A locking free mixed FEM based on a pure pseudostress based formulation for the elasticity eigenproblem

तकनीकी सारांश: इलास्टिसिटी आइगेनप्रॉब्लम के लिए एक प्योर स्यूडोस्ट्रेस फॉर्मूलेशन पर आधारित एक लॉकिंग-फ्री मिक्स्ड FEM

समस्या विवरण
यह शोध पत्र रैखिक इलास्टिसिटी आइगेनप्रॉब्लम (linear elasticity eigenvalue problem) के संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximation) को संबोधित करता है, जो इलास्टिक संरचनाओं के कंपन को नियंत्रित करता है। मुख्य चुनौती "लॉकिंग" (locking) की घटना है जो मानक संख्यात्मक विधियों में तब होती है जब पॉइसन अनुपात ($\nu$) $1/2$ के करीब पहुँचता है (लगभग असंप्रेशिबल या पूर्णतः असंप्रेशिबल शासन)। इस शासन में, लैमे गुणांक (Lamé coefficient) $\lambda$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जिससे मानक फॉर्मूलेशन विफल हो जाते हैं या सटीकता खो देते हैं। इसके अतिरिक्त, लेखक एक ऐसा फॉर्मूलेशन विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं जो स्ट्रेस सिमेट्री (stress symmetry) को लागू करने (चाहे कमजोर रूप से हो या दृढ़ रूप से) से बचता है, जो मिश्रित इलास्टिसिटी विधियों में एक सामान्य आवश्यकता है और कार्यान्वयन एवं विश्लेषण को जटिल बनाती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक नवीन मिश्रित परिमित तत्व विधि (mixed finite element method - FEM) प्रस्तावित करते हैं जो विशेष रूप से स्यूडोस्ट्रेस टेंसर ($\rho$) पर आधारित है। विस्थापन क्षेत्र ($u$) प्राथमिक प्रणाली में एक स्वतंत्र अज्ञात चर नहीं है, बल्कि इसे पोस्ट-प्रोसेसिंग चरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।

1. प्योर स्यूडोस्ट्रेस फॉर्मूलेशन (Pure Pseudostress Formulation):
   निरंतर समस्या (continuous problem) को केवल स्यूडोस्ट्रेस टेंसर $\rho$ और विस्थापन $u$ पर निर्भर होने के लिए पुनर्गठित किया गया है। $\rho$ को $\nabla u$ से जोड़ने वाले पहचान (identity) का उपयोग करते हुए, सिस्टम को एक शुद्ध स्यूडोस्ट्रेस सिस्टम के आंशिक अंतर समीकरणों (PDEs) में कम किया जाता है। वैरिएशनल फॉर्मूलेशन को $X = H(\text{div}, \Omega)$ के स्पेस पर परिभाषित किया गया है, विशेष रूप से $X_0$ के एक उप-स्पेस पर जहाँ टेंसर के ट्रेस का समाकलन शून्य होता है।

2. गणितीय विश्लेषण (Mathematical Analysis):

   • नॉन-कॉम्पैक्ट ऑपरेटर थ्योरी (Non-Compact Operator Theory): मानक इलास्टिसिटी फॉर्मूलेशन के विपरीत जहाँ समाधान ऑपरेटर कॉम्पैक्ट होता है, इस स्यूडोस्ट्रेस फॉर्मूलेशन से जुड़ा समाधान ऑपरेटर $T^\lambda$ नॉन-कॉम्पैक्ट है। फलस्वरूप, लेखक नॉन-कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सिद्धांत का उपयोग करके अभिसरण (convergence) और त्रुटि अनुमानों का विश्लेषण करते हैं (संदर्भ [7, 8])।
   • स्पेक्ट्रल लक्षण वर्णन (Spectral Characterization): समाधान ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम को तीन भागों में विभाजित किया गया है: 1 पर एक अनंत-बहुलता वाला आइगेनवैल्यू (डाइवर्जेंस-फ्री टेंसरों से संबंधित), 0 पर एक आइगेनवैल्यू, और 0 की ओर अभिसरित होने वाले परिमित-बहुलता वाले आइगेनवैल्यू का एक अनुक्रम।
   • लिमिट विश्लेषण (Limit Analysis): यह शोध पत्र कठोरता से सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे $\lambda \to \infty$ (अर्थात $\nu \to 1/2$), लगभग असंप्रेशिबल समस्या का स्पेक्ट्रम पूर्णतः असंप्रेशिबल मामले के स्पेक्ट्रम की ओर अभिसरित होता है, जो स्टोक्स आइगेनवैल्यू सिस्टम के साथ मेल खाता है। यह अभिसरण बिना किसी न्यूमेरिकल लॉकिंग के स्थापित किया गया है।

3. विविक्तकरण (Discretization):
   विधि रैवियट-थॉमस (Raviart–Thomas - RT) परिमित तत्वों का उपयोग करती है, जो स्वाभाविक रूप से $H(\text{div})$-कन्फॉर्मिंग स्पेसों के अनुकूल होते हैं। विविक्त स्पेस (discrete spaces) को $X_0$ के लिए आवश्यक ट्रेस-फ्री स्थिति को संतुष्ट करने के लिए निर्मित किया गया है।

4. त्रुटि विश्लेषण (Error Analysis):

   • ए प्रियोरी अनुमान (A Priori Estimates): लेखक आइगेनवैल्यू और आइगेनफंक्शंस दोनों के लिए इष्टतम क्रम त्रुटि अनुमान (optimal order error estimates) प्राप्त करते हैं। विशेष रूप से, आइगेनवैल्यू त्रुटि $O(h^{2\min\{r,k\}})$ के क्रम के साथ अभिसरित होती है, जहाँ $r$ आइगेनफंक्शन की रेगुलैरिटी है और $k$ बहुपद की डिग्री है।
   • ए पोस्टीरियो अनुमान (A Posteriori Estimates): एक रेसिड्यूल-आधारित (residual-based) ए पोस्टीरियो त्रुटि अनुमानक पेश किया गया है। लेखक दोनों लगभग असंप्रेशिबल और पूर्णतः असंप्रेशिबल शासन के लिए इसकी विश्वसनीयता (ऊपरी सीमा) और दक्षता (निचली सीमा) को सिद्ध करते हैं। अनुमानक को पॉइसन अनुपात के संबंध में सुदृढ़ (robust) बनाया गया है।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)

• लॉकिंग-फ्री फॉर्मूलेशन: प्रस्तावित विधि $\nu \to 1/2$ होने पर न्यूमेरिकल लॉकिंग से बचती है, और दोनों लगभग और पूर्णतः असंप्रेशिबल शासनों में इष्टतम अभिसरण दर बनाए रखती है।
• कोई सिमेट्री प्रवर्तन नहीं (No Symmetry Enforcement): यह फॉर्मूलेशन स्ट्रेस सिमेट्री को स्पष्ट रूप से लागू करने की आवश्यकता को समाप्त करता है, जिससे परिमित तत्व कार्यान्वयन सरल हो जाता है।
• प्योर स्यूडोस्ट्रेस दृष्टिकोण: यह कार्य पूर्व में स्टोक्स समस्याओं पर लागू किए गए प्योर स्यूडोस्ट्रेस अवधारणा को इलास्टिसिटी आइगेनवैल्यू समस्या तक विस्तारित करता है, जिससे पोस्ट-प्रोसेसिंग के माध्यम से विस्थापन और स्ट्रेस प्राप्त करना संभव होता है।
• नॉन-कॉम्पैक्ट विश्लेषण: यह शोध पत्र इलास्टिसिटी आइगेनप्रॉब्लम के लिए नॉन-कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सिद्धांत को सफलतापूर्वक लागू करता है, जो स्यूडोस्ट्रेस फॉर्मूलेशन की विशिष्ट संरचना के कारण आवश्यक है।
• सुदृढ़ ए पोस्टीरियो अनुमानक: एक नवीन त्रुटि संकेतक प्रस्तावित किया गया है जो असंप्रेशिबिलिटी की सीमा में भी कुशल और विश्वसनीय रहता है, जो इस विशिष्ट फॉर्मूलेशन के लिए मौजूदा अनुमानकों में एक सामान्य विशेषता नहीं है।

संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)
सैद्धांतिक निष्कर्षों को FEniCSx वातावरण का उपयोग करके 2D और 3D में संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से सत्यापित किया गया है।

• अभिसरण (Convergence): एक वर्गाकार डोमेन और एक यूनिट क्यूब पर परीक्षणों से पता चलता है कि विधि विभिन्न पॉइसन अनुपातों, जिसमें $\nu = 0.5$ शामिल है, के लिए आइगेनवैल्यू के लिए द्वितीय-क्रम अभिसरण ($O(h^2)$) प्राप्त करती है।
• अनुकूली परिशोधन (Adaptive Refinement): गैर-कॉन्वेक्स डोमेन (एक 2-D सेक्टर जिसमें री-एंट्रेंट कॉर्नर है और एक 3-D नॉच्ड क्यूब) पर प्रयोगों से पता चलता है कि प्रस्तावित अनुमानक द्वारा संचालित अनुकूली रणनीति, आइगेनफंक्शंस की कम रेगुलैरिटी के बावजूद, इष्टतम अभिसरण दर ($O(\text{dof}^{-1})$ 2D में और $O(\text{dof}^{-2/3})$ 3D में) को सफलतापूर्वक पुनः प्राप्त करती है।
• सुदृढ़ता (Robustness): दक्षता सूचकांक (efficiency indices) $\nu$ के $0.5$ के करीब जाने पर भी सीमित और स्थिर रहते हैं, जो विधि की लॉकिंग-फ्री प्रकृति और त्रुटि अनुमानक की सुदृढ़ता की पुष्टि करते हैं।

महत्व (Significance)
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह कार्य इलास्टिक संरचनाओं के कंपन के विश्लेषण के लिए एक सुदृढ़, लॉकिंग-फ्री संख्यात्मक ढांचा प्रदान करता है, विशेष रूप से उन शासनों में जहां सामग्रियां लगभग या पूर्णतः असंप्रेशिबल होती हैं। स्ट्रेस सिमेट्री प्रवर्तन की आवश्यकता को समाप्त करके और एक प्योर स्यूडोस्ट्रेस फॉर्मूलेशन का उपयोग करके, यह विधि पारंपरिक मिश्रित विधियों के लिए एक सरल लेकिन गणितीय रूप से कठोर विकल्प प्रदान करती है। स्प्यूरियस आइगेनवैल्यू या अभिसरण क्रम की हानि के बिना असंप्रेशिबल सीमा में स्पेक्ट्रम को सटीक रूप से कैप्चर करने की क्षमता, इलास्टिक आइगेनप्रॉब्लम के कम्प्यूटेशनल मैकेनिक्स में एक महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करती है।