने के लिए पिछले $W$ बिक्री के रोलिंग औसत का उपयोग करता है। आपूर्ति और मांग की मात्राएं "बैलेंसर" मापदंडों ( $C_b, C_s$ ) के माध्यम से समायोजित होती हैं जो मूल्य वृद्धि के प्रति प्रतिक्रिया करते हैं, जो मीन-रिवर्टिंग (mean-reverting) या ट्रेंड-फॉलोइंग व्यवहारों का अनुकरण करते हैं।
- स्पेक्युलेटिव मार्केट वेरिएंट: जीतने वाली बोलियों के अनुपात के आधार पर संपत्ति के मूल्यों को गुणात्मक रूप से अपडेट करता है, जिससे अनबाउंडेड बुलबुलों का अध्ययन संभव होता है।

यह मॉडल आपूर्ति और मांग को नियतात्मक अनुसूचियों के रूप में नहीं, बल्कि मूल्य वृद्धि और बैलेंसर मापदंडों द्वारा संचालित पूर्णांक-मूल्य वाले रैंडम वॉक (integer-valued random walks) के रूप में मानता है।

प्रमुख योगदान

ऑर्डर-स्टैटिस्टिक ड्रिफ्ट मैकेनिज्म (Order-Statistic Drift Mechanism): शोध पत्र एक क्लोज्ड-फॉर्म परिणाम निकालता है जो दिखाता है कि शून्य-माध्य अनुमान त्रुटियों के साथ भी, $n$ बोलियां प्राप्त करने वाले विक्रेता के लिए अपेक्षित जीतने वाली बोली वास्तविक मूल्य से $1 + \sigma(n-1)/(n+1)$ के कारक से अधिक होती है। यह "ऑर्डर-स्टैटिस्टिक बायस" इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $n$ शोर वाले ड्रॉ का अधिकतम मान माध्य (mean) से स्पष्ट रूप से अधिक होता है।
कंपाउंड एक्सपोनेंशियल ग्रोथ (Compound Exponential Growth): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि जब इस वास्तविक अधिकतम मान को अगले युग के मूल्यांकन एंकर (गुणात्मक अपडेट नियम के माध्यम से) में फीड किया जाता है, तो यह पूर्वाग्रह गुणात्मक रूप से संचयी (compounds) होता है। यह निवेशक आशावाद या अतार्किकता की धारणा के बिना निरंतर ऊपर की ओर मूल्य वृद्धि और घातीय बुलबुले (exponential bubbles) उत्पन्न करता है।
एकीकृत शासन ढांचा (Unified Framework of Regimes): EDEM क्लासिकल वॉलरियन इक्विलिब्रियम (जैसे $\sigma \to 0$ $σ \to 0$ होने पर) और मिलर के स्टैटिक प्रीमियम (एक एकल-अवधि सीमा के रूप में) को विशेष मामलों के रूप में समाहित करता है। यह आगे छह अलग-अलग आउट-ऑफ-इक्विलिब्रियम शासन (regimes) की पहचान करता है जो अनुमान शोर, विक्रेता धैर्य और बैलेंसर शक्ति द्वारा पैरामीटराइज्ड हैं:
- बैंड-स्टेबल इक्विलिब्रियम (Band-stable equilibrium)
- एंडोजेनस बिजनेस साइकल (Endogenous business cycles)
- निरंतर ओवरशूट और अंडरशूट (Persistent overshoots and undershoots)
- रनवे एक्सपोनेंशियल बुलबुले (Runaway exponential bubbles)
- निरंतर संक्रमण (Constant transition - कभी स्थिर न होना)

परिणाम
आठ प्राथमिक नियंत्रित प्रयोगों और एक 30-सेल संवेदनशीलता ग्रिड के माध्यम से, लेखक देखते हैं कि:

स्थिर बनाम अस्थिर गतिशीलता: कम अनुमान शोर और मध्यम धैर्य स्थिर इक्विलिब्रियम प्रदान करते हैं। उच्च शोर बिजनेस साइकल को प्रेरित करता है; उच्च धैर्य या कम एजेंट घनत्व निरंतर विचलन (ओवरशूट या अंडरशूट) पैदा करता है।
बुलबुला निर्माण: स्पेक्युलेटिव वेरिएंट में, जिसमें कोई बैलेंसर नहीं है ( $C_b=0$ ) और मध्यम शोर ( $\sigma=15\%$ ) है, कीमतें घातीय रूप से बढ़ती हैं (3000 टिक्स के दौरान वास्तविक मूल्य के ~421 गुना तक पहुँच जाती हैं)।
लीनियर बैलेंसर की अप्रभावीता: मीन-रिवर्टिंग बैलेंसर ( $C_b > 0$ ) ऊपर की ओर बढ़ने वाले रुझान (upward drift) को कम करते हैं, लेकिन समाप्त नहीं करते। ट्रेंड-फॉलोइंग बैलेंसर ( $C_b < 0$ ) बड़े बुलबुलों की अनुमति देते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, कोई भी लीनियर बैलेंसर सेटिंग सिम्युलेटेड टाइमस्केल के भीतर कीमत को उचित मूल्य ( $v_t/v^* = 1$ ) पर वापस लाने में सक्षम नहीं है।
संवेदनशीलता: ऑर्डर-स्टैटिस्टिक ड्रिफ्ट सार्वभौमिक है; बैलेंसर गुणांक और शोर स्तर के प्रत्येक संयोजन के परिणामस्वरूप $v_t/v^* > 1$ रहा।

महत्व और दावे
शोध पत्र विनम्रतापूर्वक दावा करता है कि यह विचलन-के-विचार (divergence of opinion) साहित्य के विरोधाभासी निष्कर्षों के लिए एक संरचनात्मक स्पष्टीकरण प्रदान करता है। यह तर्क देता है कि चाहे कोई अध्ययन "प्रीमियम" देखे या "डिस्काउंट", यह नमूने की अंतर्निहित स्टोकेस्टिक प्रक्षेपवक्र (stochastic trajectory) के साथ उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, जिसे छोटे-अवधि के अध्ययन नहीं पहचान सकते।

प्राथमिक सैद्धांतिक निहितार्थ यह है कि बुलबुले मैक्स-बिड क्लियरिंग के साथ फीडबैक का एक सांख्यिकीय अपरिहार्यता (statistical inevitability) हैं, न कि कोई व्यवहारिक विसंगति। एक माध्यमिक, व्यावहारिक निहितार्थ मशीन-लर्निंग वैल्यूएशन एल्गोरिदम (जैसे ज़िलो ऑफर - Zillow Offers) से संबंधित है। लेखक तर्क देते हैं कि ऐतिहासिक क्लियरिंग कीमतों पर प्रशिक्षित एल्गोरिदम अनजाने में जनसंख्या के माध्य के बजाय ऊपरी-क्रम सांख्यिकी (upper-order statistic/winning bid) को सीख लेते हैं। जब तैनात किए जाते हैं, तो ये एल्गोरिदम धनात्मक रूप से पक्षपाती एस्टिमेटर के रूप में कार्य करते हैं, जो एक समन्वय संकेत (coordinating signal) प्रदान करते हैं जो उन्हीं बुलबुलों को बढ़ा देता है जिन्हें वे मूल्य निर्धारित करने के लिए बनाए गए हैं। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि इसे ठीक करने के लिए "सिलेक्शन-अवेयर" प्रक्रियाओं (जैसे मेडियन का पूर्वानुमान लगाना या सेंसर-डेटा लाइकलीहुड का उपयोग करना) की आवश्यकता है, न कि ऐतिहासिक क्लियरिंग कीमतों को निष्पक्ष प्रशिक्षण लक्ष्यों के रूप में मानने की।