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Dynamic quantum phase transitions in the two-leg Creutz ladder with long-range hopping

本文通过推导动力学自由能的精确解，研究了具有长程跳跃的双腿 Creutz 梯子的动力学量子相变，并证明了临界时间密度随跳跃范围的增加而增加，并随幂律衰减指数的增加而减少。

原作者： J. A. da Silva, J. C. Xavier

发布于 2026-08-26

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原作者： J. A. da Silva, J. C. Xavier

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

物理学通常致力于理解物质如何组织自身成为不同的状态，就像水结冰成冰一样，或者磁铁突然使其内部力量对齐。这些变化被称为相变，通常发生在系统被缓慢冷却或加热直到达到一个临界点时。几十年来，科学家们已经掌握了当系统静止在平衡态并等待温度变化时的这些转变规律。然而，一个更趋于疯狂的新兴前沿领域正在探索当系统被猛烈震动出平衡状态时会发生什么。想象一下，一个平静的湖泊突然被一块巨大的岩石击中；随之而来的涟漪不仅仅是噪音，而是一种能量的复杂重新排列，可以揭示水本身的隐藏特性。在量子世界中，粒子既表现得像波又表现得像固体物体，这些突然的震动被称为量子猝灭（quantum quenches）。当一个量子系统的参数发生瞬时改变时，系统并不仅仅是进入一个新的状态；它会发生振荡，并且在特定的时间点，其行为会变得在数学上极其尖锐且难以预测。这些时刻被称为动力学量子相变，它们代表了一种只存在于时间的流动中、而非存在于室温中的新型秩序。

巴西费德拉尔大学的研究人员利用一种被称为克罗伊茨梯子（Creutz ladder）的特定理论模型，对这一现象进行了深入研究。该模型描述了一个简化的世界，其中的粒子沿着两条平行的轨道（或称“腿”）移动，这些轨道由横档连接，并受到磁场的影响。此前的研究关注的是粒子仅向其相邻邻居跳跃的情况，而这项新工作则调查了当粒子可以跳得更远，即一次性跳过多个横档时会发生什么。这些长距离跳跃的强度并不是恒定的；随着距离的增加，强度会逐渐减弱，遵循一个特定的数学规则，即跳跃概率像消逝的回声一样衰减。研究人员想要知道，允许这些长程跳跃是否会从根本上改变系统对突然震动的反应，特别是它是否会创造出更多那些尖锐且难以预测的时刻。

为了回答这个问题，团队首先开发了一个通用的数学框架，可以精确求解任何此类两轨系统。他们将系统视为通过动量空间运动的波的集合，这是一种基于系统各部分如何运动而非其所处位置来描述系统的方法。通过求解这个通用设置的方程，他们推导出了“洛辛迪安振幅”（Loschmidt amplitude）的精确公式，这是一个衡量系统在受到震动后对其原始状态记忆程度的量。由此，他们计算了动力学自由能，这个数值就像是系统记忆的“温度计”。当这个数值出现尖锐的转角或尖峰时，便预示着发生了动力学相变。研究人员表明，这些尖锐时刻只有在满足系统内部波的特定条件时才会发生，这些条件取决于磁场的强度和粒子跳跃的范围。

将这一框架应用于克罗伊茨梯子，团队发现跳跃范围的长度和跳跃强度的衰减速率是关键因素。当跳跃距离较短且强度衰减较快时，系统的行为表现得非常熟悉：只有当磁场的突然变化跨越了特定的平衡边界时，才会发生尖锐的转变。然而，当粒子可以进行长距离跳跃且强度的衰减非常缓慢时，故事发生了戏剧性的变化。在这些情况下，研究人员发现，即使磁场变化没有跨越任何传统的边界，系统也可以经历这些尖锐的转变。随着跳跃范围的增大和衰减速度的放缓，这些转变时刻的数量也会随之增加。在最极端的情况下，即粒子可以跳得非常远且强度衰减得非常缓慢时，这些转变时刻变得如此密集且紧凑，以至于它们看起来几乎是连续发生的，在系统的行为过程中创造出一片由尖锐变化构成的稠密森林。

这项研究证实，长程相互作用不仅仅是增加了系统的复杂性；它们从质上改变了系统的静态属性与动态响应之间的关系。研究人员证明，这些密集分布的转变时刻的出现并非单一模型的偶然现象，而很可能是具有长程跳跃特性的系统的普遍特征，这与在其他理论链中发现的结果相呼应。虽然这些结果目前是基于精确的数学模拟而非物理实验，但克罗伊茨梯子已经在实验室的光晶格中实现。这表明，团队预测的这种接近连续的密集行为很快就能在实际实验中被观察到，从而为我们了解量子物质在被推向稳定性边缘时如何表现提供了一个新的窗口。这项工作为理解粒子跨越空间的能力如何重塑时间依赖型相变的本质，提供了一条清晰的路线图。

技术摘要：具有长程跳跃的双腿 Creutz 梯度的动态量子相变

问题陈述
本研究探讨了长程跳跃对双腿 Creutz 梯模型中动态量子相变（DQPTs）的影响。虽然 DQPTs（其特征是在量子猝灭后，动力学自由能在临界时间出现非解析性）在短程系统中已被广泛研究，但长程相互作用（其中跳跃振幅随距离 $\ell$ 以幂律 $1/\ell^\nu$ 衰减，范围为 $D$ ）的具体影响仍不为人所熟知。以往关于具有长程跳跃的 Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型的研究表明，增加跳跃范围 $D$ 并减小衰减指数 $\nu$ 可能会导致产生一组密集的临界时间，从而可能在几乎所有时刻都出现非解析性。作者旨在确定这种现象是长程跳跃系统的普遍特征，还是 SSH 模型所特有的。为此，他们使用精确可解的 Creutz 模型作为测试平台。

研究方法
作者采用了一种基于动量空间中通用双带自由费米子模型精确对角化的解析方法。

通用双带框架： 他们首先推导出了由 $2\times2$ 矩阵 $M(k, \theta)$ 定义的通用哈密顿量 $H(\theta)$ 的精确解。他们得到了本征能量 $\omega_{\pm}^k$ 和本征算符的闭合形式表达式。
Loschmidt 振幅与自由能： 利用参数 $\theta$ 从 $\theta$ 瞬时变为 $\tilde{\theta}$ 的量子猝灭协议，他们计算了 Loschmidt 振幅 $Z(t) = \langle \psi_0(\theta) | e^{-iH(\tilde{\theta})t} | \psi_0(\theta) \rangle$ 。由此，他们推导出了动力学自由能 $f(t) = -\frac{1}{N} \ln |Z(t)|^2$ 。
Yang-Lee-Fisher (YLF) 零点： 通过定位复时间平面中的 YLF 零点来识别 $f(t)$ 的非解析性。作者表明，只有当涉及猝前与猝后布洛赫矢量重叠的特定条件满足时，这些零点才会到达实时间轴（标志着发生 DQPT），这导致了一个关于临界动量 $k^*$ 的非线性方程。
应用于 Creutz 模型： 他们将该框架应用于存在均匀磁场的具有长程跳跃的双腿 Creutz 梯模型。跳跃振幅在有限范围 $D$ 内按 $t_{\ell} \propto \ell^{-\nu}$ 衰减。磁场通过 Peierls 替换引入，从而引入了一个依赖于磁通量 $\theta$ 的相位因子。

主要贡献与结果

精确解析公式： 本文提供了一个通用的解析框架，用于计算任何双带模型的 DQPTs，并将临界时间与本征能量以及初始态与末态的几何重叠显式地联系起来。
临界时间密度： 核心发现是，非平凡临界时间的数量 $N_s$ $N_{s}$ 关键取决于跳跃范围 $D$ $D$ 和衰减指数 $\nu$ $ν$ 。
- 对于最近邻情况（ $D=1$ ），DQPTs 主要发生在猝灭跨越平衡临界点（例如 $\theta_{eq}^c = 0$ ）时。
- 对于长程跳跃（ $D > 1$ ）且 $\nu$ 较小（衰减缓慢）的情况，临界动量方程的解的数量显著增加。
密集临界时间的出现： 在大 $D$ 和小 $\nu$ 的机制下，临界时间变得越来越密集。作者证明，对于特定参数，这会导致非解析性出现在日益密集的时刻集合中，镜像了在长程 SSH 模型中的观察结果。
与平衡临界性的解耦： 与 $D=1$ 的情况不同，研究表明对于 $D > 1$ ，即使猝灭没有跨越平衡临界点，也会发生 DQPTs。发生 DQPTs 的参数空间区域并不一定与平衡相变区域重合。
有限尺寸效应： 作者指出，虽然非解析性在热力学极限下有严格定义，但有限尺寸系统可能会表现出模糊的局部极大值，这些极大值并不对应真正的非解析性，这凸显了在没有理论指导的情况下检测这些特征的难度。

意义与主张
作者声称，他们的结果表明，密集分布的临界时间的出现很可能是具有长程跳跃模型的普遍特征，而非 SSH 模型所特有的现象。通过展示长程跳跃可以定性地修改平衡与非平衡临界行为之间的关系（具体而言，允许在不跨越平衡临界点的情况下发生 DQPTs），这项工作为理解长程系统的非平衡动力学提供了更深层的理论理解。

鉴于 Creutz 模型最近已在一维光学晶格实验中实现，作者建议他们的发现可以指导未来关于 DQPTs 以及长程跳跃效应的实验研究。然而，他们在面对立即进行实验验证方面保持了谨慎，指出在有限尺寸实验装置中分辨真正的非解析性具有挑战性。论文结论认为，推导出的解析表达式为预测和解释这些系统的动力学临界行为提供了一个强大的工具。

技术摘要：具有长程跳跃的双腿 Creutz 梯度的动态量子相变

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