A locking free mixed FEM based on a pure pseudostress based formulation for the elasticity eigenproblem

Resumo Técnico: Um Método FEM Misto Livre de Travamento Baseado em uma Formulação de Pseudoestresse Puro para o Problema de Autovalor da Elasticidade

Enunciado do Problema
O artigo aborda a aproximação numérica do problema de autovalor da elasticidade linear, que governa a vibração de estruturas elásticas. O principal desafio abordado é o fenômeno de "travamento" (locking) que ocorre em métodos numéricos padrão quando o coeficiente de Poisson ($\nu$) se aproxima de $1/2$ (o regime quase incompressível ou perfeitamente incompressível). Neste regime, o coeficiente de Lamé $\lambda$ tende ao infinito, fazendo com que as formulações padrão falhem ou percam precisão. Além disso, os autores visam desenvolver uma formulação que evite a imposição de simetria de tensão (seja de forma fraca ou forte), um requisito comum em métodos de elasticidade mistos que complica a implementação e a análise.

Metodologia
Os autores propõem um novo método de elementos finitos mistos (FEM) baseado exclusivamente no tensor de pseudoestresse ($\rho$). O campo de deslocamento ($u$) não é uma incógnita independente no sistema primário, mas é recuperado via uma etapa de pós-processamento.

1. Formulação de Pseudoestresse Puro:
   O problema contínuo é reformulado para depender apenas do tensor de pseudoestresse $\rho$ e do deslocamento $u$. Ao utilizar a identidade que relaciona $\rho$ com $\nabla u$, o sistema é reduzido a um sistema de equações diferenciais parciais de pseudoestresse puro. A formulação variacional é definida no espaço $X = H(\text{div}, \Omega)$, especificamente em um subespaço $X_0$ onde o traço do tensor integra para zero.

2. Análise Matemática:

   • Teoria de Operadores Não Compactos: Diferente das formulações de elasticidade padrão onde o operador de solução é compacto, o operador de solução $T^\lambda$ associado a esta formulação de pseudoestresse é não compacto. Consequentemente, os autores analisam a convergência e as estimativas de erro usando a teoria de operadores não compactos (referenciando os trabalhos [7, 8]).
   • Caracterização Espectral: O espectro do operador de solução é decomposto em três partes: um autovalor de multiplicidade infinita em 1 (associado a tensores livres de divergência), um autovalor em 0 e uma sequência de autovalores de multiplicidade finita convergindo para 0.
   • Análise de Limite: O artigo prova rigorosamente que, à medida que $\lambda \to \infty$ (ou seja, $\nu \to 1/2$), o espectro do problema quase incompressível converge para o espectro do caso perfeitamente incompressível, que coincide com o sistema de autovalores de Stokes. Esta convergência é estabelecida sem travamento numérico.

3. Discretização:
   O método emprega elementos finitos de Raviart–Thomas (RT), que são naturalmente adequados para espaços conformes a $H(\text{div})$. Os espaços discretos são construídos para satisfazer a condição de traço nulo exigida para $X_0$.

4. Análise de Erro:

   • Estimativas A Priori: Os autores derivam estimativas de erro de ordem ótima tanto para autovalores quanto para autofunções. Notavelmente, o erro do autovalor converge com ordem $O(h^{2\min\{r,k\}})$, onde $r$ é a regularidade da autofunção e $k$ é o grau polinomial.
   • Estimativas A Posteriori: Um estimador de erro a posteriori baseado em resíduos é introduzido. Os autores provam sua confiabilidade (limite superior) e eficiência (limite inferior) tanto para os regimes quase incompressível quanto para o perfeitamente incompressível. O estimador é projetado para ser robusto em relação ao coeficiente de Poisson.

Principais Contribuições

• Formulação Livre de Travamento: O método proposto evita o travamento numérico conforme $\nu \to 1/2$, mantendo taxas de convergência ótimas em ambos os regimes, quase incompressível e perfeitamente incompressível.
• Sem Imposição de Simetria: A formulação não requer a imposição explícita de simetria de tensão, simplificando a implementação dos elementos finitos.
• Abordagem de Pseudoestresse Puro: O trabalho estende o conceito de pseudoestresse puro (previamente aplicado a problemas de Stokes) para o problema de autovalor da elasticidade, permitindo a recuperação do deslocamento e da tensão via pós-processamento.
• Análise de Operadores Não Compactos: O artigo aplica com sucesso a teoria de operadores não compactos ao problema de autovalor da elasticidade, um passo necessário devido à estrutura específica da formulação de pseudoestresse.
• Estimador A Posteriori Robusto: Um novo indicador de erro é proposto que permanece eficiente e confiável mesmo no limite da incompressibilidade, uma característica não comumente encontrada em estimadores existentes para esta formulação específica.

Resultados Numéricos
As descobertas teóricas são validadas através de experimentos numéricos em 2D e 3D utilizando o ambiente FEniCSx.

• Convergência: Testes em um domínio quadrado e em um cubo unitário demonstram que o método alcança uma convergência de segunda ordem ($O(h^2)$) para autovalores através de vários coeficientes de Poisson, incluindo $\nu = 0.5$.
• Refinamento Adaptativo: Experimentos em domínios não convexos (um setor 2D com um canto reentrante e um cubo entalhado 3D) mostram que a estratégia adaptativa impulsionada pelo estimador proposto consegue recuperar taxas de convergência ótimas ($O(\text{dof}^{-1})$ em 2D e $O(\text{dof}^{-2/3})$ em 3D) apesar da redução de regularidade das autofunções perto de singularidades.
• Robustez: Os índices de eficiência permanecem limitados e estáveis conforme $\nu$ se aproxima de $0.5$, confirmando a natureza livre de travamento do método e a robustez do seu estimador de erro.

Significância
O artigo afirma que este trabalho fornece um arcabouço numérico robusto e livre de travamento para analisar a vibração de estruturas elásticas, particularmente em regimes onde os materiais são quase ou perfeitamente incompressíveis. Ao eliminar a necessidade de imposição de simetria e utilizar uma formulação de pseudoestresse puro, o método oferece uma alternativa simplificada, porém matematicamente rigorosa, aos métodos mistos tradicionais. A capacidade de capturar precisamente o espectro no limite incompressível sem autovalores espúrios ou perda de ordem de convergência representa um avanço significativo na mecânica computacional de problemas de autovalor da elasticidade.