Dynamic quantum phase transitions in the two-leg Creutz ladder with long-range hopping

भौतिकी अक्सर यह समझने की कोशिश करती है कि पदार्थ स्वयं को विशिष्ट अवस्थाओं में कैसे व्यवस्थित करता है, ठीक वैसे ही जैसे पानी बर्फ में जम जाता है या एक चुंबक अचानक अपनी आंतरिक शक्तियों को संरेखित कर लेता है। ये परिवर्तन, जिन्हें चरण संक्रमण (phase transitions) कहा जाता है, आमतौर पर तब होते हैं जब किसी प्रणाली को धीरे-धीरे ठंडा या गर्म किया जाता है जब तक कि वह एक निर्णायक बिंदु (tipping point) तक नहीं पहुँच जाती। दशकों से, वैज्ञानिकों ने उन नियमों में महारत हासिल कर ली है जब एक प्रणाली संतुलन (equilibrium) में शांति से बैठी होती है और तापमान के बदलने का इंतज़ार करती है। हालाँकि, एक नया और अधिक उथल-पुथल भरा क्षेत्र इस बात की खोज करता है कि क्या होता है जब किसी प्रणाली को संतुलन से अचानक बाहर धकेल दिया जाता है। कल्पना कीजिए कि एक शांत झील में अचानक एक विशाल पत्थर गिर जाता है; उसके बाद उठने वाली लहरें केवल शोर नहीं हैं, बल्कि ऊर्जा का एक जटिल पुनर्गठन हैं जो पानी के अपने छिपे हुए गुणों को प्रकट कर सकता है। क्वांटम दुनिया में, जहाँ कण तरंगों और ठोस वस्तुओं दोनों की तरह व्यवहार करते हैं, इन अचानक आए झटकों को 'क्वांटम क्वेंच' (quantum quenches) कहा जाता है। जब किसी क्वांटम प्रणाली के किसी पैरामीटर को तुरंत बदल दिया जाता है, तो प्रणाली केवल एक नई अवस्था में स्थिर नहीं होती; वह दोलन (oscillate) करती है, और समय के विशिष्ट क्षणों में, उसका व्यवहार गणितीय रूप से अत्यंत तीक्ष्ण और अप्रत्याशित हो सकता है। ये क्षण 'डायनामिकल क्वांटम फेज ट्रांजिशन' कहलाते हैं, और वे एक नए प्रकार के क्रम का प्रतिनिधित्व करते हैं जो केवल समय के प्रवाह में मौजूद होता है, न कि कमरे के तापमान में।

ब्राजील के फेडरल यूनिवर्सिटी ऑफ उबेरलैंडिया के शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट सैद्धांतिक मॉडल, जिसे 'क्रूट्स लैडर' (Creutz ladder) के रूप में जाना जाता है, का उपयोग करके इस घटना की गहराई से जांच की है। यह मॉडल एक सरलीकृत दुनिया का वर्णन करता है जहाँ कण दो समानांतर पटरियों, या पैरों (legs), पर चलते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में आपस में जुड़ी हुई सीढ़ियों (rungs) से जुड़े होते हैं। जबकि पिछले अध्ययनों ने इस बात पर ध्यान दिया कि कण केवल अपने निकटतम पड़ोसियों तक कैसे कूदते हैं, इस नए कार्य में इस बात की जांच की गई है कि क्या होता है जब कण बहुत दूर तक छलांग लगा सकते हैं, यानी कई सीढ़ियों को एक साथ पार कर सकते हैं। इन लंबी दूरी की छलांगों की ताकत स्थिर नहीं है; यह जैसे-जैसे दूरी बढ़ती है, कम होती जाती है, जो एक विशिष्ट गणितीय नियम का पालन करती है जहाँ कूदने की संभावना एक मंद होती गूँज की तरह घटती जाती है। शोधकर्ता यह जानना चाहते थे कि क्या लंबी दूरी की इन छलांगों की अनुमति देने से यह मौलिक रूप से बदल जाएगा कि प्रणाली अचानक आए झटके के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करती है, विशेष रूप से क्या यह समय में उन तीक्ष्ण, अप्रत्याशertित क्षणों को अधिक पैदा करेगा।

इसका उत्तर देने के लिए, टीम ने पहले एक सामान्य गणितीय ढांचा विकसित किया जो इस प्रकार की किसी भी दो-ट्रैक प्रणाली को सटीक रूप से हल कर सकता है। उन्होंने इस प्रणाली को 'मोमेंटम स्पेस' (momentum space) के माध्यम से गुजरने वाली तरंगों के एक संग्रह के रूप में माना, जो प्रणाली का वर्णन इस आधार पर करता है कि उसके हिस्से कैसे चलते हैं, न कि इस आधार पर कि वे कहाँ स्थित हैं। इस सामान्य सेटअप के समीकरणों को हल करके, उन्होंने एक सटीक 'लोशमिडต์ आयाम' (Loschmidt amplitude) का सूत्र निकाला, जो एक मात्रा है जो मापती है कि झटका लगने के बाद प्रणाली अपनी मूल अवस्था को कितना याद रखती है। इससे, उन्होंने 'डायनामिकल फ्री एनर्जी' की गणना की, जो प्रणाली की स्मृति के लिए एक थर्मामीटर की तरह कार्य करती है। जब यह मान एक तीक्ष्ण कोना या 'कस्प' (cusp) बनाता है, तो यह संकेत देता है कि एक डायनामिकल फेज ट्रांजिशन हुआ है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि ये तीक्ष्ण क्षण केवल तभी होते हैं जब प्रणाली की आंतरिक तरंगों द्वारा कुछ विशिष्ट शर्तें पूरी की जाती हैं, जो चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति और कणों की कूद की सीमा पर निर्भर करती हैं।

इस ढांचे को क्रूट्स लैडर पर लागू करते हुए, टीम ने पाया कि कूद की सीमा की लंबाई और उनकी शक्ति के घटने की दर महत्वपूर्ण कारक हैं। जब छलांग छोटी होती है और शक्ति तेजी से घटती है, तो प्रणाली परिचित तरीके से व्यवहार करती है: तीक्ष्ण संक्रमण केवल तभी होते हैं जब चुंबकीय क्षेत्र में अचानक परिवर्तन एक विशिष्ट संतुलन सीमा को पार करता है। हालाँकि, कहानी नाटकीय रूप से बदल जाती है जब कण लंबी दूरियों तक कूद सकते हैं और उनकी शक्ति का घटना धीमा होता है। इन मामलों में, शोधकर्ताओं ने पाया कि प्रणाली इन तीक्ष्ण संक्रमणों से गुजर सकती है, भले ही चुंबकीय क्षेत्र का परिवर्तन किसी पारंपरिक सीमा को पार न करे। जैसे-जैसे कूद की सीमा बढ़ती है और शक्ति का घटना धीमा होता है, इन संक्रमण क्षणों की संख्या बढ़ती जाती है। सबसे चरम परिदृश्यों में, जहाँ कण बहुत दूर तक कूद सकते हैं और शक्ति बहुत धीरे-धीरे घटती है, ये संक्रमण क्षण इतने असंख्य और एक-दूसरे के इतने करीब हो जाते हैं कि वे लगभग निरंतर प्रतीत होते हैं, जिससे समय के साथ प्रणाली के व्यवहार में तीक्ष्ण परिवर्तनों का एक घना जंगल बन जाता है।

यह अध्ययन पुष्टि करता है कि लंबी दूरी की अंतःक्रियाएं (long-range interactions) न केवल प्रणाली में जटिलता जोड़ती हैं, बल्कि प्रणाली के स्थैतिक गुणों और उसकी गतिशील प्रतिक्रिया के बीच के संबंध को गुणात्मक रूप से बदल देती हैं। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि इन घनीभूत संक्रमण अवधियों का उदय किसी एक मॉडल की आकस्मिक घटना नहीं है, बल्कि लंबी दूरी की 'हॉपिंग' वाले सिस्टम की एक सामान्य विशेषता होने की संभावना है, जो अन्य सैद्धांतिक श्रृंखलाओं के समान निष्कर्षों को प्रतिध्वनित करती है। हालाँकि ये परिणाम वर्तमान में भौतिक प्रयोगों के बजाय सटीक गणितीय सिमुलेशन पर आधारित हैं, फिर भी प्रयोगशालाओं में ऑप्टिकल लैटिस (optical lattices) में क्रूट्स लैडर को पहले ही साकार किया जा चुका है। यह सुझाव देता है कि टीम द्वारा भविष्यवाणी की गई घनी, निरंतर जैसी व्यवहार वाली स्थिति को जल्द ही वास्तविक प्रयोगों में देखा जा सकेगा, जो हमें यह समझने के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करेगा कि क्वांटम पदार्थ स्थिरता के किनारे पर धकेले जाने पर कैसा व्यवहार करता है। यह कार्य इस बात को समझने के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है कि कैसे अंतरिक्ष के पार पहुँचने की क्षमता कणों के समय-निर्भर चरण संक्रमणों (time-dependent phase transitions) की प्रकृति को नया रूप देती है।