Invisible singularities in complex algebraic geometry

Resumen Técnico: Singularidades Invisibles en Geometría Algébrica Compleja

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una cuestión central en la teoría de la equisingularidad: la relación entre las nociones algebraica, analítica y topológica de la singularidad. Se esperaba que los conceptos de equisingularidad de Zariski coincidieran en dimensiones superiores, pero los contraejemplos previos de Fernández de Bobadilla involucraban espacios totales que eran singulares. Una creencia predominante, respaldada por resultados en dimensiones 2 y 3, era que si $Y$ es una variedad proyectiva compleja suave y $g: Y \to C$ es una morfismo propio a una curva, entonces la estructura topológica de $Y$ debe detectar la presencia de puntos críticos (fibras singulares). Específicamente, se conjeturaba que si el morfismo parece suave topológicamente (por ejemplo, es un fibrado de homotopía o tiene haces de cohomología constantes), debe ser algebraicamente suave (un submersión).

Los autores investigan si existen singularidades "invisibles": morfismos $g: Y \to \mathbb{P}^1$ desde una variedad suave $Y$ que poseen fibras singulares pero parecen topológicamente suaves. Esta indagación apunta a cuatro problemas abiertos específicos:

1. La conjetura de suavidad de Fernández de Bobadilla y Kollár [FdBK12].
2. Una pregunta de Kollár y Pardon [KP12] sobre el tipo de homotopía de las cubiertas universales de variedades fibradas sobre curvas.
3. La conjetura de Kotschick [Kot22] sobre la equivalencia de admitir una una-forma holomorfa sin ceros frente a una una-forma real cerrada sin ceros.
4. Una conjetura de Schreieder [Sch21] relativa a la exactitud de los complejos de Aomoto y la existencia de formas no nulas.

Metodología
Los autores construyen contraejemplos explícitos utilizando una combinación de construcciones de cociente, soplados (blow-ups) y técnicas de suavizado topológico.

1. Construcción de Cociente (Modelo Local): La construcción central comienza con un morfismo proyectivo $\pi: Z \to \Delta$ (sobre un disco) que tiene puntos críticos aislados. Al tomar un cociente de $Z \times A$ (donde $A$ es una variedad abeliana) por una acción diagonal de un grupo cíclico finito, los autores crean un nuevo morfismo $\pi_Y: Y \to \Delta$. Al seleccionar cuidadosamente el automorfismo $\gamma$ de $Z$ y la traslación $\tau$ de $A$ tales que el polinomio característico de la acción de la monodromía sobre la fibra de Milnor satisfaga $\chi(1) = \pm 1$, aseguran que el mapa resultante sea un fibrado de homología $\mathbb{Z}$ pero no un fibrado de homotopía (Sección 2).

2. Soplado y Fibras Simplemente Conexas: Para lograr fibras simplemente conexas (un requisito para los teoremas globales), los autores embeben el cociente singular $Y$ en un fibrado proyectivo suave $P$ con fibras simplemente conexas y realizan un soplado $X = \text{Bl}_Y P$. Usando la Proposición 17, muestran que el mapa inducido $X \to \Delta$ sigue siendo un fibrado de homología $\mathbb{Z}$ pero no es una submersión. Dado que las fibras son simplemente conexas, el teorema de Whitehead implica que $X \to \Delta$ es un fibrado de homotopía (Sección 3).

3. Globalización y Suavizado: Los ejemplos locales se globalizan a morfismos $g: Y \to \mathbb{P}^1$. Para demostrar que estos mapas "parecen" topológicamente suaves, los autores emplean el teorema de $h$-cobordismo de Smale y el teorema de pseudo-isotopía de Cerf (Sección 4). Demuestran que para morfismos a superficies de Riemann con fibras simplemente conexas, si el mapa es un fibrado de homología $\mathbb{Z}$, es homotópico a una submersión $C^\infty$ que concuerda con el mapa original fuera de un pequeño entorno de las fibras singulares.

4. Aplicaciones a Conjeturas Específicas:

   • Conjetura de Kotschick: Al tomar un producto de fibras con una curva elíptica, construyen una variedad $X$ donde el mapa de Albanese es un fibrado de homotopía (implicando la existencia de formas reales no nulas) pero no es una submersión (implicando que todas las formas holomorfas tienen ceros).
   • Complejos de A laomoto: Utilizando una construcción de toro de cohomología racional basada en Debarre–Jiang–Lahoz [DJL17], construyen una variedad donde el complejo de Aomoto es exacto para todas las coberturas étale finitas, pero ninguna una-forma real cerrada es no nula.

Resultados Clave

• Teorema 1: Existen morfismos $g: Y \to \mathbb{P}^1$ desde variedades proyectivas complejas suaves $Y$ (específicamente de dimensión 5) tales que:

  • $g$ tiene fibras singulares.
  • $R^i g_* \mathbb{Z}_Y$ son haces constantes (cohomología topológicamente constante).
  • $g$ es un fibrado de homotopía con fibras simplemente conexas.
  • Todas las fibras son variedades PL, pero $g$ no es un fibrado $C^0$.
  • $g$ es homotópico a un fibrado $C^\infty$ localmente trivial que concuerda con $g$ fuera de las fibras singulares.
  • Significancia: Esto refuta la conjetura de suavidad de Fernández de Bobadilla–Kollár.

• Corolario 3 (Kollár–Pardon & Kotschick): Existe una variedad proyectiva suave $X$ (dimensión 5) tal que:

  • La cubierta universal $\tilde{X}$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito, pero el mapa de Albanese no es suave.
  • Cada clase no nula en $H^1(X, \mathbb{R})$ puede ser representada por una una-forma real cerrada no nula, pero el representante armónico de cada una de estas clases tiene ceros. En consecuencia, $X$ no admite ninguna una-forma holomorfa sin ceros.
  • Significancia: Esto proporciona respuestas negativas a la pregunta de Kollár–Pardon sobre las cubiertas universales y a la conjetura de Kotschick.

• Teorema 4: Existe una variedad proyectiva suave $X$ tal que para cada cobertura étale conexa finita $\pi: X' \to X$ y cada $\omega \in H^0(X', \Omega^1_{X'})$ no nulo, el complejo de Aomoto es exacto, pero toda una-forma real cerrada en $X$ tiene un cero.

  • Significancia: Esto refuta la conjetura de Schreieder de que la exactitud del complejo de Aomoto implica la existencia de una forma real no nula.

• Teorema 40: Los contraejemplos a la conjetura de suavidad con fibras simplemente conexas no existen en dimensión 3. Si $Y$ es una variedad proyectiva compleja suave de dimensión 3 y $g: Y \to \mathbb{P}^1$ es un morfismo con fibras simplemente conexas que es un fibrado de homología $\mathbb{Q}$, entonces $g$ es suave.

  • Significancia: Esto establece un límite dimensional agudo para el fenómeno de las singularidades invisibles.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar los primeros ejemplos de "singularidades invisibles" donde el espacio total es suave, pero el morfismo posee fibras singulares que son indetectables por los invariantes topológicos estándar (homología, tipo de homotopía e incluso el suavizado $C^\infty$ hasta la homotopía).

Los autores enfatizan que su construcción es explícita y simple, siendo el ejemplo más pequeño de dimensión 5, donde el lugar crítico del morfismo tiene dimensión 1. Aclaran que, si bien la construcción general permite loci críticos de mayor dimensión, el contraejemplo específico a la conjetura de suavidad presentado en el Teorema 1 presenta un locus crítico de dimensión 1. El trabajo resuelve cuestiones de larga data en geometría compleja al demostrar que la suavidad algebraica no es un invariante topológico en dimensiones $\geq 4$, incluso bajo fuertes restricciones topológicas como las fibras simplemente conexas. El artículo mantiene la modestia respecto a la dimensión 4, señalando que la cuestión sigue abierta en esa dimensión.