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Spatial function-on-function quantile regression

यह शोध पत्र एक नवीन दंडित (penalized) स्थानिक फंक्शन-ऑन-फंक्शन क्वांटाइल रिग्रेशन ढांचे को प्रस्तुत करता है जो दो-चरणीय इंस्ट्रुमेंटल-वेरिएबल अनुमान रणनीति का उपयोग करके कार्यात्मक डेटा (functional data) के स्थानिक सहसंबंध और सशर्त क्वांटाइल्स को संयुक्त रूप से मॉडल करता है, जिससे वायु गुणवत्ता वक्रों जैसे जटिल स्थानिक रूप से अनुक्रमित कार्यात्मक डेटासेट के विश्लेषण के लिए माध्य-आधारित दृष्टिकोणों के मुकाबले एक सुदृढ़ विकल्प प्रदान किया जाता है।

मूल लेखक: Eylul Fidan, Ufuk Beyaztas, Soutir Bandyopadhyay

प्रकाशित 2026-08-24

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CC0 1.0

मूल लेखक: Eylul Fidan, Ufuk Beyaztas, Soutir Bandyopadhyay

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वायु की गुणवत्ता शायद ही कभी कोई एकल संख्या होती है। यह समय के साथ खुलने वाली एक कहानी है, प्रदूषण का एक बदलता हुआ वक्र जो हवा, यातायात और मौसम के साथ ऊपर-नीचे होता रहता है। जब वैज्ञानिक इसका अध्ययन करते हैं, तो वे अक्सर एक साथ कई अलग-अलग स्थानों से एकत्र किए गए डेटा को देखते हैं। एक शहर में स्थित निगरानी केंद्र शून्य में मौजूद नहीं होता; वह जिस हवा को मापता है, वह अगले शहर की हवा से जुड़ी होती है, जिसे एक ही हवा के झोंके और समान औद्योगिक स्रोत प्रभावित करते हैं। इस जुड़ाव को स्थानिक निर्भरता (spatial dependence) कहा जाता है। लंबे समय से, सांख्यिकीविदों के पास उस डेटा का विश्लेषण करने के लिए शक्तिशाली उपकरण रहे हैं जो समय के साथ बदलता है, और डेटा का विश्लेषण करने के लिए अलग उपकरण रहे हैं जो स्थान के पार आपस में जुड़े होते हैं। लेकिन जब डेटा एक बदलते हुए वक्र और एक जुड़े हुए नेटवर्क दोनों का मिश्रण हो, तो पुराने उपकरण अक्सर संघर्ष करते हैं। वे अक्सर केवल औसत, यानी मध्य मार्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और उन चरम क्षणों को छोड़ देते हैं जब प्रदूषण खतरनाक स्तर तक बढ़ जाता है। उन खतरनाक शिखरों को समझना सार्वजनिक स्वास्थ्य के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, फिर भी पारंपरिक तरीके उन्हें अक्सर सुचारू (smooth) कर देते हैं या उन्हें पूरी तरह से देखने में विफल रहते हैं।

यह एक नया अध्ययन है जिसे मार्मारा विश्वविद्यालय और कोलोराडो स्कूल ऑफ माइन्स के शोधकर्ताओं द्वारा संबोधित किया गया है। उन्होंने वायु प्रदूषण डेटा को देखने का एक नया तरीका विकसित किया है जो इसे एक जीवित, सांस लेती हुई वक्र के रूप में मानता है और साथ ही उन अदृश्य धागों का भी सम्मान करता है जो विभिन्न स्थानों को एक साथ बांधते हैं। उनका कार्य विश्लेषण के एक विशिष्ट प्रकार पर केंद्रित है जिसे क्वांटाइल रिग्रेशन (quantile regression) कहा जाता है। "आज प्रदूषण का औसत स्तर क्या है?" पूछने के बजाय, यह पद्धति पूछती है, "एक बुरे दिन में प्रदूषण का स्तर क्या होता है?" या "एक बहुत अच्छे दिन के बारे में क्या?" वितरण के इन विभिन्न बिंदुओं को देखकर, शोधकर्ता देख सकते हैं कि जब हवा साफ होती है तो प्रदूषण के विभिन्न प्रकारों के बीच का संबंध कैसे बदल जाता है, बनाम जब हवा खतरनाक रूप से गंदी होती है। उन्होंने इस नए दृष्टिकोण को इटली के एक विशाल डेटासेट पर लागू किया, जिसमें 1,481 निगरानी केंद्रों में सूक्ष्म कणों (PM2.5) और उनके बड़े साथी (PM10) को ट्रैक किया गया।

शोधकर्ताओं ने पाया कि शहरों के बीच के संबंधों को अनदेखा करने से एक धुंधली तस्वीर सामने आती है। जब उन्होंने एक ऐसा मॉडल बनाया जो यह हिसाब रखता है कि प्रदूषण अपने पड़ोसी स्टेशनों तक कैसे यात्रा करता है, तो परिणाम कहीं अधिक स्पष्ट हो गए। इतालवी वायु गुणवत्ता के अपने विश्लेषण में, नए तरीके ने पुराने तरीकों की तुलना में प्रदूषण स्तर की भविष्यवाणी करने में त्रुटि को लगभग 26 प्रतिशत कम कर दिया, जो इन स्थानिक संबंधों को अनदेखा करते थे। यह सुधार केवल एक छोटा सा बदलाव नहीं था; यह सटीकता में एक मौलिक बदलाव था। मॉडल ने सफलतापूर्वक इस तथ्य को पकड़ा कि उच्च प्रदूषण वाले दिनों में, PM10 और PM2.5 के बीच का संबंध बदल जाता है। बड़े कणों का छोटे, अधिक खतरनाक कणों पर प्रभाव अधिक स्पष्ट हो जाता है और प्रदूषण की घटना की गंभीरता तथा वर्ष के समय के आधार पर भिन्न होता है।

उनकी सफलता का एक प्रमुख हिस्सा एक चतुर दो-चरणीय प्रक्रिया थी जिसे एक जटिल सांख्यिकीय समस्या को संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया था। क्योंकि एक स्टेशन पर प्रदूषण अपने पड़ोसियों से प्रभावित होता है, और वे पड़ोसी भी उससे प्रभावित होते हैं, इसलिए डेटा "एंडोजेनस" (endogenous) है, जिसका अर्थ है कि चर इस तरह से उलझे हुए हैं कि वे मानक गणनाओं को भ्रमित कर सकते हैं। इसे सुलझाने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक रणनीति का उपयोग किया जो किसी कहानी को सत्यापित करने के लिए एक विश्वसनीय गवाह का उपयोग करने के समान है। उन्होंने वास्तविक मापों को देखने से पहले यह अनुमान लगाने के लिए आसपास के क्षेत्रों के प्रदूषण डेटा का उपयोग किया कि प्रदूषण क्या होना चाहिए, जिसमें स्थानीय हवा और भूगोल को भी शामिल किया गया। इसने उन्हें शोर (noise) से भ्रमित हुए बिना स्थानिक संबंधों के वास्तविक प्रभाव को अलग करने की अनुमति दी। उन्होंने समय के साथ प्रदूषण के संबंध को मैप करने के लिए चिकनी वक्रों (smooth curves) से जुड़ी एक लचीली गणितीय तकनीक का भी उपयोग किया, जिससे उन कठोर शॉर्टकटों से बचा जा सके जो अक्सर जटिल डेटा को सरल, गलत आकृतियों में बदलने के लिए मजबूर करते हैं।

परिणामों ने एक ऐसी विस्तृत दुनिया को प्रकट किया जो पहले छिपी हुई थी। अध्ययन ने दिखाया कि गंभीर प्रदूषण का जोखिम स्थिर नहीं है; यह वायुमंडल की स्थिति के साथ उतार-चढ़ाव करता है। सर्दियों में, एक सामान्य दिन और एक खतरनाक दिन के बीच का अंतर बहुत बड़ा होता है, जो यह दर्शाता है कि प्रणाली अत्यधिक अस्थिर और परिवर्तनशील स्थितियों के प्रति संवेदनशील है। गर्मियों में, यह अंतर कम हो जाता है। नया मॉडल इन अंतरों को मैप कर सका, यह दिखाते हुए कि एक महीने के प्रदूषण का दूसरे महीने पर प्रभाव, हवा के साफ होने या स्मॉग से भरे होने के आधार पर ठीक कैसे बदलता है। विवरण का यह स्तर पर्यावरण प्रबंधकों के लिए महत्वपूर्ण है जिन्हें केवल औसत के बजाय सबसे खराब परिदृश्यों के लिए तैयार करने की आवश्यकता होती है।

हालांकि यह अध्ययन अपने सिमुलेशन और इतालवी डेटा पर इसके अनुप्रयोग में एक सफलता थी, शोधकर्ता इसकी सीमाओं को नोट करने में सावधान हैं। उन्होंने इस मॉडल का परीक्षण किसी अन्य देश के पूरी तरह से नए डेटा सेट पर नहीं किया है, इसलिए वास्तविक दुनिया का प्रमाण वर्तमान में इतालवी संदर्भ तक सीमित है। हालांकि, उनके द्वारा चलाए गए सिमुलेशन ने दिखाया कि यह पद्धति तब भी अच्छी तरह से काम करती है जब डेटा अव्यवस्थित, शोर युक्त, या अप्रत्याशित उछाल से भरा हो। उन्होंने यह भी नोट किया कि इस पद्धति के लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है, जो भविष्य में बहुत बड़े डेटासेट के लिए एक बाधा हो सकती है। इन सीमाओं के बावजूद, यह कार्य जटिल पर्यावरणीय प्रणालियों को समझने के लिए एक मजबूत नया उपकरण प्रदान करता है। यह सिद्ध करता है कि संभावनाओं की पूरी सीमा को देखकर—सबसे शांत दिनों से लेकर सबसे जहरीले दिनों तक—और स्थानों के बीच के संबंधों का सम्मान करके, हम अपनी सांस ली जाने वाली हवा की एक बहुत स्पष्ट तस्वीर बना सकते हैं। यह दृष्टिकोण साधारण औसत से आगे बढ़कर पर्यावरणीय जोखिम की वास्तविक, गतिशील प्रकृति को प्रकट करता है।

तकनीकी सारांश: स्थानिक फलन-पर-फलन क्वांटाइल रिग्रेशन (Spatial Function-on-Function Quantile Regression)

समस्या का विवरण
यह शोध पत्र स्थानिक रूप से अनुक्रमित कार्यात्मक डेटा (spatially indexed functional data) के विश्लेषण को संबोधित करता है, जहाँ रिस्पॉन्स (response) और प्रेडिक्टर (predictor) दोनों चर कई स्थानिक स्थानों पर देखे गए वक्र (curves) होते हैं। जबकि मौजूदा साहित्य कार्यात्मक रैखिक मॉडल (FLM) और स्थानिक ऑटोरेग्रेसिव (SAR) मॉडल प्रदान करता है, एक महत्वपूर्ण अंतराल मौजूद है: वर्तमान विधियाँ मुख्य रूप से सशर्त माध्य (conditional means) पर ध्यान केंद्रित करती हैं और अक्सर आयामी न्यूनीकरण (dimension reduction) के लिए फंक्शनल प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस (FPCA) पर निर्भर करती हैं। ये माध्य-आधारित दृष्टिकोण वितरण संबंधी गतिशीलता जैसे कि टेल व्यवहार (tail behavior), हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (heteroskedasticity), और स्टेट-डिपेंडेंट वोलैटिलिटी (state-dependent volatility) को पकड़ने में विफल रहते हैं, जो पर्यावरणीय जोखिम मूल्यांकन (जैसे, चरम प्रदूषण घटनाएं) जैसे अनुप्रयोगों में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। इसके अलावा, कार्यात्मक डेटा के लिए मानक क्वांटाइल रिग्रेशन विधियाँ आमतौर पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) वक्रों की धारणा रखती हैं, जिससे स्थानिक निर्भरता की अनदेखी होती है। विशिष्ट चुनौती एक कार्यात्मक रिस्पॉन्स $Y_i(t)$ के सशर्त क्वांटाइल को मॉडल करने की है, जो एक कार्यात्मक प्रेडिक्टर $X_i(s)$ और एक स्थानिक लैग्ड रिस्पॉन्स $\tilde{Y}_i(u)$ पर निर्भर करता है, जहाँ स्थानिक लैग एंडोजेनिटी (endogeneity) उत्पन्न करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक पेनलाइज्ड स्पैटियल फंक्शन-ऑन-फंक्शन क्वांटाइल रिग्रेशन (SFoF-QR) ढांचे का प्रस्ताव करते हैं। यह कार्यप्रणाली तीन घटकों से बनी है:

मॉडल विनिर्देश (Model Specification):
मॉडल सूचना सेट $F_i$ (जिसमें स्थानीय प्रेडिक्टर $X_i$ और स्थानिक लैग्ड रिस्पॉन्स $\tilde{Y}_i$ शामिल है) के सापेक्ष $Y_i(t)$ के सशर्त $\tau$ -क्वांटाइल को निम्नानुसार परिभाषित करता है:
$Q_\tau\{Y_i(t) | F_i\} = \int_{I_Y} \tilde{Y}_i(u)\rho_\tau(t, u)du + \int_{I_X} X_i(s)\beta_\tau(t, s)ds$
यहाँ, $\rho_\tau(t, u)$ स्थानिक स्पिलओवर सतह (spatial spillover surface) का प्रतिनिधित्व करता है, और $\beta_\tau(t, s)$ प्रेडिक्टर प्रभाव सतह (predictor effect surface) का प्रतिनिधित्व करता है। दोनों सतहों को क्वांटाइल स्तर $\tau$ के साथ बदलने की अनुमति है। स्थानिक लैग को $\tilde{Y}_i(u) = \sum_{j=1}^n w_{ij}Y_j(u)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $W$ एक ज्ञात स्थानिक भार मैट्रिक्स (spatial weight matrix) है।
अनुमान रणनीति (Estimation Strategy - Two-Stage IV):
चूंकि स्थानिक लैग्ड रिस्पॉन्स $\tilde{Y}_i$ एंडोजेनस (स्ट्रक्चरल एरर के साथ सह-संबंधित) है, इसलिए एक दो-चरणीय इंस्ट्रुमेंटल वेरिएबल (IV) दृष्टिकोण अपनाया गया है:

चरण 1: एंडोजेनस स्थानिक लैग $\tilde{Y}_i$ को कार्यात्मक क्वांटाइल रिग्रेशन का उपयोग करके बाह्य उपकरणों (exogenous instruments) पर रिग्रेट किया जाता है जो कार्यात्मक प्रेडिक्टर $X_i$ और उसके स्थानिक लैग्स ( $X_i, WX_i, W^2X_i, \dots$ ) से उत्पन्न होते हैं। यह इंस्ट्रुमेंटेड (अनुमानित) लैग-स्कोर वेक्टर्स प्रदान करता है।
चरण 2: अनुमानित गुणांक सतहों $\rho_\tau$ और $\beta_\tau$ को चरण 1 से प्राप्त इंस्ट्रुमेंटेड लैग का उपयोग करके एक पेनलाइज्ड क्वांटाइल लॉस फंक्शन को मिनिमाइज करके प्राप्त किया जाता है।

बेसिस एक्सपेंशन और पेनलाइजेशन (Basis Expansion and Penalization):
गुणांक सतहों की अनंत-आयामी प्रकृति को संभालने के लिए, लेखक FPCA ट्रंकेशन के बजाय टेन्सर-प्रोडक्ट बी-स्प्लाइन एक्सपेंशन (tensor-product B-spline expansions) का उपयोग करते हैं। सतहों को निम्नानुसार अनुमानित किया जाता है:
$\rho_\tau(t, u) \approx \sum_{\ell,m} \rho^{(\tau)}_{\ell m} \phi_\ell(t)\phi_m(u), \quad \beta_\tau(t, s) \approx \sum_{\ell,k} b^{(\tau)}_{\ell k} \phi_\ell(t)\psi_k(s)$
स्मूथनेस सुनिश्चित करने और ओवरफिटिंग को रोकने के लिए गुणांक मैट्रिसेस पर रफनेस पेनल्टी (इंटीग्रेटेड स्क्वेर्ड सेकंड डेरिवेटिव्स) लागू की जाती है। स्मूथिंग पैरामीटर्स का चयन BIC ग्रिड सर्च के माध्यम से किया जाता है।
एसिम्प्टोटिक थ्योरी (Asymptotic Theory):
यह शोध पत्र फिक्स्ड स्प्लाइन डायमेंशन के तहत स्प्लाइन गुणांक एस्टिमेटर्स के लिए $\sqrt{n}$ -एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी स्थापित करता है। यह पुनर्निर्मित गुणांक सतहों के लिए प्रेरित फाइनाइट-रैंक गौसियन-प्रोसेस लिमिट्स (finite-rank Gaussian-process limits) को भी व्युत्पन्न करता है।

मुख्य योगदान
लेखक तीन प्राथमिक योगदानों का दावा करते हैं:

नवीन मॉडल: यह पहला स्थानिक फंक्शन-ऑन-फंक्शन क्वांटाइल रिग्रेशन मॉडल पेश करता है जो एक कार्यात्मक SAR संरचना के माध्यम से स्थानिक सहसंबंध को संयुक्त रूप से संबोधित करता है और सशर्त माध्य से परे वितरण संबंधी गतिशीलता को कैप्चर करने में सक्षम है।
अनुमान ढांचा (Estimation Framework): यह एक दो-चरणीय इंस्ट्रुमेंटल-वेरिएबल अनुमान रणनीति विकसित करता है जो FPCA ट्रंकेशन पर निर्भर हुए बिना एंडोजेनिटी को संबोधित करता है। रफनेस पेनल्टी के साथ टेन्सर-प्रोडक्ट बी-स्प्लिन्स का उपयोग करके, यह विधि सूचना हानि (information loss) से बचती है और नॉन-सेपरेबल इंटरैक्शन सतहों की रिकवरी की अनुमति देती है।
सैद्धांतिक आधार: यह प्रस्तावित IV-आधारित एस्टिमेटर्स के लिए एक एसिम्प्टोटिक थ्योरी प्रदान करता है, जिसमें फिक्स्ड-स्प्लाइन एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी और पुनर्निर्मित सतहों का फाइनाइट-रैंक गौसियन प्रोसेस में अभिसरण (convergence) शामिल है।

परिणाम

मोंटे कार्लो सिमुलेशन: व्यापक सिमुलेशन प्रदर्शित करते हैं कि प्रस्तावित SFoF-QR विधि (M6) स्ट्रक्चरल सतहों को रिकवर करने और रिस्पॉन्स की भविष्यवाणी करने में गैर-स्थानिक प्रतिस्पर्धियों और माध्य-आधारित स्थानिक प्रतिस्पर्धियों (M1–M5) की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करती है, विशेष रूप से सिग्नल-डिपेंडेंट हेटेरोस्केडैस्टिसिटी और अपर-टेल कंटैमिनेशन की स्थितियों में। स्थानिक निर्भरता की मजबूती के साथ स्थानिक क्वांटाइल दृष्टिकोण का लाभ बढ़ जाता है।
अनुभवजन्य अनुप्रयोग (Empirical Application): इस पद्धति को इटली के 1,481 निगरानी केंद्रों (2023-2024) के PM2.5 वायु गुणवत्ता डेटा पर लागू किया गया है, जिसमें PM10 का प्रेडिक्टर के रूप में उपयोग किया गया है।
- SFoF-QR मॉडल ने 6.316 का सबसे कम इन-सैंपल RMSE और 0.970 का $R^2$ -प्रकार का समझौता प्राप्त किया, जो गैर-स्थानिक क्वांटाइल मॉडल (RMSE 8.556) से बेहतर था और पेनलाइज्ड स्पैटियल मीन मॉडल के समकक्ष था।
- अनुमानित गुणांक सतहों के विश्लेषण ने स्पष्ट स्टेट-डिपेंडेंट हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (विंटर बनाम समर में क्वांटाइल कर्व्स का मजबूत अलगाव) और स्थानीयकृत टेम्पोरल प्रभावों को प्रकट किया जिन्हें माध्य-आधारित मॉडल कैप्चर नहीं कर सके।
- विधि ने सुचारू स्थानिक स्पिलओवर सतहों को सफलतापूर्वक रिकवर किया, जबकि FPCA-आधारित दृष्टिकोण कम स्थिरता दिखाते हैं।

महत्व और दावे
लेखक इस कार्य को पर्यावरणीय जोखिम प्रबंधन और जटिल कार्यात्मक डेटा विश्लेषण के लिए एक मजबूत उपकरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं जहाँ टेल व्यवहार और स्थानिक निर्भरता महत्वपूर्ण हैं। वे दावा करते हैं कि उनका दृष्टिकोण स्थानिक कार्यात्मक मॉडल और क्वांटाइल रिग्रेशन के बीच के अंतर को पाटता है, जो माध्य-आधारित मॉडलों के लिए एक लचीला विकल्प प्रदान करता है जो एसिमेट्रिक कंटैमिनेशन और हेटेरोस्केडैस्टिसिटी को संभाल सकते हैं। इसका कार्यान्वयन SpatialFoFReg पैकेज में उपलब्ध है। शोध पत्र विनम्रतापूर्वक नोट करता है कि हालांकि यह विधि सिमुलेशन और इन-सैंपल विश्लेषण में अच्छा प्रदर्शन करती है, स्थानिक ऑटोरेग्रेसिव संदर्भों में आउट-ऑफ-सैंपल भविष्यवाणी के लिए प्रशिक्षण और परीक्षण सेटों के बीच स्थानिक लिंक को संभालने के लिए विशिष्ट रणनीतियों की आवश्यकता होती है, जिसे डेटा सीमाओं के कारण वास्तविक-डेटा अनुप्रयोग में पूरी तरह से एक्सप्लोर नहीं किया गया था। भविष्य के कार्य के रूप में डेटा-एडैप्टिव वेट मैट्रिसेस, कम्प्यूटेशनल स्केलेबिलिटी, और क्वांटाइल क्रॉसिंग को रोकने के लिए जॉइंट एस्टीमेशन का सुझाव दिया गया है।

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