Invisible singularities in complex algebraic geometry

Sintesi Tecnica: Singolarità Invisibili nella Geometria Algebrica Complessa

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una questione centrale della teoria dell'equisingularità: la relazione tra le nozioni algebriche, analitiche e topologiche di singolarità. Mentre i concetti di equisingularità di Zariski si prevedeva coincidessero in dimensioni superiori, i precedenti controesempi di Fernández de Bobadilla coinvolgevano spazi totali che erano singolari. Una convinzione prevalente, supportata da risultati in dimensioni 2 e 3, era che se $Y$ è una varietà proiettiva complessa smooth e $g: Y \to C$ è un morfismo proprio a una curva, allora la struttura topologica di $Y$ debba rilevare la presenza di punti critici (fibre singolari). Nello specifico, si congetturava che se il morfismo appare topologicamente liscio (ad esempio, è un fibrato di omotopia o ha fasci di coomologia costanti), debba essere algebricamente liscio (un submorsismo).

Gli autori indagano se esistano singolarità "invisibili": morfismi $g: Y \to \mathbb{P}^1$ da una varietà smooth che possiedono fibre singolari pur apparendo topologicamente lisci. Questa indagine mira a quattro problemi specifici aperti:

1. La congettura sulla regolarità (smoothness) di Fernández de Bobadilla e Kollár [FdBK12].
2. Una questione di Kollár e Pardon [KP12] riguardante il tipo di omotopia dei rivestimenti universali di varietà fibrate su curve.
3. La congettura di Kotschick [Kot22] sull'equivalenza tra l'ammettere una 1-forma oloomorfa senza zeri e l'ammettere una 1-forma reale chiusa senza zeri.
4. Una congettura di Schreieder [Sch21] concernente l'esattezza dei complessi di Aomoto e l'esistenza di forme non nulle.

Metodologia
Gli autori costruiscono controesempi espliciti utilizzando una combinazione di costruzioni di quoziente, blow-up e tecniche di smoothing topologico.

1. Costruzione di Quoziente (Modello Locale): Il nucleo della costruzione inizia con un morfismo proiettivo $\pi: Z \to \Delta$ (su un disco) avente punti critici isolati. Prendendo il quoziente di $Z \times A$ (dove $A$ è una varietà abeliana) per un'azione diagonale di un gruppo ciclico finito, gli autori creano un nuovo morfismo $\pi_Y: Y \to \Delta$. Selezionando accuratamente l'automorfismo $\gamma$ di $Z$ e la traslazione $\tau$ di $A$ tali che il polinomio caratteristico dell'azione di monodromia sul fibra di Milnor soddisfi $\chi(1) = \pm 1$, assicurano che la mappa risultante sia un fibrato di omologia $\mathbb{Z}$ ma non un fibrato di omotopia (Sezione 2).

2. Blow-up e Fibre Semplicemente Connesse: Per ottenere fibre semplicemente connesse (un requisito per i teoremi globali), gli autori immettono il quoziente singolare $Y$ in un bundle proiettivo smooth $P$ con fibre semplicemente connesse e compiono un blow-up $X = \text{Bl}_Y P$. Utilizzando la Proposizione 17, dimostrano che il morfismo indotto $X \to \Delta$ rimane un fibrato di omologia $\mathbb{Z}$ ma non è un submorsismo. Poiché le fibre sono semplicemente connesse, il teorema di Whitehead implica che $X \to \Delta$ sia un fibrato di omotopia (Sezione 3).

3. Globalizzazione e Smoothing: Gli esempi locali sono globalizzati in morfismi $g: Y \to \mathbb{P}^1$. Per dimostrare che queste mappe "appaiano" topologicamente lisce, gli autori impiegano il teorema $h$-cobordismo di Smale e il teorema di pseudo-isotopia di Cerf (Sezione 4). Dimostrano che per i morfismi verso superfici di Riemann con fibre semplicemente connesse, se la mappa è un fibrato di omologia $\mathbb{Z}$, essa è omotopa a un submorsismo $C^\infty$ che concorda con la mappa originale al di fuori di un piccolo intorno delle fibre singolari.

4. Applicazioni a Congetture Specifiche:

   • Congettura di Kotschick: Prendendo un prodotto fibrato con una curva ellittica, costruiscono una varietà dove la mappa di Albanese è un fibrato di omotopia (implicando l'esistenza di forme reali non nulle) ma non è un submorsismo (implicando che tutte le forme oloomorfe hanno zeri).
   • Complessi di Aomoto: Utilizzando una costruzione di toro di coomologia razionale basata su Debarre–Jiang–Lahoz [DJL17], costruiscono una varietà in cui il complesso di Aomoto è esatto per ogni rivestimento étale finito, eppure nessuna 1-forma reale chiusa è non nulla.

Risultati Chiave

• Teorema 1: Esistono morfismi $g: Y \to \mathbb{P}^1$ da varietà proiettive complesse smooth $Y$ (specificamente di dimensione 5) tali che:

  • $g$ ha fibre singolari.
  • $R^i g_* \mathbb{Z}_Y$ sono fasci costanti (coomologia topologicamente costante).
  • $g$ è un fibrato di omotopia con fibre semplicemente connesse.
  • Tutte le fibre sono varietà PL, ma $g$ non è un fibrato $C^0$.
  • $g$ è omotopo a un fibrato $C^\infty$ localmente banale che concorda con $g$ lontano dalle fibre singolari.
  • Significato: Questo smentisce la congettura sulla regolarità di Fernández de Bobadilla–Kollár.

• Corollario 3 (Kollár–Pardon & Kotschich): Esiste una varietà proiettiva smooth $X$ (dimensione 5) tale che:

  • Il rivestimento universale $\tilde{X}$ ha il tipo di omotopia di un complesso cellulare finito, eppure la mappa di Albanese non è smooth.
  • Ogni classe non nulla in $H^1(X, \mathbb{R})$ può essere rappresentata da una 1-forma reale chiusa non nulla, ma il rappresentante armonico di ogni tale classe ha zeri. Di conseguenza, $X$ non ammette alcuna 1-forma oloomorfa senza zeri.
  • Significato: Questo fornisce risposte negative alla domanda di Kollár–Pardon sui rivestimenti universali e alla congettura di Kotschick.

• Teorema 4: Esiste una varietà proiettiva smooth $X$ tale che per ogni rivestimento étale connesso $\pi: X' \to X$ e per ogni $\omega \in H^0(X', \Omega^1_{X'})$ non nullo, il complesso di Aomoto è esatto, eppure ogni 1-forma reale chiusa su $X$ ha uno zero.

  • Significato: Questo smentisce la congettura di Schreieder secondo cui l'esattezza del complesso di Aomoto implichi l'esistenza di una forma reale non nulla.

• Teorema 40: I controesempi alla congettura sulla regolarità con fibre semplicemente connesse non esistono in dimensione 3. Se $Y$ è una varietà proiettiva complessa smooth di dimensione 3 e $g: Y \to \mathbb{P}^1$ è un morfismo con fibre semplicemente connesse che è un fibrato di omologia $\mathbb{Q}$, allora $g$ è smooth.

  • Significato: Questo stabilisce un confine dimensionale netto per il fenomeno delle singolarità invisibili.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire i primi esempi di "singolarità invisibili" dove lo spazio totale è smooth, eppure il morfismo possiede fibre singolari non rilevabili dagli standard invarianti topologici (omologia, tipo di omotopia e persino smoothing $C^\infty$ fino all'omotopia).

Gli autori sottolineano che la loro costruzione è esplicita e semplice, con il più piccolo esempio che avviene in dimensione 5, dove il luogo critico del morfismo ha dimensione 1. Chiariscono che, sebbene la costruzione generale permetta loci critici di dimensione superiore, il controesempio specifico alla congettura sulla regolarità presentato nel Teorema 1 presenta un locus critico di dimensione 1. Il lavoro risolve questioni di lunga data nella geometria complessa dimostrando che la regolarità algebrica non è un invariante topologico in dimensioni $\geq 4$, anche sotto forti vincoli topologici come le fibre semplicemente connesse. Il saggio rimane modesto riguardo alla dimensione 4, notando che la questione rimane aperta in tale dimensione.