A locking free mixed FEM based on a pure pseudostress based formulation for the elasticity eigenproblem

Technische Samenvatting: Een Locking-vrije Mixed FEM gebaseerd op een Pure Pseudospanning-formulering voor het Elasticiteits-eigenprobleem

Probleemstelling
Het artikel behandelt de numerieke benadering van het lineaire elasticiteits-eigenprobleem, dat de trillingen van elastische structuren beheerst. De primaire uitdaging die wordt aangepakt, is het "locking"-fenomeen dat optreedt bij standaard numerieke methoden wanneer de Poisson-ratio ($\nu$) de waarde $1/2$ nadert (het bijna-incompressibele of perfect incompressibele regime). In dit regime neigt de Lamé-coëfficiënt $\lambda$ naar oneindig, wat ervoor zorgt dat standaard formuleringen falen of aan nauwkeurigheid verliezen. Bovendien streven de auteurs ernaar een formulering te ontwikkelen die het afdwingen van spanningssymmetrie (zowel zwak als sterk) vermijdt, een veelvoorkomende vereiste in mixed elasticiteitsmethoden die de implementatie en analyse bemoeilijkt.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe mixed eindige element methode (FEM) voor die uitsluitend gebaseerd is op de pseudospannings-tensor ($\rho$). Het verplaatsingsveld ($u$) is geen onafhankelijke onbekende in het primaire systeem, maar wordt gerecupereerd via een post-processing stap.

1. Pure Pseudospannings-formulering:
   Het continue probleem wordt geherformuleerd zodat het enkel afhangt van de pseudospanningstensor $\rho$ en de verplaatsing $u$. Door gebruik te maken van de identiteit die $\rho$ relateert aan $\nabla u$, wordt het systeem gereduceerd tot een puur pseudospanningssysteem van partiële differentiaalvergelijkingen. De variationele formulering is gedefinieerd op de ruimte $X = H(\text{div}, \Omega)$, specifiek op een subruimte $X_0$ waar de trace van de tensor integreert naar nul.

2. Wiskundige Analyse:

   • Niet-compacte Operator Theorie: In tegen tegenstelling tot standaard elasticiteitsformuleringen waarbij de oplosoperator compact is, is de oplosoperator $T^\lambda$ die bij deze pseudospanningsformulering hoort niet-compact. Bijgevolg analyseren de auteurs convergentie en foutenschattingen met behruikmaking van de theorie van niet-compacte operatoren (verwijzend naar werken [7, 8]).
   • Spectrale Karakterisering: Het spectrum van de oplosoperator wordt ontleed in drie delen: een eigenwaarde met oneindige multipliciteit bij 1 (geassocieerd met divergentievrije tensoren), een eigenwaarde bij 0, en een sequentie van eindige-multipliciteit eigenwaarden die naar 0 convergeren.
   • Limietanalyse: Het artikel bewijst rigoureus dat, naarmate $\lambda \to \infty$ (d.w.z. $\nu \to 1/2$), het spectrum van het bijna-incompressibele probleem convergeert naar het spectrum van het perfect incompressibele geval, wat overeenkomt met het Stokes-eigenwaardesysteem. Deze convergentie wordt vastgesteld zonder numerieke locking.

3. Discretisatie:
   De methode maakt gebruik van Raviart–Thomas (RT) eindige elementen, die van nature geschikt zijn voor $H(\text{div})$-conforme ruimten. De discrete ruimten worden geconstrueerd om aan de trace-vrije conditie te voldoen die vereist is voor $X_0$.

4. Foutanalyse:

   • A Priori Schattingen: De auteurs leiden optimale orde foutenschattingen af voor zowel eigenwaarden als eigenfuncties. Opvallend is dat de eigenwaardefout convergeert met orde $O(h^{2\min\{r,k\}})$, waarbij $r$ de regulariteit van de eigenfunctie is en $k$ de polynoomgraad.
   • A Posteriori Schattingen: Een residu-gebaseerde a posteriori foutschatter wordt geïntroduceerd. De auteurs bewijzen de betrouwbaarheid (bovengrens) en efficiëntie (ondergrens) ervan voor zowel de bijna-incompressibele als de perfect incompressibele regimes. De schatter is ontworpen om robuust te zijn ten opzichte van de Poisson-ratio.

Kernbijdragen

• Locking-vrije Formulering: De voorgestelde methode vermijdt numerieke locking naarmate $\nu \to 1/2$, waarbij optimale convergentiegraden behouden blijven in zowel de bijna-incompressibele als de perfect incompressibele regimes.
• Geen Afdwingen van Symmetrie: De formulering vereist geen expliciete afdwinging van spanningssymmetrie, wat de implementatie van de eindige elementen vereenvoudigt.
• Pure Pseudospanning-benadering: Het werk breidt het pure pseudospanningsconcept (voorheen toegepast op Stokes-problemen) uit naar het elasticiteits-eigenprobleem, waardoor verplaatsing en spanning kunnen worden gerecupereerd via post-processing.
• Niet-compacte Analyse: Het artikel past succesvol de theorie van niet-compacte operatoren toe op het elasticiteits-eigenprobleem, wat een noodzakelijke stap is vanwege de specifieke structuur van de pseudospanningsformulering.
• Robuuste A Posteriori Schatter: Een nieuw foutindicator wordt voorgesteld die efficiënt en betrouwbaar blijft, zelfs in het limiet van incompressibiliteit, een kenmerk dat niet vaak voorkomt bij bestaande schatters voor deze specifieke formulering.

Numerieke Resultaten
De theoretische bevindingen worden gevalideerd door numerieke experimenten in 2D en 3D met behulp van de FEniCSx-omgeving.

• Convergentie: Tests op een vierkant domein en een eenheidscube demonstreren dat de methode een tweede-orde convergentie ($O(h^2)$) bereikt voor eigenwaarden over diverse Poisson-ratio's, inclusief $\nu = 0.5$.
• Adaptieve Verfijning: Experimenten op niet-convexe domeinen (een 2D-sector met een inkeping in de hoek en een 3D-gekerfde kubus) tonen aan dat de adaptieve strategie, gestuurd door de voorgestelde schatter, erin slaagt de optimale convergentiegraden te herstellen ($O(\text{dof}^{-1}$ in 2D en $O(\text{dof}^{-2/3}$ in 3D) ondanks de verminderde regulariteit van de eigenfuncties nabij singulariteiten.
• Robuustheid: De efficiëntie-indices blijven begrensd en stabiel naarmate $\nu$ de waarde $0.5$ nadert, wat de locking-vrije aard van de methode en de robuustheid van de foutschatter bevestigt.

Betekenis
Het artikel stelt dat dit werk een robuust, locking-vrij numeriek kader biedt voor het analyseren van de trillingen van elastische structuren, met name in regimes waar materialen bijna of perfect incompressibel zijn. Door het elimineren van de noodzaak voor symmetrie-afdwinging en het gebruik van een pure pseudospanningsformulering, biedt de methode een vereenvoudigd maar wiskundig rigoureus alternatief voor traditionele mixed methoden. Het vermogen om het spectrum in het incompressibele limiet accuraat te vangen zonder spurieuze eigenwaarden of verlies van convergentieorde, vertegenwoordigt een significante vooruitgang in de computationele mechanica van elastische eigenproblemen.