Invisible singularities in complex algebraic geometry
यह शोधपत्र उन स्मूथ कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव वैराइटीज़ के बीच मोर्फिज्म का निर्माण करता है जिनमें सिंगुलर फाइबर्स टोपोलॉजिकल रूप से स्मूथ प्रतीत होते हैं, जिससे यह फर्नांडीज डी बोबाडिला, कोलर, पारडन, कोट्सचिक और श्रेइडर द्वारा प्रस्तुत चार अनुमानों और प्रश्नों के प्रति-उदाहरण प्रदान करता है।
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कल्पना कीजिए कि आप एक आदर्श पुल बनाने की कोशिश कर रहे एक वास्तुकार (architect) हैं। गणित की दुनिया में, विशेष रूप से कॉम्प्लेक्स अलजेब्रिक ज्योमेट्री (complex algebraic geometry) नामक क्षेत्र में, गणितज्ञ समीकरणों द्वारा परिभाषित आकृतियों का अध्ययन करते हैं। ये आकृतियाँ अविश्वसनीय रूप से जटिल हो सकती हैं, जो अदृश्य आयामों में मुड़ती और घूमती हैं। इस क्षेत्र में एक केंद्रीय पहेली है इक्विसिंगुलैरिटी (equisingularity): यह समझना कि कब आकृतियों का एक परिवार सुचारू रूप से बदलता है बनाम कब वह अचानक एक "किंक" (मोड़) या "दरार" (एक सिंगुलैरिटी) विकसित कर लेता है।
दो आकृतियों के बीच एक मॉर्फिज्म (एक मानचित्र) को एक मूवी प्रोजेक्टर की तरह समझें। यदि प्रोजेक्टर ठीक से काम कर रहा है, तो स्क्रीन पर छवि फ्रेम से फ्रेम में सुचारू रूप से बदलती है। लेकिन कभी-कभी, फिल्म में एक खरोंच आ जाती है। अतीत में, गणितज्ञों का मानना था कि यदि "मूवी" नग्न आंखों को सुचारू (टोपोलॉजिकल रूप से) दिखती है, तो फिल्म स्वयं भी अल्जेब्रिक रूप से पूर्ण (smooth) होनी चाहिए। उनका मानना था कि यदि आप आकृति के ताने-बाने में कोई दरार नहीं देख सकते, तो वहां कोई दरार नहीं है। यह शोध पत्र इस विश्वास की जांच करता है, यह परीक्षण करता है कि क्या कोई आकृति एक छिपी हुई दरार को छिपा सकती है जिसे केवल सबसे संवेदनशील गणितीय उपकरणों द्वारा ही पकड़ा जा सकता है, जबकि वह एक साधारण पर्यवेक्षक को पूरी तरह से सुचारू दिखाई देती है।
इस शोध पत्र के लेखक, मौरिसियो कोरिया, जानोस कोलर, स्टेफान श्रेइडर और बोटोंग वांग ने एक गणितीय "जादू का खेल" बनाया है। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार का पुल (सुव्यवस्थित कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव वैरायटीज़ के बीच एक मॉर्फिज्म) बनाया है जो दूर से देखने पर पूरी तरह से सुचारू दिखता है और मानक उपकरणों से मापे जाने वाले लगभग हर तरीके से एक सुचारू पुल की तरह व्यवहार करता है। हालाँकि, करीब से देखने पर, इसमें वास्तव में एक छिपी हुई खामी—एक सिंगुलैरिटी—है, जो वहां नहीं होनी चाहिए थी यदि पुल वास्तव में पूर्ण होता।
यहाँ मोड़ यह है: इस पुल में सिंगुलर फाइबर्स (singular fibers) (दरार वाले खंड) हैं, फिर भी यह टोपोलॉजिकल रूप से सुचारू (smooth) दिखता है। इसका मतलब है कि यदि आप एक रबर बैंड लेते हैं और उसे पुल के ऊपर खींचते हैं, या इसमें छिद्रों की गिनती करते हैं, तो आपको बिल्कुल वही परिणाम मिलेंगे जो आपको एक दोषरहित पुल के मामले में मिलते। "दरार" टोपोलॉजी के लिए अदृश्य है। लेखक इसे सिद्ध करने के लिए डाइमेंशन 5 (एक पांच-आयामी आकृति) में एक विशिष्ट उदाहरण का निर्माण करते हैं। इस उदाहरण में, मानचित्र में सिंगुलर फाइबर्स हैं, लेकिन "होमोलॉजी" (छिद्रों को गिनने का एक तरीका) स्थिर रहती है, और फाइबर्स 'सिंपली कनेक्टेड' (simply connected) हैं (उनमें ऐसे लूप नहीं हैं जिन्हें सिकोड़ा न जा सके)।
यह खोज एक बड़ी बात है क्योंकि यह कई लंबे समय से चले आ रहे अनुमानों को गलत सिद्ध करती है। यह फर्नांडीज डी बोबाडिला-कोलर स्मूथनेस कंजैक्चर (Fernández de Bobadilla–Kollár smoothness conjecture) को "नहीं" कहकर उत्तर देती है, जिसने सुझाव दिया था कि यदि एक मानचित्र टोपोलॉजिकल रूप से सुचारू दिखता है, तो उसे अल्जेब्रिक रूप से भी सुचारू होना चाहिए। यह कोलर और पारडन (Kollár and Pardon) के उस प्रश्न को भी "नहीं" कहता है कि क्या ऐसी आकृति का यूनिवर्सल कवर एक सीमित, प्रबंधनीय संरचना (जैसे कि एक सीमित लेगो सेट) होना चाहिए यदि मानचित्र सुचारू दिखता है। यह कोट्सचिक (Kotschick) के अनुमान और श्रेइडर (Schreieder) के वन-फॉर्म्स (one-forms - प्रवाह को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण) के संबंध में एक प्रश्न को भी चुनौती देता है और यह भी देखता है कि वे इन आकृतियों पर कैसे व्यवहार करते हैं।
यह शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि "यह संभव है"; बल्कि यह उदाहरण को स्पष्ट रूप से निर्मित करता है। वे एक सरल सतह (surface) से शुरुआत करते हैं जिसमें एक ज्ञात सिंगुलैरिटी है (जैसे कि एक वक्र पर एक तीखा बिंदु) और "क्वोटिएंट्स" (आकृति को अपने ऊपर मोड़ना) और "ब्लो-अप्स" (एक बिंदु को एक पूरी नई जगह से बदलना) के शामिल एक चतुर निर्माण का उपयोग करके सिंगुलैरिटी को छिपाते हैं। वे दिखाते हैं कि उनके 5-आयामी उदाहरण में, मानचित्र एक होमोटॉपी फाइबर बंडल (homotopy fiber bundle) है (अर्थात यह फाइबर के सुचारू बंडल की तरह व्यवहार करता है) लेकिन यह एक सबमर्शन (submersion) नहीं है (अर्थात यह सख्त अल्जेब्रिक अर्थ में सुचारू नहीं है)।
दिलचस्प बात यह है कि लेखक यह भी सिद्ध करते हैं कि यह "जादू का खेल" डाइमेंशन 3 में नहीं किया जा सकता है। यदि आप 3-आयामी स्थान में इस प्रकार की अदृश्य सिंगुलैरिटी बनाने की कोशिश करते हैं, तो गणित सिंगुलैरिटी को दृश्यमान होने के लिए मजबूर कर देता है। यह "अदृश्य" घटना केवल उच्च आयामों (विशेष रूप से 4 और उससे ऊपर, हालांकि उनका स्पष्ट निर्माण डाइमेंशन 5 में है) में काम करती है।
अंत में, यह शोध पत्र प्रकट करता है कि गणितीय आकृतियों का ब्रह्मांड हमारी सोच से अधिक भ्रामक है। एक आकृति पूर्ण सुचारूता का मुखौटा पहन सकती है, हमारी टोपोलॉजिकल इंद्रियों को धोखा दे सकती है, जबकि नीचे एक ऊबड़-खाबड़ रहस्य छिपा सकती है। यह गणितज्ञों को इस संबंध पर पुनर्विचार करने के लिए मजबूर करता है कि एक आकृति कैसी दिखती है और वह वास्तव में कैसी है। यह सिद्ध करता है कि कभी-कभी, सबसे खतरनाक दरारें वे होती हैं जिन्हें आप देख नहीं सकते।
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