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The Wallace problem and countably compact torsion-free Abelian groups in ZFC

Este artículo demuestra en ZFC que todo grupo abeliano libre de torsión de cardinalidad $\mathfrak c$ admite una topología de grupo Hausdorff y compactaumerable sin sucesiones convergentes no triviales, proporcionando así una respuesta negativa a la pregunta de Wallace mediante la construcción de un semigrupo topológico conmutativo de Tychonoff, compactoumerable y con cancelación bilateral que no es un grupo.

Autores originales: Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

Publicado 2026-08-19

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CC BY 4.0

Autores originales: Juliane Trianon Fraga, Vinicius de Oliveira Rodrigues

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

En el mundo de las matemáticas, existe un vasto paisaje de formas y estructuras que se comportan como números pero siguen sus propias reglas internas. Entre estas se encuentran los "grupos", colecciones de objetos que pueden combinarse de una manera específica, de forma muy similar a la suma de números, pero donde los objetos mismos pueden ser patrones complejos o listas infinitas. Cuando estos grupos reciben una "topología", adquieren un sentido de cercanía y distancia, lo que permite a los matemáticos hablar de secuencias de objetos que se acercan cada vez más a un punto específico, llegando finalmente a él. Esta mezcla de álgebra y geometría crea "grupos topológicos", los cuales son fundamentales para comprender la simetría y la continuidad en el universo. Un rompecabezas particularmente obstinado en este campo ha versado sobre los grupos "áulmente compactos". Estos son estructuras donde cualquier lista infinente de puntos debe tener un cúmulo de puntos cercanos, asegurando que el espacio nunca se pierda en el caos. Durante décadas, los matemáticos se preguntaron si un tipo específico de estos grupos, que no tienen ciclos repetitivos y permiten la cancelación perfecta de operaciones, podría existir sin que ninguna secuencia de puntos converja realmente a un límite. Si tal grupo existiera, rompería un supuesto de larga data sobre cómo estos mundos matemáticos deben comportarse.

Durante casi setenta y cinco años, una pregunta planteada por un matemático llamado A. D. Wallace permaneció sin respuesta. Él preguntó si un tipo específico de estructura matemática, conocida como semigrupo, que es lo suficientemente compacto como para evitar que los puntos se alejen y permite la cancelación perfecta de las operaciones, debe ser necesariamente un grupo completo. En términos más sencillos, si tienes un sistema donde puedes combinar elementos y deshacer esas combinaciones perfectamente, y el sistema está densamente empaquetado, ¿tiene que ser automáticamente un grupo? La respuesta era "sí" si el sistema era perfectamente compacto, pero nadie sabía si la condición ligeramente más débil de "compacidad áulmente" era suficiente para forzar el mismo resultado. Los intentos previos para encontrar un contraejemplo requirieron asumir reglas adicionales y no probadas sobre la naturaleza del infinito, dejando la cuestión abierta dentro de las reglas estándar de las matemáticas.

Un equipo de investigadores ha resuelto ahora este problema utilizando únicamente las reglas estándar de las matemáticas, sin necesidad de ninguna suposición adicional. Demostraron que tal contraejemplo sí existe. Específicamente, construyeron un objeto matemático que se comporta como un grupo en casi todos los sentidos: es libre de torsión, lo que significa que ningún elemento se repite en un ciclo, y es áulmente compacto, lo que significa que está densamente empaquetado. Sin embargo, no es un grupo porque carece de una propiedad crucial: no contiene secuencias no triviales que converjan a un límite. En esta estructura, puedes listar un número infinito de puntos distintos y estos nunca se asentarán en un destino único, sin importar cómo los observes. Este descubrimiento confirma que la respuesta a la pregunta de Wallace es "no". Un sistema puede estar densamente empaquetado y permitir la cancelación perfecta sin ser un grupo completo.

Los investigadores lograron esto construyendo una colección masiva e infinita de números y definiendo una forma muy específica de medir la distancia entre ellos. Comenzaron con un grupo abeliano libre, que es esencialmente una colección de vectores con coordenadas enteras, y diseñaron cuidadosamente una topología, o una regla de cercanía, que impide que cualquier secuencia converja a menos que eventualmente deje de cambiar. Utilizaron una técnica que involucra "ultrafiltros", que son herramientas sofisticadas para decidir qué conjuntos infinitos de números son lo suficientemente "grandes" como para importar, para asegurar que cada posible lista infinita de puntos tenga un punto de acumulación cercano, satisfaciendo así el requisito de compacidad. No obstante, aseguraron simultáneamente que ninguna lista de puntos distintos pudiera alcanzar un límite, preservando la propiedad de "no convergencia de secuencias". Este delicado acto de equilibrio se realizó enteramente dentro del marco estándar de las matemáticas, demostrando que la existencia de tal estructura es un hecho fundamental, no una posibilidad que dependa de hipótesis adicionales.

Las implicaciones de esta construcción repercuten en otras áreas de las matemáticas. Debido a que el objeto que construyeron es un grupo con estas propiedades específicas, puede utilizarse para crear otras estructuras que antes solo se conocían bajo condiciones inciertas. Por ejemplo, los investigadores demostraron que este grupo contiene una subestructura que actúa como un "semigrupo de Wallace", un sistema conmutativo con cancelación de dos lados que es áulmente compacto pero no un grupo. Esto resuelve un debate que había persistido durante décadas. Además, su trabajo proporciona un ejemplo concreto de un "grupo paratopológico", una estructura donde la operación de combinar elementos es continua, pero la operación inversa no lo es. Esto responde a preguntas sobre si tales grupos imperfectos pueden estar densamente empaquetados. También demostraron que este grupo puede utilizarse para construir un monoide "monotético", un sistema generado por un solo elemento, que es áulmente compacto pero no un grupo.

El artículo también aborda una pregunta sobre el tamaño de estos espacios matemáticos. Los investigadores demostraron que, en el grupo específico que construyeron, cualquier conjunto cerrado infinito de puntos debe ser tan grande como el continuo de los números reales. Esto significa que no hay cúmulos infinitos "pequeños" ocultos en su interior; si un conjunto es infinito y cerrado, es de tamaño máximo. Este resultado resuelve una indagación específica sobre la densidad de puntos en tales grupos. Al construir este objeto, los autores no solo han respondido a una pregunta famosa, sino que también han proporcionado una herramienta versátil que genera soluciones a varios otros problemas abiertos en topología y álgebra. Su trabajo constituye una prueba definitiva de que el universo matemático contiene estas estructuras esquivas y densamente empaquetadas que desafían la intuición de que la densidad y la cancelación deben conducir siempre a un grupo. La existencia de estos objetos es ahora un hecho establecido, fundamentado en los axiomas estándar de las matemáticas, cambiando el panorama de lo que se conoce sobre el comportamiento de los sistemas algebraicos infinitos.

Resumen Técnico: El Problema de Wallace y los Grupos Abelianos Libres de Torsión Cuenta-Compactos en ZFC

1. El Problema y el Contexto
El artículo aborda dos problemas interconectados y de larga data en el álgebra topológica y la topología set-teórica, ambos de los cuales habían permanecido abiertos en la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel con el Axioma de Elección (ZFC) durante décadas.

El Problema de Wallace: En 1955, A. D. Wallace preguntó si todo semigrupo topológico Hausdorff cuenta-compacto con cancelación bilateral debe ser un grupo topológico. Se conoce un contraejemplo llamado "semigrupo de Wallace". Existían construcciones consistentes de tales semigrupos bajo hipótesis set-teóricas adicionales (por ejemplo, la Hipótesis del Continuo o el Axioma de Martin), pero la existencia de un semigrupo de Wallace en ZFC fue una pregunta abierta durante 73 años.
La Existencia de Grupos No de Torsión Cuenta-Compactos: Un problema relacionado, planteado por van Douwen y Comfort, se refiere a la existencia de un grupo topológico cuenta-compacto sin sucesiones convergentes no triviales que no sea un grupo de torsión. Antes de este trabajo, las construcciones en ZFC de grupos cuenta-compactos sin sucesiones convergentes no triviales se limitaban a grupos de torsión. Específicamente, se desconocía si el grupo Abeliano libre sobre $\mathfrak{c}$ generadores, $Z(\mathfrak{c})$ , o el grupo Abeliano de los números reales, $\mathbb{R}$ , admitían tales topologías en ZFC.

2. Metodología
Los autores construyen las topologías requeridas utilizando una combinación de incrustación algebraica, aproximación finita uniforme y una construcción recursiva transfinita involucrando "ultrafiltros de bloque".

Reducción Algebraica: Los autores establecen primero que cualquier grupo Abeliano libre de torsión $G$ de cardinalidad $\mathfrak{c}$ puede incrustarse como un subgrupo de la suma directa $Q(\mathfrak{c})$ tal que $Z(\mathfrak{c}) \leq G \leq Q(\mathfrak{c})$ . Esto les permite tratar el problema dentro del contexto de espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ con una estructura de base específica.
Lema de Kronecker Finito Uniforme: Una herramienta técnica central es una versión finita uniforme del teorema de Kronecker (Lema 3.1). Este lema asegura que para cualquier conjunto finito de elementos en un grupo Abeliano y cualquier conjunto de valores objetivo en el grupo círculo $\mathbb{T}$ , uno puede encontrar un homomorfismo hacia $\mathbb{T}$ que aproxime estos objetivos, siempre que los objetivos satisfagan ciertas relaciones enteras con coeficientes acotados. Esto se basa en el teorema de Stone–Weierstrass y argumentos de compacidad de Arzelà–Ascoli.
Eliminación Acotada e Independencia: Para manejar la construcción infinita, los autores emplean un argumento de eliminación combinatoria (Lema 4.4). Dado un conjunto finito $A$ y un conjunto grande $X$ , identifican un subconjunto grande $Y \subseteq X$ que es "independiente" de $A$ respecto a las relaciones enteras acotadas. Esto permite la construcción de homomorfismos que son pequeños en $Y$ mientras preservan los valores en $A$ .
Ultrafiltros de Bloque y Recursión Transfinita: La construcción procede enumerando todas las sucesiones inyectivas en $G$ como $(s_\alpha)_{\alpha < \mathfrak{c}}$ . Para cada secuencia, los autores definen una estructura de "bloque" sobre los números naturales $\mathbb{N}$ y asocian un ultrafiltro libre $p_\alpha$ . Construyen recursivamente una secuencia de homomorfismos $\psi_l: G \to \mathbb{T}$ que convergen puntualmente a un homomorfismo límite $\psi$ . La construcción asegura que para cada $x \in G \setminus \{0\}$ , existe un homomorfismo $\psi_x$ tal que $\psi_x(x) \neq 0$ , y para cada secuencia $s_\alpha$ , el límite del ultrafiltro de la secuencia bajo la topología construida converge a un elemento no nulo específico (específicamente, un vector de base $e_{\iota(\alpha)}$ ). La topología final $\tau_G$ es la topología inicial inducida por la familia de estos homomorfismos $\{\psi_x : x \in G \setminus \{0\}\}$ que mapean $G$ en el espacio producto $\mathbb{T}^{G \setminus \{0\}}$ .

3. Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es la resolución de las preguntas de existencia en ZFC sin supuestos set-teóricos adicionales.

Teorema 1.1: En ZFC, todo grupo Abeliano libre de torsión de cardinalidad $\mathfrak{c}$ $c$ admite una topología de grupo Hausdorff cuenta-compacta en la que toda sucesión convergente es eventualmente constante (es decir, no hay sucesiones convergentes no triviales).
- Esto resuelve el problema de Tkachenko para el grupo Abeliano libre $Z(\mathfrak{c})$ .
- Resuelve la cuestión para el grupo de Baer–Specker $Z^\omega$ .
- Resuelve la cuestión para el grupo aditivo de los números reales $\mathbb{R}$ (vía la isomorfía $Q(\mathfrak{c}) \cong \mathbb{R}$ ).
Corolario 1.3 (El Semigrupo de Wallace): Al especializar la construcción al cono no negativo $P$ de $Z(\mathfrak{c})$ , los autores prueban la existencia en ZFC de un semigrupo topológico conmutativo de Tychonoff, cuenta-compacto, con cancelación de dos lados, que no es un grupo. Esto proporciona una respuesta negativa a la pregunta de Wallace de 1955.
Otras Consecuencias: El artículo demuestra que el teorema principal implica varios otros resultados previamente conocidos solo bajo hipótesis adicionales:
- La existencia en ZFC de un semigrupo topológico de Tychonoff cuenta-compacto que contiene una copia del semigrupo bicíclico.
- La existencia en ZFC de un grupo paratopológico funcionalmente Hausdorff cuenta-compacto que no es un grupo topológico (respondiendo a las preguntas de Guran).
- La existencia en ZFC de un monoide topológico monotético de Tychonoff cuenta-compacto que es un submonoide de un grupo topológico pero no un grupo.
- La existencia de un grupo Abeliano libre cuenta-compacto donde cada subconjunto cerrado infinito tiene cardinalidad al menos $\mathfrak{c}$ .

4. Significado
El artículo afirma resolver un problema de 73 años de antigüedad respecto al semigrupo de Wallace enteramente dentro de ZFC. Previo a este trabajo, la existencia de tales semigrupos se conocía solo bajo axiomas set-teóricos más fuertes. Al construir un grupo de torsión libre cuenta-compacto sin sucesiones convergentes no triviales en ZFC, los autores cierran la brecha entre la teoría de grupos topológicos y la teoría de semigrupos, demostrando que el "fenómeno de Wallace" no es un artefacto de modelos set-teóricos específicos, sino una característica de ZFC mismo. El trabajo también unifica y resuelve múltiples preguntas relacionadas sobre la estructura de grupos cuenta-compactos, grupos paratopológicos y conjuntos adecuados, demostrando que la obstrucción para la existencia de estas estructuras en ZFC no era inherente a los axiomas, sino a la falta de una técnica de construcción específica.

Los autores señalan explícitamente que su construcción depende de la inyectividad del grupo círculo $\mathbb{T}$ en la categoría de grupos abelianos y de una cuidadosa interacción entre los argumentos de eliminación combinatoria y la aproximación analítica mediante polinomios trigonométricos. El resultado se presenta como una solución definitiva a los problemas planteados, sin dependencia de la Hipótesis del Continuo o del Axioma de Martin.

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