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The Wallace problem and countably compact torsion-free Abelian groups in ZFC

यह शोध पत्र ZFC में यह सिद्ध करता है कि $\mathfrak c$ कार्डिनैलिटी (cardinality) वाला प्रत्येक टॉर्सन-फ्री (torsion-free) एबेलियन समूह एक हौसडॉफ़ (Hausdorff) गणनीय कॉम्पैक्ट (countably compact) समूह टोपोलॉजी को स्वीकार करता है जिसमें गैर-तुच्छ अभिसारी अनुक्रम (nontrivial convergent sequences) नहीं होते हैं, जिससे एक दो-तरफा निरसन (two-sided cancellation) वाले गैर-तुच्छ कम-से-कम दो-तरफा निरसन वाले एक कम्यूटेटिव टायकोनॉफ़ (Tychonoff) गणनीय कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल सेमिग्रुप का निर्माण करके वॉलेस के प्रश्न का नकारात्मक उत्तर प्रदान किया गया है जो कि एक समूह नहीं है।

मूल लेखक: Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

प्रकाशित 2026-08-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

गणित की दुनिया में, आकृतियों और संरचनाओं का एक विशाल परिदृश्य है जो संख्याओं की तरह व्यवहार करते हैं लेकिन अपने स्वयं के आंतरिक नियमों का पालन करते हैं। इनमें से कुछ "समूह" (groups) हैं, जो वस्तुओं के संग्रह हैं जिन्हें एक विशिष्ट तरीके से संयोजित किया जा सकता है, ठीक वैसे ही जैसे संख्याओं को जोड़ा जाता है, लेकिन यहाँ वस्तुएँ स्वयं जटिल पैटर्न या अनंत सूचियाँ हो सकती हैं। जब इन समूहों को एक "टोपोलॉजी" (topology) दी जाती है, तो वे निकटता और दूरी का एक बोध प्राप्त कर लेते हैं, जिससे गणितज्ञों को वस्तुओं के अनुक्रमों के बारे में बात करने की अनुमति मिलती है जो किसी विशिष्ट बिंदु के करीब आते जाते हैं, और अंततः वहां पहुँच जाते हैं। बीजगणित और ज्यामिति का यह मिश्रण "टोपोलॉजिकल समूहों" (topological groups) को बनाता है, जो ब्रह्मांड में समरूपता और निरंतरता को समझने के लिए केंद्रीय हैं। इस क्षेत्र में एक विशेष रूप से कठिन पहेली "गणनात्मक रूप से संहत" (countably compact) समूहों के बारे में रही है। ये वे संरचनाएँ हैं जहाँ बिंदुओं की कोई भी अनंत सूची के पास बिंदुओं का एक समूह (cluster) होना चाहिए, जो यह सुनिश्चित करता है कि स्थान कभी अराजकता में न भटक जाए। दशकों तक, गणितज्ञों ने आश्चर्य किया कि क्या इन समूहों का एक विशिष्ट प्रकार, जिनमें कोई दोहराव वाले चक्र नहीं होते और जो संचालन के पूर्ण निरस्तीकरण (perfect cancellation) की अनुमति देते हैं, बिना किसी अनुक्रम के वास्तव में किसी सीमा (limit) की ओर अभिसरण (converge) किए अस्तित्व में रह सकता है। यदि ऐसा समूह अस्तित्व में आया, तो यह इस दीर्घकालिक धारणा को तोड़ देगा कि इन गणितीय संसारों को कैसे व्यवहार करना चाहिए।

लगभग पचहत्तर वर्षों से, गणितज्ञ ए. डी. वॉलेस द्वारा पूछे गए एक प्रश्न का उत्तर नहीं मिल सका था। उन्होंने पूछा था कि क्या एक विशिष्ट प्रकार की गणितीय संरचना, जिसे "सेमीग्रुप" (semigroup) कहा जाता है, जो पर्याप्त रूप से संहत (compact) है ताकि बिंदुओं को भटकने से रोका जा सके और संचालन के पूर्ण निरस्तीकरण की अनुमति देती है, अनिवार्य रूप से एक पूर्ण समूह (group) होगी। सरल शब्दों में, यदि आपके पास एक ऐसी प्रणाली है जहाँ आप तत्वों को जोड़ सकते हैं और उन संयोजनों को पूरी तरह से उलट सकते हैं, और प्रणाली कसकर भरी हुई है, तो क्या यह स्वतः ही एक समूह बन जाती है? यदि प्रणाली पूर्ण रूप से संहत थी, तो उत्तर "हाँ" ज्ञात था, लेकिन कोई नहीं जानता था कि "गणनात्मक रूप से संहत" की थोड़ी कमजोर स्थिति भी इसी परिणाम को लागू करने के लिए पर्याप्त है या नहीं। प्रति-उदाहरण खोजने के प्रयास अनंतता की प्रकृति के बारे में अतिरिक्त, अप्रमाणित नियमों को मान लेने के बाद ही सफल हो पाते थे, जिससे यह प्रश्न मानक गणित के नियमों के भीतर खुला रहा।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने बिना किसी अतिरिक्त धारणा की आवश्यकता के केवल मानक गणित के नियमों का उपयोग करके इस समस्या को हल कर लिया है। उन्होंने सिद्ध किया कि ऐसा प्रति-उदाहरण अस्तित्व में है। विशेष रूप से, उन्होंने एक ऐसे गणितीय पिंड का निर्माण किया जो लगभग हर तरह से एक समूह की तरह व्यवहार करता है—यह 'टोरशन-फ्री' (torsion-free) है, जिसका अर्थ है कि कोई भी तत्व चक्र में नहीं दोहराता है, और यह गणनात्मक रूप से संहत है, जिसका अर्थ है कि यह कसकर भरा हुआ है। हालाँकि, यह एक समूह नहीं है क्योंकि इसमें एक महत्वपूर्ण गुण की कमी है: इसमें कोई गैर-तुच्छ (non-trivial) अनुक्रम नहीं है जो किसी सीमा की ओर अभिसरण करता हो। इस संरचना में, आप बिंदुओं की एक अनंत संख्या सूचीबद्ध कर सकते हैं, और वे किसी भी दृष्टिकोण से एक एकल गंतव्य तक कभी नहीं पहुँच पाएंगे। यह खोज पुष्टि करती है कि वॉलेस के प्रश्न का उत्तर "नहीं" है। एक प्रणाली कसकर भरी हुई और पूर्ण निरस्तीकरण की अनुमति देने के बावजूद भी एक पूर्ण समूह नहीं हो सकती है।

शोधकर्ताओं ने एक विशाल, अनंत संख्याओं के संग्रह का निर्माण करके और उनके बीच की दूरी को मापने का एक बहुत ही विशिष्ट तरीका परिभाषित करके इसे हासिल किया। उन्होंने एक 'फ्री अबेलियन ग्रुप' (free Abelian group) से शुरुआत की, जो अनिवार्य रूप से पूर्णांक निर्देशांकों वाले वेक्टरों का एक संग्रह है, और सावधानीपूर्वक एक टोपोलॉजी, या निकटता के नियम को तैयार किया, जो किसी भी अनुक्रम को तब तक अभिसरण करने से रोकता है जब तक कि वह अंततः बदलना बंद न कर दे। उन्होंने "अल्ट्राफिल्टर्स" (ultrafilters) का उपयोग करने वाली एक तकनीक का उपयोग किया, जो परिष्कृत उपकरण हैं जो यह तय करते हैं कि संख्याओं के कौन से अनंत सेट "बड़े" होने के कारण महत्वपूर्ण हैं, ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि बिंदुओं की प्रत्येक अनंत सूची पास में एक संचय बिंदु (accumulation point) रखे, जिससे संहतता की आवश्यकता पूरी हो सके। फिर भी, उन्होंने एक साथ यह सुनिश्चित किया कि बिंदुओं की कोई भी अलग सूची वास्तव में एक सीमा तक नहीं पहुँच सके, जिससे "अभिसरण अनुक्रमों का अभाव" वाला गुण बना रहे। इस सूक्ष्म संतुलन को पूरी तरह से गणित के मानक ढांचे के भीतर किया गया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि ऐसे पिंड का अस्तित्व एक मौलिक तथ्य है, न कि एक संभावना जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं पर निर्भर करती है।

इस निर्माण के निहितार्थ गणित के कई अन्य क्षेत्रों में भी गूँजते हैं। क्योंकि जो पिंड उन्होंने बनाया है वह इन विशिष्ट गुणों वाला एक समूह है, इसका उपयोग अन्य ऐसी संरचनाओं को बनाने के लिए किया जा सकता है जो पहले केवल अनिश्चित स्थितियों के तहत ही ज्ञात थीं। उदाहरण के लिए, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि इस समूह में एक उप-संरचना है जो एक "वॉलेस सेमीग्रुप" के रूप में कार्य करती है, जो एक दो-तरफा निरस्तीकरण वाला क्रमविनिमेय (commutative) तंत्र है, जो गणनात्मक रूप से संहत है लेकिन समूह नहीं है। इसने उस बहस को सुलझा दिया जो दशकों से बनी हुई थी। इसके अलावा, उनका कार्य एक "पैराटोपोलॉजिकल ग्रुप" (paratopological group) का एक ठोस उदाहरण प्रदान करता है, जो एक ऐसी संरचना है जहाँ तत्वों को जोड़ने का संचालन निरंतर है, लेकिन विपरीत संचालन नहीं है। यह इस प्रश्न का उत्तर देता है कि क्या ऐसे अपूर्ण समूह कसकर भरे हुए हो सकते हैं। उन्होंने यह भी प्रदर्शित किया कि इस समूह का उपयोग एक "मोनोटेटिक मोनॉइड" (monothetic monoid) बनाने के लिए किया जा सकता है, जो एक एकल तत्व द्वारा उत्पन्न एक प्रणाली है, जो गणनात्मक रूप से संहत है लेकिन समूह नहीं है।

यह शोध पत्र इन गणितीय स्थानों के आकार के बारे में भी चर्चा करता है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि उनके द्वारा निर्मित विशिष्ट समूह में, बिंदुओं का कोई भी अनंत बंद सेट (closed set) वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सातत्य (continuum) जितना बड़ा होगा। इसका अर्थ है कि इसके भीतर कोई "छोटे" अनंत क्लस्टर छिपे नहीं हैं; यदि कोई सेट अनंत और बंद है, तो वह अधिकतम रूप से बड़ा है। यह परिणाम ऐसे समूहों में बिंदुओं के घनत्व के बारे में एक विशिष्ट जांच को हल करता है। इस पिंड का निर्माण करके, लेखकों ने न केवल एक प्रसिद्ध प्रश्न का उत्तर दिया है, बल्कि एक बहुमुखी उपकरण भी प्रदान किया है जो कई अन्य खुले प्रश्नों के समाधान उत्पन्न करता है। उनका कार्य एक निर्णायक प्रमाण है कि गणितीय ब्रह्मांड में ऐसे मायावी, कसकर भरे हुए पिंड मौजूद हैं जो इस सहज ज्ञान को चुनौती देते हैं कि कसाव और निरस्तीकरण हमेशा एक समूह की ओर ले जाते हैं। इन पिंडों का अस्तित्व अब गणित के मानक अभिलेखों (axioms) में निहित एक स्थापित तथ्य है, जो अनंत बीजगणितीय प्रणालियों के व्यवहार के बारे में ज्ञात चीज़ों के परिदृश्य को बदल देता है।

तकनीकी सारांश: ZFC में वैलेस समस्या और गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट (Countably Compact) टॉर्सन-मुक्त एबेलियन समूह

1. समस्या और संदर्भ
यह शोधपत्र दो परस्पर जुड़े हुए, लंबे समय से चले आ रहे समस्याओं को संबोधित करता है जो टोपोलॉजिकल बीजगणित और सेट-थ्योरेटिक टोपोलॉजी में स्थित हैं, और जो दशकों से ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विद द एक्सिओम ऑफ चॉइस (ZFC) में अनसुलझी रही थीं।

वैलेस समस्या (The Wallace Problem): 1955 में, ए. डी. वैलेस ने पूछा था कि क्या प्रत्येक हाउसडॉर्फ (Hausdorff) गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल सेमिसग्रुप (semigroup), जिसमें द्वि-पक्षीय निरसन (two-sided cancellation) हो, एक टोपोलॉजिकल ग्रुप ही होगा। एक प्रति-उदाहरण के रूप में "वैलेस सेमिसग्रुप" ज्ञात है। अतिरिक्त सेट-थ्योरेटिक परिकल्पनाओं (जैसे कि निरंतरता परिकल्पना या मार्टिन का एक्सिओम) के तहत ऐसे सेमिसग्रुपों के सुसंगत निर्माण मौजूद थे, लेकिन ZFC में वैलेस सेमिसग्रुप का अस्तित्व एक खुला प्रश्न बना रहा।
गैर-टॉर्सन गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों का अस्तित्व: वैन डाउवेन और कम्फर्ट द्वारा प्रस्तुत एक संबंधित समस्या, यह है कि क्या एक गैर-टॉर्सन टोपोलॉजिकल ग्रुप का अस्तित्व संभव है जिसमें कोई गैर-तुच्छ अभिसारी अनुक्रम (nontrivial convergent sequences) न हों। इस कार्य से पूर्व, बिना गैर-तुच्छ अभिसारी अनुक्रमों वाले गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के ZFC निर्माण केवल टॉर्सन समूहों तक ही सीमित थे। विशेष रूप से, यह अज्ञात था कि क्या $\mathfrak{c}$ जनरेटरों वाला मुक्त एबेलियन समूह, $Z(\mathfrak{c})$ , या वास्तविक संख्याओं का योग समूह, $\mathbb{R}$ , ऐसी टोपोलॉजी को ZFC में स्वीकार कर सकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक बीजगणितीय एम्बेडिंग (algebraic embedding), यूनिफॉर्म फाइनाइट एप्रोक्सिमेशन (uniform finite approximation), और "ब्लॉक अल्ट्राफिल्टर" (block ultrafilters) का उपयोग करते हुए एक ट्रांसफिनिट रिकर्सिव निर्माण के माध्यम से आवश्यक टोपोलॉजी का निर्माण करते हैं।

बीजगणितीय न्यूनीकरण (Algebraic Reduction): लेखक पहले यह स्थापित करते हैं कि किसी भी कार्डिनैलिटी $\mathfrak{c}$ वाले टॉर्सन-मुक्त एबेलियन समूह $G$ को $Q(\mathfrak{c})$ के उपसमूह के रूप में इस प्रकार एम्बेड किया जा सकता है कि $Z(\mathfrak{c}) \leq G \leq Q(\mathfrak{c})$ हो। यह उन्हें एक विशिष्ट आधार संरचना के साथ $\mathbb{Q}$ के वेक्टर्स स्पेस के संदर्भ में समस्या को हल करने की अनुमति देता है।
यूनिफॉर्म फाइनाइट क्रोनेकर लेम्मा (Uniform Finite Kronecker Lemma): एक केंद्रीय तकनीकी उपकरण क्रोनेकर के प्रमेय का एक यूनिफॉर्म फाइनाइट संस्करण (लेम्मा 3.1) है। यह लेम्मा सुनिश्चित करता है कि एबेलियन समूह में तत्वों के किसी भी परिमित सेट और सर्कल ग्रुप $\mathbb{T}$ में किसी भी लक्ष्य मान के लिए, एक होमोरफिज्म (homomorphism) पाया जा सकता है जो इन लक्ष्यों का अनुमान लगा सके, बशर्ते कि लक्ष्य मान सीमित गुणांकों के साथ कुछ पूर्णांक संबंधों को संतुष्ट करते हों। यह स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय और अराज़ेल-एस्कोली कॉम्पैक्टनेस तर्कों पर निर्भर करता है।
बाउंडेड डिलीशन और इंडिपेंडेंस (Bounded Deletion and Independence): अनंत निर्माण को संभालने के लिए, लेखक एक कॉम्बिनेटोरियल डिलीशन तर्क (लेम्मा 4.4) का उपयोग करते हैं। एक परिमित सेट $A$ और एक बड़े सेट $X$ के दिए जाने पर, वे एक बड़ा उपसमुच्चय $Y \subseteq X$ पहचानते हैं जो बाउंडेड इंटीजर रिलेशंस के संबंध में $A$ से "स्वतंत्र" है। यह होमोरफिज्मों के निर्माण की अनुमति देता है जो $A$ पर मानों को संरक्षित करते हुए $Y$ पर छोटे होते हैं।
ब्लॉक अल्ट्राफिल्टर और ट्रांसफिनिट रिकर्सन: निर्माण प्रक्रिया $G$ में सभी इंजेक्टिव अनुक्रमों को $(s_\alpha)_{\alpha < \mathfrak{c}}$ के रूप में सूचीबद्ध करके आगे बढ़ती है। प्रत्येक अनुक्रम के लिए, लेखक प्राकृतिक संख्याओं $\mathbb{N}$ पर एक "ब्लॉक" संरचना को परिभाषित करते हैं और एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर $p_\alpha$ से जोड़ते हैं। वे रिकर्सिव रूप से होमोरफिज्मों का एक अनुक्रम $\psi_l: G \to \mathbb{T}$ निर्मित करते हैं जो एक सीमा होमोरफिज्म $\psi$ की ओर पॉइंटवाइज (pointwise) अभिसरित होते हैं। निर्माण यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक गैर-शून्य $x \in G$ के लिए, एक होमोरफिज्म $\psi_x$ है कि $\psi_x(x) \neq 0$ , और प्रत्येक अनुक्रम $s_\alpha$ के लिए, निर्मित टोपोलॉजी के तहत अनुक्रम का अल्ट्राफिल्टर लिमिट एक विशिष्ट गैर-शून्य तत्व (विशेष रूप से, एक बेस वेक्टर $e_{\iota(\alpha)}$ ) की ओर अभिसरित होता है। अंतिम टोपोलॉजी $\tau_G$ , इन होमोरफिज्मों $\{\psi_x : x \in G \setminus \{0\}\}$ द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी है जो $G$ को उत्पाद स्थान $\mathbb{T}^{G \setminus \{0\}}$ में मैप करती है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम
प्राथमिक योगदान अतिरिक्त सेट-थ्योरेटिक धारणाओं के बिना ZFC में अस्तित्व संबंधी प्रश्नों को हल करना है।

प्रमेय 1.1: ZFC में, प्रत्येक टॉर्सन-मुक्त एबेलियन समूह जिसकी कार्डिनैलिटी $\mathfrak{c}$ $c$ है, में एक हाउसडॉर्फ गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट ग्रुप टोपोलॉजी होती है जिसमें प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम अंततः स्थिर (eventually constant) होता है (अर्थात, इसमें कोई गैर-तुच्छ अभिसारी अनुक्रम नहीं होते हैं)।
- यह मुक्त एबेलियन समूह $Z(\mathfrak{c})$ के लिए टकेन्को (Tkachenko) समस्या को हल करता है।
- यह बेयर-स्पेक्टर ग्रुप $Z^\omega$ के लिए प्रश्न को हल करता है।
- यह वास्तविक संख्याओं के योग समूह $\mathbb{R}$ के लिए प्रश्न को हल करता है (आइसोमोर्फिज्म $Q(\mathfrak{c}) \cong \mathbb{R}$ के माध्यम से)।
परिणाम 1.3 (वैलेस सेमिसग्रुप): $Z(\mathfrak{c})$ के गैर-ऋणात्मक शंकु (non-negative cone) $P$ पर निर्माण को विशिष्ट बनाकर, लेखक ZFC में एक कम्यूटेटिव टायकोनॉफ (Tychonoff) गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल सेमिसग्रुप को सिद्ध करते हैं, जिसमें द्वि-पक्षीय निरसन है लेकिन वह एक ग्रुप नहीं है। यह वैलेस के 1955 के प्रश्न का नकारात्मक उत्तर प्रदान करता है।
अन्य परिणाम: शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि मुख्य प्रमेय कई अन्य परिणामों को निहित करता है जो पहले केवल अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत ज्ञात थे:
- ZFC में एक टायकोनॉफ गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल सेमिसग्रुप का अस्तित्व जिसमें बाइसिकलिक (bicyclic) सेमिसग्रुप की एक प्रति शामिल है।
- ZFC में एक टायकोनॉफ गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट पैराटोपोलॉजिकल (paratopological) ग्रुप का अस्तित्व जो टोपोलॉजिकल ग्रुप नहीं है (गुरां के प्रश्नों का उत्तर देता है)।
- ZFC में एक हाउसडॉर्फ गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट मोनोटेटिक (monothetic) टोपोलॉजिकल मोनोइड का अस्तित्व जो एक टोपोलॉजिकल ग्रुप का उप-मोनोइड है लेकिन ग्रुप नहीं है।
- एक गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट मुक्त एबेलियन समूह का अस्तित्व जहाँ प्रत्येक अनंत बंद उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी कम से कम $\mathfrak{c}$ है।

4. महत्व
शोधपत्र दावा करता है कि यह 73 साल पुरानी वैलेस सेमिसग्रुप संबंधी समस्या को पूरी तरह से ZFC के भीतर हल करता है। इस कार्य से पूर्व, ऐसे सेमिसग्रुपों का अस्तित्व केवल मजबूत सेट-थ्योरेटिक एक्सिओम्स के तहत ही ज्ञात था। एक टॉर्सन-मुक्त गणвनीय रूप से कॉम्पैक्ट ग्रुप का निर्माण करके जिसमें गैर-तुच्छ अभिसारी अनुक्रम नहीं हैं, लेखक टोपोलॉजिकल ग्रुप थ्योरी और सेमिसग्रुप थ्योरी के बीच के अंतर को पाटते हैं, यह दिखाते हुए कि "वैलेस घटना" किसी विशिष्ट सेट-थ्योरेटिक मॉडल का आर्टिफैक्ट नहीं है बल्कि ZFC की एक विशेषता है। यह कार्य गणवनीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों, पैराटोपोलॉजिकल समूहों और उपयुक्त समुच्चयों की संरचना के संबंध में कई संबंधित प्रश्नों को एकीकृत और हल करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ZFC में इन संरचनाओं के अस्तित्व में बाधा विशिष्ट सेट-थ्योरेटिक मान्यताओं के कारण नहीं, बल्कि एक विशिष्ट निर्माण तकनीक के अभाव के कारण थी।

लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि उनका निर्माण एबेलियन समूहों की श्रेणी में सर्कल ग्रुप $\mathbb{T}$ की इंजेक्टिविटी और ट्रिगोनोमेट्रिक बहुपदों (trigonometric polynomials) के माध्यम से विश्लेषणात्मक सन्निकटन और कॉम्बिनेटोरियल डिलीशन तर्क के बीच एक सावधानीपूर्ण परस्पर क्रिया पर निर्भर करता है। परिणाम को वर्णित किए गए प्रश्नों के एक निश्चित समाधान के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जिसमें निरंतरता परिकल्पना या मार्टिन के एक्सिओम पर कोई निर्भरता नहीं है।

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