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The Wallace problem and countably compact torsion-free Abelian groups in ZFC

Cet article démontre dans ZFC que tout groupe abélien sans torsion de cardinalité $\mathfrak c$ admet une topologie de groupe séparée, localement compacte et dénombrablement compacte, sans suites convergentes non triviales, fournissant ainsi une réponse négative à la question de Wallace en construisant un semigroupe topologique de Tychonoff commutatif, dénombrablement compact et à annulation bilatérale qui n'est pas un groupe.

Auteurs originaux : Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

Publié 2026-08-19

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

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Dans le monde des mathématiques, il existe un vaste paysage de formes et de structures qui se comportent comme des nombres mais suivent leurs propres règles internes. Parmi celles-ci se trouvent les « groupes », des collections d'objets qui peuvent être combinés d'une manière spécifique, un peu comme l'addition de nombres, mais où les objets eux-mêmes peuvent être des motifs complexes ou des listes infinies. Lorsque ces groupes reçoivent une « topologie », ils acquièrent un sens de proximité et de distance, permettant aux mathématiciens de parler de séquences d'objets se rapprochant de plus en plus d'un point spécifique, pour finalement l'atteindre. Ce mélange d'algèbre et de géométrie crée des « groupes topologiques », qui sont au cœur de la compréhension de la symétrie et de la continuité dans l'univers. Un puzzle particulièrement tenace dans ce domaine concernait les groupes « de compacité dénombrable ». Ce sont des structures où toute liste infinie de points doit avoir un amas de points à proximité, garantissant que l'espace ne dérive jamais vers le chaos. Pendant des décennies, les mathématiciens se sont demandé si un type spécifique de ces groupes, qui n'ont pas de cycles répétitifs et permettent une annulation parfaite des opérations, pourrait exister sans qu'aucune séquence de points ne converge réellement vers une limite. Si un tel groupe existait, il briserait une hypothèse de longue date sur la façon dont ces mondes mathématiques doivent se comporter.

Pendant près de soixante-quinze ans, une question posée par un mathématicien nommé A. D. Wallace est restée sans réponse. Il demandait si une structure mathématique particulière, connue sous le nom de semi-groupe, qui est suffisamment compacte pour empêcher les points de s'égarer et permet une annulation parfaite des opérations, doit nécessairement être un groupe complet. En termes plus simples, si vous avez un système où vous pouvez combiner des éléments et annuler ces combinaisons parfaitement, et que le système est étroitement compact, doit-il automatiquement être un groupe ? La réponse était connue pour être « oui » si le système était parfaitement compact, mais personne ne savait si la condition légèrement plus faible de « compacité dénombrable » suffisait à imposer le même résultat. Les tentatives précédentes pour trouver un contre-exemple nécessitaient de supposer des règles supplémentaires, non prouvées, sur la nature de l'infini, laissant la question ouverte dans les règles standards des mathématiques.

Une équipe de chercheurs a désormais résolu ce problème en utilisant uniquement les règles standards des mathématiques, sans avoir besoin d'hypothèses supplémentaires. Ils ont prouvé qu'un tel contre-exemple existe bel et bien. Plus précisément, ils ont construit un objet mathématique qui se comporte comme un groupe à presque tous les niveaux — il est sans torsion, ce qui signifie qu'aucun élément ne se répète en un cycle, et il est de compacité dénombrable, ce qui signifie qu'il est étroitement compact. Cependant, ce n'est pas un groupe car il lui manque une propriété cruciale : il ne contient aucune séquence non triviale qui converge vers une limite. Dans cette structure, vous pouvez lister un nombre infini de points distincts, et ils ne se stabiliseront jamais vers une destination unique, peu importe la manière dont vous les observez. Cette découverte confirme que la réponse à la question de Wallace est « non ». Un système peut être étroitement compact et permettre une annulation parfaite sans être un groupe complet.

Les chercheurs y sont parvenus en construisant une collection massive et infinie de nombres et en définissant une manière très spécifique de mesurer la distance entre eux. Ils ont commencé par un groupe abélien libre, qui est essentiellement une collection de vecteurs avec des coordonnées entières, et ont soigneusement élaboré une topologie, ou une règle de proximité, qui empêche toute séquence de converger à moins qu'elle ne finisse par cesser de changer. Ils ont utilisé une technique impliquant des « ultrafiltres », qui sont des outils sophistiqués pour décider quels ensembles infinis de nombres sont assez « grands » pour compter, afin de garantir que tout liste infinie de points possède un point d'accumulation à proximité, satisfaisant ainsi la condition de compacité. Pourtant, ils ont simultanément veillé à ce qu'aucune liste de points distincts ne puisse réellement atteindre une limite, préservant ainsi la propriété de « l'absence de séquences convergentes ». Ce travail d'équilibre délicat a été réalisé entièrement dans le cadre standard des mathématiques, prouvant que l'existence d'une telle structure est un fait fondamental, et non une possibilité dépendant d'hypothèses supplémentaires.

Les implications de cette construction se répercutent dans plusieurs autres domaines des mathématiques. Parce que l'objet qu'ils ont construit est un groupe possédant ces propriétés spécifiques, il peut être utilisé pour créer d'autres structures qui n'étaient auparavant connues que sous des conditions incertaines. Par exemple, les chercheurs ont montré que ce groupe contient une sous-structure qui agit comme un « semi-groupe de Wallace », un système commutatif avec annulation à deux côtés, qui est de compacité dénombrable mais n'est pas un groupe. Cela tranche un débat qui persistait depuis des décennies. De plus, leur travail fournit un exemple concret de « groupe paratopologique », une structure où l'opération de combinaison d'éléments est continue, mais où l'opération inverse ne l'est pas. Cela répond aux questions de savoir si de tels groupes imparfaits peuvent être étroitement compacts. Ils ont également démontré que ce groupe peut être utilisé pour construire un monoïde « monothélique », un système généré par un seul élément, qui est de compacité dénombrable mais n'est pas un groupe.

L'article traite également d'une question concernant la taille de ces espaces mathématiques. Les chercheurs ont prouvé que dans le groupe spécifique qu'ils ont construit, tout ensemble fermé infini de points doit être aussi grand que le continuum des nombres réels. Cela signifie qu'il n'existe pas de petits amas infinis cachés à l'intérieur ; si un ensemble est infini et fermé, il est de taille maximale. Ce résultat résout une interrogation spécifique sur la densité des points dans de tels groupes. En construisant cet objet, les auteurs ont non seulement répondu à une question célèbre, mais ont également fourni un outil polyvalent qui génère des solutions à plusieurs autres problèmes ouverts en topologie et en algèbre. Leur travail constitue une preuve définitive que l'univers mathématique contient ces structures insaisissables et étroitement compactes qui défient l'intuition selon laquelle la compacité et l'annulation doivent toujours mener à un groupe. L'existence de ces objets est désormais un fait établi, ancré dans les axiomes standards des mathématiques, changeant le paysage de ce qui est connu sur le comportement des systèmes algébriques infinis.

Résumé Technique : Le Problème de Wallace et les Groupes Abéliens Sans Torsion Compacts Compte-ment dans ZFC

1. Le Problème et le Contexte
L'article traite de deux problèmes interconnectés et de longue date en algèbre topologique et en topologie de l'ensemble de la théorie des ensembles, qui étaient tous deux restés ouverts dans la théorie de Zermelo–Fraenkel avec l'Axiome du Choix (ZFC) pendant des décennies.

Le Problème de Wallace : En 1955, A. D. Wallace a demandé si tout semi-groupe topologique de Hausdorff, compact compte-ment et possédant une annulation bilatérale, doit être un groupe topologique. Un contre-exemple est connu sous le nom de « semi-groupe de Wallace ». Des constructions consistantes de tels semi-groupes existaient sous des hypothèses de théorie des ensembles supplémentaires (par exemple, l'Hypothèse du Continu ou l'Axiome de Martin), mais l'existence d'un semi-groupe de Wallace dans ZFC est restée une question ouverte pendant 73 ans.
L'Existence de Groupes Compacts Compte-ment Sans Torsion : Un problème connexe, posé par van Douwen et Comfort, concerne l'existence d'un groupe topologique compact compte-ment sans séquences convergentes non triviales qui n'est pas un groupe de torsion. Avant ce travail, les constructions dans ZFC de groupes compacts compte-ment sans séquences convergentes non triviales étaient limitées aux groupes de torsion. Plus précisément, on ignorait si le groupe abélien libre sur $\mathfrak{c}$ générateurs, $Z(\mathfrak{c})$ , ou le groupe additif des nombres réels, $\mathbb{R}$ , admettaient de telles topologies dans ZFC.

2. Méthodologie
Les auteurs construisent les topologies requises en utilisant une combinaison d'immersion algébrique, d'approximation finie uniforme et d'une construction récursive transfinie impliquant des « ultrafiltres de blocs ».

Réduction Algébrique : Les auteurs établissent d'abord que tout groupe abélien sans torsion $G$ de cardinalité $\mathfrak{c}$ peut être immergé comme un sous-groupe de la somme directe $Q(\mathfrak{c})$ tel que $Z(\mathfrak{c}) \leq G \leq Q(\mathfrak{c})$ . Cela leur permet de traiter le problème dans le contexte des espaces vectoriels sur $\mathbb{Q}$ avec une structure de base spécifique.
Lemme de Kronecker Fini Uniforme : Un outil technique central est une version finie uniforme du théorème de Kronecker (Lemme 3.1). Ce lemme garantit que pour tout ensemble fini d'éléments dans un groupe abélien et toute cible de valeurs dans le groupe cercle $\mathbb{T}$ , on peut trouver un homomorphisme vers $\mathbb{T}$ qui approxime ces cibles, à condition que les cibles satisfassent certaines relations entières avec des coefficients bornés. Cela repose sur le théorème de Stone–Weierstrass et des arguments de compacité d'Arzelà–Ascoli.
Suppression Bornée et Indépendance : Pour gérer la construction infinie, les auteurs emploient un argument de suppression combinatoire (Lemme 4.4). Étant donné un ensemble fini $A$ et un grand ensemble $X$ , ils identifient un grand sous-ensemble $Y \subseteq X$ qui est « indépendant » de $A$ concernant les relations entières bornées. Cela permet la construction d'homomorphismes qui sont petits sur $Y$ tout en préservant les valeurs sur $A$ .
Ultrafiltres de Blocs et Récursion Transfinie : La construction procède par l'énumération de toutes les séquences injectives dans $G$ sous la forme $(s_\alpha)_{\alpha < \mathfrak{c}}$ . Pour chaque séquence, les auteurs définissent une structure de « bloc » sur les entiers naturels $\mathbb{N}$ et associent un ultrafiltre libre $p_\alpha$ . Ils construisent de manière récursive une séquence d'homomorphismes $\psi_l: G \to \mathbb{T}$ qui convergent ponctuellement vers un homomorphisme limite $\psi$ . La construction garantit que pour tout $x \in G$ non nul, il existe un homomorphisme $\psi_x$ tel que $\psi_x(x) \neq 0$ , et pour toute séquence $s_\alpha$ , la limite par ultrafiltre de la séquence sous la topologie construite converge vers un élément non nul spécifique (précisément, un vecteur de base $e_{\iota(\alpha)}$ ). La topologie finale $\tau_G$ est la topologie initiale induite par la famille de ces homomorphismes $\{\psi_x : x \in G \setminus \{0\}\}$ envoyant $G$ dans le produit de l'espace $\mathbb{T}^{G \setminus \{0\}}$ .

3. Contributions Clés et Résultats
La contribution principale est la résolution des questions d'existence dans ZFC sans hypothèses de théorie des ensembles additionnelles.

Théorème 1.1 : Dans ZFC, tout groupe abélien sans torsion de cardinalité $\mathfrak{c}$ $c$ admet une topologie de groupe de Hausdorff compacte compte-ment dans laquelle toute séquence convergente est finalement constante (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de séquences convergentes non triviales).
- Ceci résout le problème de Tkachenko pour le groupe abélien libre $Z(\mathfrak{c})$ .
- Ceci résout la question pour le groupe de Baer–Specker $Z^\omega$ .
- Ceci résout la question pour le groupe additif des nombres réels $\mathbb{R}$ (via l'isomorphisme $Q(\mathfrak{c}) \cong \mathbb{R}$ ).
Corollaire 1.3 (Le Semi-groupe de Wallace) : En spécialisant la construction au cône non négatif $P$ de $Z(\mathfrak{c})$ , les auteurs prouvent l'existence dans ZFC d'un semi-groupe topologique commutatif de Tychonoff, compact compte-ment, avec annulation deux-fois, qui n'est pas un groupe. Cela fournit une réponse négative à la question de Wallace de 1955.
Conséquences Ultérieures : L'article démontre que le théorème principal implique plusieurs autres résultats précédemment connus uniquement sous des hypothèses additionnelles :
- L'existence dans ZFC d'un semi-groupe topologique de Tychonoff compact compte-ment contenant une copie du semi-groupe bicyclique.
- L'existence dans ZFC d'un groupe paratopologique de Hausdorff compact compte-ment et fonctionnellement Hausdorff qui n'est pas un groupe topologique (répondant aux questions de Guran).
- L'existence dans ZFC d'un monoïde monotétique de Tychonoff compact compte-ment qui est un sous-monoïde d'un groupe topologique mais pas un groupe.
- L'existence dans ZFC d'un groupe abélien libre compact compte-ment où tout sous-ensemble fermé infini a une cardinalité d'au moins $\mathfrak{c}$ .

4. Signification
L'article affirme résoudre un problème de 73 ans concernant le semi-groupe de Wallace entièrement dans ZFC. Avant ce travail, l'existence de tels semi-groupes n'était connue que sous des axiomes de théorie des ensembles plus forts. En construisant un groupe sans torsion compact compte-ment sans séquences convergentes dans ZFC, les auteurs comblent le fossé entre la théorie des groupes topologiques et la théorie des semi-groupes, montrant que le « phénomène de Wallace » n'est pas un artefact de modèles spécifiques de la théorie des ensembles, mais une caractéristique de ZFC elle-même. Ce travail unifie et résout plusieurs questions liées concernant la structure des groupes compacts compte-ment, des groupes paratopologiques et des ensembles appropriés, démontrant que l'obstacle à l'existence de ces structures dans ZFC n'était pas inhérent aux axiomes mais à l'absence d'une technique de construction spécifique.

Les auteurs notent explicitement que leur construction repose sur l'injectivité du groupe cercle $\mathbb{T}$ dans la catégorie des groupes abéliens et sur un jeu subtil entre les arguments de suppression combinatoire et l'approximation analytique par les polynômes trigonométriques. Le résultat est présenté comme une solution définitive aux problèmes énoncés, sans recours à l'Hypothèse du Continu ou à l'Axiome de Martin.

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