Spatial function-on-function quantile regression

Résumé Technique : Régression Quantile Spatiale Fonction-sur-Fonction

Énoncé du Problème
L'article traite de l'analyse de données fonctionnelles indexées spatialement, où les variables de réponse et de prédicteur sont des courbes observées à de multiples localisations spatiales. Bien que la littérature existante propose des modèles linéaires fonctionnels (FLM) et des modèles d'autorégression spatiale (SAR), une lacune critique subsiste : les méthodes actuelles se concentrent principalement sur les moyennes conditionnelles et reposent souvent sur l'Analyse en Composantes Principales Fonctionnelles (FPCA) pour la réduction de dimension. Ces approches basées sur la moyenne ne parviennent pas à capturer la dynamique de la distribution, telle que le comportement des queues de distribution, l'hétéroscédasticité et la volatilité dépendante de l'état, qui sont cruciales dans des applications comme l'évaluation des risques environnementaux (par exemple, les épisodes de pollution extrêmes). De plus, les méthodes de régression quantile standard pour les données fonctionnelles supposent généralement des courbes indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), ignorant la dépendance spatiale. Le défi spécifique abordé est la modélisation du quantile conditionnel d'une réponse $Y_i(t)$ dépendant d'un prédicteur fonctionnel $X_i(s)$ et d'une réponse retardée spatialement $\tilde{Y}_i(u)$, où le retard spatial introduit une endogénéité.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre de Régression Quantile Spatiale Fonction-sur-Fonction Pénalisée (SFoF-QR). La méthodologie se compose de trois composantes :

1. Spécification du Modèle :
   Le modèle définit le quantile $\tau$ conditionnel de la réponse $Y_i(t)$ étant donné l'ensemble d'information $F_i$ (contenant le prédicteur local $X_i$ et la réponse retardée spatialement $\tilde{Y}_i$) comme :
   $$Q_\tau\{Y_i(t) | F_i\} = \int_{I_Y} \tilde{Y}_i(u)\rho_\tau(t, u)du + \int_{I_X} X_i(s)\beta_\tau(t, s)ds$$
   Ici, $\rho_\tau(t, u)$ représente la surface de débordement spatial (spillover), et $\beta_\tau(t, s)$ représente la surface d'effet du prédicteur. Les deux surfaces sont autorisées à varier avec le niveau de quantile $\tau$. Le retard spatial est défini par $\tilde{Y}_i(u) = \sum_{j=1}^n w_{ij}Y_j(u)$, où $W$ est une matrice de poids spatiaux connue.

2. Stratégie d'Estimation (VI à deux étapes) :
   Parce que la réponse retardée spatialement $\tilde{Y}_i$ est endogène (corrélée avec l'erreur structurelle), une approche de variables instrumentales (VI) à deux étapes est employée :

   • Étape 1 : Le retard spatial endogène $\tilde{Y}_i$ est régressé sur des instruments exogènes générés à partir du prédicteur fonctionnel $X_i$ et de ses retards spatiaux ($X_i, WX_i, W^2X_i, \dots$) en utilisant la régression quantile fonctionnelle. Cela produit des vecteurs de scores retardés instrumentés (prédits).
   • Étape 2 : Les surfaces de coefficients estimées $\rho_\tau$ et $\beta_\tau$ sont obtenues en minimisant une fonction de perte quantile pénalisée en utilisant le retard instrumenté de l'étape 1.

3. Expansion de Base et Pénalisation :
   Pour gérer la nature infiniment dimensionnelle des surfaces de coefficients, les auteurs utilisent des expansions de B-splines produit-tensoriel plutôt que la troncature par FPCA. Les surfaces sont approximées par :
   $$\rho_\tau(t, u) \approx \sum_{\ell,m} \rho^{(\tau)}_{\ell m} \phi_\ell(t)\phi_m(u), \quad \beta_\tau(t, s) \approx \sum_{\ell,k} b^{(\tau)}_{\ell k} \phi_\ell(t)\psi_k(s)$$
   Des pénalités de rugosité (dérivées secondes quadratiques intégrées) sont appliquées aux matrices de coefficients pour assurer la lissité et prévenir le surapprentissage. Les paramètres de lissage sont sélectionnés via une recherche sur grille du Critère d'Information Bayésien (BIC).

4. Théorie Asymptotique :
   L'article établit la normalité asymptotique $\sqrt{n}$ des estimateurs de coefficients de spline sous des dimensions de spline fixes. Il dérive également les limites de processus gaussiens de rang fini induites pour les surfaces de coefficients reconstruites.

Principales Contributions
L'article revendique trois contributions primaires :

1. Nouveau Modèle : Il introduit le premier modèle de régression quantile fonction-sur-fonction spatial qui rend compte conjointement de la corrélation spatiale via une structure SAR fonctionnelle tout en permettant l'inférence sur des quantiles conditionnels arbitraires. Cela capture la dynamique de la distribution au-delà de la moyenne conditionnelle.
2. Cadre d'Estimation : Il développe une stratégie d'estimation par variables instrumentales à deux étapes qui traite l'endogénéité sans dépendre de la troncature FPCA. En utilisant des B-splines produit-tensoriels avec des pénalités de rugosité, la méthode évite la perte d'information associée à la sélection des niveaux de troncature et permet la récupération de surfaces d'interaction non séparables.
3. Fondement Théorique : Il fournit une théorie asymptotique pour les estimateurs proposés basés sur les VI, incluant la normalité asymptotique à spline fixe et la convergence des surfaces reconstruites vers des processus gausiens de rang fini.

Résultats

• Simulations de Monte Carlo : Des simulations approfondies démontrent que la méthode SFoF-QR proposée (M6) surpasse significativement les concurrents non spatiaux et les concurrents spatiaux basés sur la moyenne (M1–M5) pour la récupération des surfaces structurelles et la prédiction des réponses, particulièrement dans des conditions d'hétéroscédasticité dépendante du signal et de contamination de la queue supérieure. L'avantage de l'approche quantile spatiale augmente avec la force de la dépendance spatiale.
• Application Empirique : La méthode est appliquée aux données de qualité de l'air PM2.5 provenant de 1 481 stations de surveillance en Italie (2023–2024), en utilisant les PM10 comme prédicteur.
  • Le modèle SFoF-QR a obtenu l'erreur quadratique moyenne relative (RMSE) en échantillon la plus faible de 6,316 et un accord de type $R^2$ de 0,970, surpassant les modèles quantiles non spatiaux (RMSE 8,556) et égalant le modèle de moyenne spatiale pénalisé.
  • L'analyse des surfaces de coefficients estimées a révélé une hétéroscédasticité marquée dépendante de l'état (séparation plus forte des courbes de quantile en hiver par rapport à l'été) et des effets temporels localisés que les modèles basés sur la moyenne ne pouvaient capturer.
  • La méthode a réussi à récupérer des surfaces de débordement spatial lisses, tandis que les approches basées sur la FPCA montraient moins de stabilité.

Signification et Revendications
Les auteurs positionnent ce travail comme un outil robuste pour la gestion des risques environnementaux et l'analyse de données fonctionnelles complexes où le comportement des queues de distribution et la dépendance spatiale sont critiques. Ils affirment que leur approche comble le fossé entre les modèles fonctionnels spatiaux et la régression quantile, offrant une alternative flexible aux modèles basés sur la moyenne capables de gérer la contamination asymétrique et l'hétéroscédasticité. L'implémentation est disponible dans le package SpatialFoFReg. L'article note modestement que bien que la méthode soit performante dans les simulations et l'analyse en échantillon, la prédiction hors échantillon dans des contextes d'autorégression spatiale nécessite des stratégies spécifiques pour gérer les liens spatiaux entre les ensembles d'entraînement et de test, ce qui a été traité via simulation mais n'a pas été pleinement exploré dans l'application de données réelles en raison des limitations des données. Des travaux futurs sont suggérés concernant les matrices de poids adaptatives aux données, l'extensibilité computationnelle et l'estimation conjointe pour prévenir le croisement des quantiles.