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Dynamic quantum phase transitions in the two-leg Creutz ladder with long-range hopping

Questo articolo investiga le transizioni di fase quantistiche dinamiche in una scala di Creutz a due gambe con hopping a lungo raggio, derivando soluzioni esatte per l'energia libera dinamica e dimostrando che la densità dei tempi critici aumenta con l'intervallo di hopping e diminuisce con l'esponente di decadimento della legge di potenza.

Autori originali: J. A. da Silva, J. C. Xavier

Pubblicato 2026-08-26

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CC BY 4.0

Autori originali: J. A. da Silva, J. C. Xavier

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La fisica cerca spesso di comprendere come la materia si organizzi in stati distinti, proprio come l'acqua che gela trasformandosi in ghiaccio o un magnete che improvvisamente allinea le sue forze interne. Questi cambiamenti, noti come transizioni di fase, avvengono solitamente quando un sistema viene lentamente raffreddato o riscaldato fino a raggiungere un punto di svolta. Per decenni, gli scienziati hanno padroneggiato le regole di queste transizioni quando un sistema riposa tranquillamente in equilibrio, in attesa che la temperatura cambi. Tuttavia, una frontiera più recente e frenetica esplora cosa accade quando un sistema viene scosso fuori dall'equilibrio. Immaginate un lago calmo improvvisamente colpito da un massiccio masso; le increspature che ne seguono non sono solo rumore, ma un complesso riassetto di energia che può rivelare proprietà nascoste dell'acqua stessa. Nel mondo quantistico, dove le particelle si comportano sia come onde che come oggetti solidi, questi scossoni improvvisi sono chiamati quench quantistici. Quando un parametro di un sistema quantistico viene modificato istantaneamente, il sistema non si limita a stabilizzarsi in un nuovo stato; esso oscilla e, in momenti specifici nel tempo, il suo comportamento può diventare matematicamente netto e imprevedibile. Questi momenti sono chiamati transizioni di fase quantistiche dinamiche e rappresentano un nuovo tipo di ordine che esiste solo nel flusso del tempo, non nella temperatura della stanza.

Ricercatori dell'Università Federale di Uberlândia, in Brasile, si sono immersi profondamente in questo fenomeno utilizzando un modello teorico specifico noto come scala di Creutz. Questo modello descrive un mondo semplificato in cui le particelle si muovono lungo due binari paralleli, o gambe, collegati da pioli, tutti sotto l'influenza di un campo magnetico. Mentre studi precedenti esaminavano come le particelle saltassero solo ai loro vicini immediati, questo nuovo lavoro investiga cosa accade quando le particelle possono compiere salti molto più lunghi, saltando sopra diversi pioli in un colpo solo. La forza di questi salti a lungo raggio non è costante; essa svanisce all'aumentare della distanza, seguendo una specifica regola matematica in cui la probabilità del salto cala come un eco che si affievolisce. I ricercatori volevano sapere se permettere questi salti a lungo raggio avrebbe cambiato fondamentalmente il modo in cui il sistema reagisce a uno scossone improvviso, specificamente se avrebbe creato più di quei momenti netti e imprevedibili nel tempo.

Per rispondere a questo, il team ha prima sviluppato un quadro matematico generale in grado di risolvere esattamente qualsiasi sistema a due binari di questo tipo. Hanno trattato il sistema come una collezione di onde che si muovono attraverso lo spazio del momento, un modo di descrivere il sistema basato su come le sue parti si muovono piuttosto che su dove si trovano. Risolvendo le equazioni per questa configurazione generica, hanno derivato una formula precisa per l'ampiezza di Loschmidt, una quantità che misura quanto il sistema ricordi il suo stato originale dopo essere stato scosso. Da questa, hanno calcolato l'energia libera dinamica, un valore che funge da termometro per la memoria del sistema. Quando questo valore sviluppa un angolo acuto o una cuspide, segnala che si è verificata una transizione di fase dinamica. I ricercatori hanno dimostrato che questi momenti netti avvengono solo quando specifiche condizioni sono soddisfatte dalle onde interne del sistema, condizioni che dipendono dalla forza del campo magnetico e dall'intervallo dei salti delle particelle.

Applicando questo quadro alla scala di Creutz, il team ha scoperto che la lunghezza dell'intervallo di salto e il tasso con cui la forza del salto svanisce sono fattori critici. Quando i salti sono brevi e la forza svanisce rapidamente, il sistema si comporta in modo familiare: transizioni nette avvengono solo quando il cambiamento improvviso nel campo magnetico attraversa un confine di equilibrio specifico. Tuttavia, la storia cambia drasticamente quando le particelle possono saltare su lunghe distanze e il decadimento della loro forza è lento. In questi casi, i ricercatori hanno scoperto che il sistema può subire queste transizioni nette anche quando il cambiamento del campo magnetico non attraversa alcun confine tradizionale. Il numero di questi momenti di transizione aumenta man mano che l'intervallo di salto cresce e il decadimento rallenta. Negli scenari più estremi, dove le particelle possono saltare molto lontano e la forza svanisce molto lentamente, questi momenti di transizione diventano così numerosi e vicini tra loro da apparire quasi continuamente, creando una foresta densa di cambiamenti netti nel comportamento del sistema nel tempo.

Lo studio conferma che le interazioni a lungo raggio non aggiungono semplicemente complessità al sistema; esse alterano qualitativamente la relazione tra le proprietà statiche del sistema e la sua risposta dinamica. I ricercatori hanno dimostrato che l'emergere di questi tempi di transizione densamente impacchettati non è un colpo di fortuna di un singolo modello, ma è probabilmente una caratteristica generale dei sistemi con hopping a lungo raggio, riecheggiando risultati simili in altre catene teoriche. Sebbene questi risultati siano attualmente basati su simulazioni matematiche esatte piuttosto che su esperimenti fisici, la scala di Creutz è già stata realizzata in reticoli ottici nei laboratori. Ciò suggerisce che il comportamento denso, di tipo continuo, predetto dal team potrebbe presto essere osservato in esperimenti reali, offrendo una nuova finestra su come la materia quantistica si comporta quando viene spinta al limite della stabilità. Il lavoro fornisce una chiara tabella di marcia per comprendere come la capacità delle particelle di raggiungere attraverso lo spazio rimodelli la natura stessa delle transizioni di fase dipendenti dal tempo.

Sintesi Tecnica: Transizioni di Fase Quantistiche Dinamiche nella Scala di Creutz a Due Rami con Hopping a Lungo Raggio

Problema
Questo lavoro investiga gli effetti dell'hopping a lungo raggio sulle Transizioni di Fase Quantistiche Dinamiche (DQPT) all'interno del modello della scala di Creutz a due rami. Mentre le DQPT — caratterizzate da non-analiticità nella energia libera dinamica in tempi critici a seguito di un quench quantistico — sono state ampiamente studiate in sistemi a corto raggio, l'influenza specifica delle interazioni a lungo raggio (dove le ampiezze di hopping decadono come una legge di potenza $1/\ell^\nu$ con raggio $D$ ) rimane meno compresa. Studi precedenti sul modello SSH (Su-Schrieffer-Heeger) con hopping a lungo raggio hanno suggerito che l'aumento del raggio di hopping $D$ e la diminuzione dell'esponente di decadimento $\nu$ potrebbero portare a un insieme denso di tempi critici, causando potenzialmente non-analiticità in quasi tutti i tempi. Gli autori mirano a determinare se questo fenomeno sia una caratteristica generica dei sistemi con hopping a lungo raggio o specifica del modello SSH, utilizzando il modello di Creutz, esattamente risolvibile, come banco di prova.

Metodologia
Gli autori utilizzano un approccio analitico basato sulla diagonalizzazione esatta di un modello generico di fermioni liberi a due bande nello spazio dei momenti.

Framework Generico a Due Bande: Essi derivano innanzitutto la soluzione esatta per un Hamiltoniano generico $H(\theta)$ definito da una matrice $2\times2$ $M(k, \theta)$ . Ottengono espressioni in forma chiusa per le autoenergie $\omega_{\pm}^k$ e gli autooperatori.
Ampiezza di Loschmidt ed Energia Libera: Utilizzando un protocollo di quench quantistico in cui un parametro $\theta$ cambia istantaneamente da $\theta$ a $\tilde{\theta}$ , calcolano l'ampiezza di Loschmidt $Z(t) = \langle \psi_0(\theta) | e^{-iH(\tilde{\theta})t} | \psi_0(\theta) \rangle$ . Da questa, derivano l'energia libera dinamica $f(t) = -\frac{1}{N} \ln |Z(t)|^2$ .
Zeri di Yang-Lee-Fisher (YLF): Le non-analiticità in $f(t)$ sono identificate localizzando gli zeri YLF nel piano del tempo complesso. Gli autori dimostrano che questi zeri raggiungono l'asse del tempo reale (segnalando una DQPT) solo quando viene soddisfatta una specifica condizione riguardante la sovrapposizione dei vettori di Bloch pre- e post-quench, portando a un'equazione non lineare per i momenti critici $k^*$ .
Applicazione al Modello di Creutz: Applicano questo framework alla scala di Creutz a due rami con hopping a lungo raggio in presenza di un campo magnetico uniforme. Le ampiezze di hopping decadono come $t_{\ell} \propto \ell^{-\nu}$ fino a un raggio finito $D$ . Il campo magnetico è incorporato tramite la sostituzione di Peierls, introducendo un fattore di fase $\theta$ dipendente dal flusso magnetico.

Contributi Chiave e Risultati

Formulazione Analitica Esatta: L'articolo fornisce un framework analitico generale per calcolare le DQPT in qualsiasi modello a due bande, collegando esplicitamente i tempi critici alle autoenergie e alla sovrapposizione geometrica degli stati iniziale e finale.
Densità dei Tempi Critici: Il risultato centrale è che il numero di tempi critici non triviali $N_s$ $N_{s}$ dipende criticamente dal raggio di hopping $D$ $D$ e dall'esponente di decadimento $\nu$ $ν$ .
- Per il caso a vicino raggio ( $D=1$ ), le DQPT avvengono principalmente quando il quench attraversa un punto critico di equilibrio (ad esempio, $\theta_{eq}^c = 0$ ).
- Per l'hopping a lungo raggio ( $D > 1$ ) con $\nu$ piccolo (decadimento lento), il numero di soluzioni all'equazione del momento critico aumenta significativamente.
Emergenza di Tempi Critici Densi: Nel regime di grande $D$ e piccolo $\nu$ , i tempi critici diventano sempre più densi. Gli autori dimostrano che, per parametri specifici, ciò porta a una situazione in cui le non-analiticità appaiono in un insieme di tempi sempre più denso, rispecchiando le osservazioni nel modello SSH a lungo raggio.
Disaccoppiamento dalla Criticità di Equilibrio: A differenza del caso $D=1$ , lo studio rivela che per $D > 1$ , le DQPT possono verificarsi anche quando il quench non attraversa un punto critico di equilibrio. La regione dello spazio dei parametri in cui avvengono le DQPT non coincide necessariamente con la regione di transizione di fase di equilibrio.
Considerazioni sulle Dimensioni Finite: Gli autori notano che, sebbene le non-analiticità siano rigorosamente definite nel limite termodinamico, i sistemi di dimensioni finite possono esibire massimi locali "spalmati" che non corrispondono a vere non-analiticità, evidenziando la difficoltà di rilevare queste caratteristiche sperimentalmente senza guida teorica.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori sostengono che i loro risultati dimostrano che l'emergenza di tempi critici distribuiti densamente è probabilmente una caratteristica generale dei modelli con hopping a lungo raggio, piuttosto che una caratteristica unica del modello SSH. Dimostrando che l'hopping a lungo raggio può modificare qualitativamente la relazione tra il comportamento critico di equilibrio e quello fuori equilibrio (specificamente, permettendo le DQPT senza attraversare punti critici di equilibrio), il lavoro fornisce una comprensione teorica più profonda della dinamica fuori equilibrio nei sistemi a lungo raggio.

Dato che il modello di Creutz è stato recentemente realizzato sperimentalmente in reticoli ottici monodimensionali, gli autori suggeriscono che le loro scoperte possano guidare futuri studi sperimentali sulle DQPT e sugli effetti dell'hopping a lungo raggio. Tuttavia, essi rimangono modesti riguardo alla verifica sperimentale immediata, notando la difficoltà di risolvere vere non-analiticità in setup sperimentali di dimensioni finite. L'articolo conclude che le espressioni analitiche derivate offrono uno strumento robusto per predire e interpretare il comportamento critico dinamico in questi sistemi.

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