Spatial function-on-function quantile regression

Resumen Técnico: Regresión de Cuantiles Espacial de Función sobre Función

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el análisis de datos funcionales con índices espaciales, donde tanto las variables de respuesta como las de predictor son curvas observadas en múltiples ubicaciones espaciales. Mientras que la literatura existente ofrece modelos lineales funcionales (FLM) y modelos de autorregresión espacial (SAR), existe una brecha crítica: los métodos actuales se centran principalmente en las medias condicionales y suelen depender del Análisis de Componentes Principales Funcionales (FPCA) para la reducción de la dimensionalidad. Estos enfoques basados en la media no logran capturar la dinámica de la distribución, como el comportamiento de las colas, la heterocedasticidad y la volatilidad dependiente del estado, los cuales son cruciales en aplicaciones como la evaluación de riesgos ambientales (por ejemplo, episodios extremos de contaminación). Además, los métodos estándar de regresión de cuantiles para datos funcionales suelen asumir curvas independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), ignorando la dependencia espacial. El desafío específico abordado es modelar el cuantil condicional de una respuesta funcional $Y_i(t)$ que depende de un predictor funcional $X_i(s)$ y de una respuesta con rezago espacial $\tilde{Y}_i(u)$, donde el rezago espacial introduce endogeneidad.

Metodología
Los autores proponen un marco de Regresión de Cuantiles Espacial de Función sobre Función Penalizada (SFoF-QR). La metodología consta de tres componentes principales:

1. Especificación del Modelo:
   El modelo define el cuantil $\tau$ condicional de la respuesta $Y_i(t)$ dada la información $F_i$ (que contiene el predictor local $X_i$ y el rezago espacial $\tilde{Y}_i$) como:
   $$Q_\tau\{Y_i(t) | F_i\} = \int_{I_Y} \tilde{Y}_i(u)\rho_\tau(t, u)du + \int_{I_X} X_i(s)\beta_\tau(t, s)ds$$
   Aquí, $\rho_\tau(t, u)$ representa la superficie de desbordamiento espacial (spillover) y $\beta_\tau(t, s)$ representa la superficie del efecto del predictor. Ambas superficies pueden variar con el nivel de cuantil $\tau$. El rezago espacial se define como $\tilde{Y}_i(u) = \sum_{j=1}^n w_{ij}Y_j(u)$, donde $W$ es una matriz de pesos espaciales conocida.

2. Estrategia de Estimación (IV de dos etapas):
   Debido a que el rezago espacial endógeno $\tilde{Y}_i$ es endógeno (correlacionado con el error estructural), se emplea un enfoque de variables instrumentales (IV) de dos etapas:

   • Etapa 1: El rezago espacial endógeno $\tilde{Y}_i$ se regresa sobre instrumentos exógenos generados a partir del predictor funcional $X_i$ y sus rezagos espaciales ($X_i, WX_i, W^2X_i, \dots$) utilizando regresión de cuantiles funcionales. Esto produce vectores de puntuación de rezago instrumentados (predichos).
   • Etapa 2: Las superficies de coeficientes estimadas $\rho_\tau$ y $\beta_\tau$ se obtienen minimizando una función de pérdida de cuantiles penalizada utilizando el rezago instrumentado de la Etapa 1.

3. Expansión de Bases y Penalización:
   Para manejar la naturaleza de dimensión infinita de las superficies de coeficientes, los autores utilizan expansiones de B-splines de producto tensorial en lugar de la truncación por FPCA. Las superficies se aproximan como:
   $$\rho_\tau(t, u) \approx \sum_{\ell,m} \rho^{(\tau)}_{\ell m} \phi_\ell(t)\phi_m(u), \quad \beta_\tau(t, s) \approx \sum_{\ell,k} b^{(\tau)}_{\ell k} \phi_\ell(t)\psi_k(s)$$
   Se aplican penalizaciones de rugosidad (derivadas segundas cuadráticas integradas) a las matrices de coeficientes para asegurar la suavidad y prevenir el sobreajuste. Los parámetros de suavizado se seleccionan mediante una búsqueda de cuadrícula del Criterio de Información Bayesiano (BIC).

4. Teoría Asintótica:
   El artículo establece la normalidad asintótica $\sqrt{n}$ de los estimadores de coeficientes de spline bajo dimensiones de spline fijas. Además, derivan los límites de proceso gaussiano de rango finito inducidos para las superficies de coeficientes reconstruidas.

Contribuciones Clave
El artículo reclama tres contribuciones primarias:

1. Modelo Novedoso: Introduce el primer modelo de regresión de cuantiles espacial de función sobre función que da cuenta conjuntamente de la correlación espacial a través de una estructura SAR funcional, permitiendo al mismo tiempo la inferencia sobre cuantiles condicionales arbitrarios. Esto captura la dinámica de la distribución más allá de la media condicional.
2. Marco de Estimación: Desarrolla una estrategia de estimación de variables instrumentales de dos etapas que aborda la endogeneidad sin depender de la truncación por FPCA. Al utilizar B-splines de producto tensorial con penalizaciones de rugosidad, el método evita la pérdida de información asociada con la selección de niveles de truncación y permite la recuperación de superficies de interacción no separables.
3. Fundamento Teórico: Proporciona una teoría asintótica para los estimadores propuestos basados en IV, incluyendo la normalidad asintótica de spline fijo y la convergencia de las superficies reconstruidas hacia procesos gaussianos de rango finito.

Resultados

• Simulaciones de Monte Carlo: Simulaciones extensas demuestran que el método propuesto SFoF-QR (M6) supera significativamente a los competidores no espaciales y a los competidores espaciales basados en la media (M1–M5) en la recuperación de superficies estructurales y la predicción de respuestas, particularmente bajo condiciones de heterocedasticidad dependiente de la señal y contaminación en la cola superior. La ventaja del enfoque de cuantiles espaciales aumenta con la fuerza de la dependencia espacial.
• Aplicación Empírica: El método se aplica a datos de calidad del aire PM2.5 de 1,481 estaciones de monitoreo en Italia (2023–2024), utilizando PM10 como predictor.
  • El modelo SFoF-QR logró el Error Cuadrático Medio Porcentual (RMSE) in-sample más bajo de 6.316 y un acuerdo de tipo $R^2$ de 0.970, superando a los modelos de cuantiles no espaciales (RMSE 8.556) y equiparándose al modelo de media espacial penalizado.
  • El análisis de las superficies de coeficientes estimadas reveló una pronunciada heterocedasticidad dependiente del estado (una separación más fuerte de las curvas de cuantiles en invierno frente al verano) y efectos temporales localizados que los modelos basados en la media no pudieron capturar.
  • El método recuperó con éxito superficies de desbordamiento espacial suaves, mientras que los enfoques basados en FPCA mostraron menos estabilidad.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores posicionan este trabajo como una herramienta robusta para la gestión de riesgos ambientales y el análisis de datos funcionales complejos donde el comportamiento de las colas y la dependencia espacial son críticos. Reclaman que su enfoque cierra la brecha entre los modelos funcionales espaciales y la regresión de cuantiles, ofreciendo una alternativa flexible a los modelos basados en la media que pueden manejar la contaminación asimétrica y la heterocedasticidad. La implementación está disponible en el paquete SpatialFoFReg. El artículo señala modestamente que, si bien el método funciona bien en simulaciones y análisis in-sample, la predicción fuera de la muestra en contextos de autorregresión espacial requiere estrategias específicas para manejar los vínculos espaciales entre los conjuntos de entrenamiento y de prueba, lo cual fue abordado mediante simulación pero no explorado completamente en la aplicación de datos reales debido a limitaciones de datos. Se sugiere trabajo futuro respecto a matrices de pesos adaptativas a los datos, escalabilidad computacional y estimación conjunta para prevenir el cruce de cuantiles.