🔢 mathematics

Oscillation of partial sums of the Möbius function and zeros of Riemann's zeta function

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि Y के बड़े मानों के लिए, अंतराल [0, Y] पर मोबियस फलन (Möbius function) के आंशिक योगों के मापांक का औसत क्रम, रीमैन-वॉन मंगलड्ट (Riemann-von Mangoldt) अभाज्य संख्या सूत्र के सबसे बड़े त्रुटि पद के साथ निकटता से संरेखित होता है, जिससे इन योगों के दोलन को रीमैन ज़ेटा फलन के शून्यों के वितरण से जोड़ा जा सकता है।

मूल लेखक: János Pintz

प्रकाशित 2026-08-26

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: János Pintz

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

गणित के विशाल परिदृश्य में, एक अकेला प्रश्न है जिसने लगभग दो शताब्दियों से विद्वानों को परेशान किया है: अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) कैसे वितरित होती हैं? अभाज्य संख्याएँ अंकगणित के निर्माण खंड हैं, वे अविभाज्य परमाणु जिनसे अन्य सभी पूर्ण संख्याएँ निर्मित होती हैं। यद्यपि वे यादृच्छिक (random) रूप से दिखाई देती हैं, गणितज्ञों को लंबे समय से संदेह रहा है कि इस अराजकता के नीचे एक छिपा हुआ क्रम मौजूद है। यह क्रम 'रीमान ज़ेटा फलन' (Riemann zeta function) नामक एक जटिल गणितीय वस्तु में समाहित है। इस फलन का व्यवहार, विशेष रूप से इसके "शून्य" (zeros)—वे बिंदु जहाँ फलन का मान शून्य हो जाता है—का स्थान, अभाज्य संख्याओं की लय को निर्धारित करता है। यदि ये शून्य एक विशिष्ट रेखा पर स्थित हैं, तो अभाज्य संख्याएँ एक अनुमानित पैटर्न का पालन करती हैं; यदि वे भटक जाते हैं, तो पैटर्न अनिश्चित हो जाता है। सौ वर्षों से अधिक समय से, इन शून्यों और अभाज्य संख्याओं के हमारे अनुमानों में होने वाली त्रुटियों के बीच का संबंध एक केंद्रीय रहस्य रहा है, जिसने संख्या सिद्धांत (number theory) के कुछ सबसे गहन कार्यों को प्रेरित किया है।

गणितज्ञ जानोस पिंट्ज़ (János Pintz) का एक हालिया शोध पत्र इस रहस्य के एक विशिष्ट, कठिन पहलू को संबोधित करता है: मोबियस फलन (Möbius function) के आंशिक योगों का व्यवहार। इसे समझने के लिए, एक चलते हुए योग (running tally) की कल्पना करें जहाँ आप प्रत्येक संख्या के लिए उसके अभाज्य गुणनखंडों के आधार पर एक या घटाते हैं। यह योग, जिसे मर्तेन्स फलन (Mertens function) कहा जाता है, अभाज्य संख्याओं के वितरण के लिए एक संवेदनशील बैरोमीटर है। दशकों से, गणितज्ञों ने यह अनुमान लगाने की कोशिश की है कि यह योग कितना ऊपर या नीचे जा सकता है। एक प्रसिद्ध अनुमान ने कभी सुझाव दिया था कि यह योग गिनी जा रही संख्या के वर्गमूल से अधिक नहीं होगा, लेकिन 1980 के दशक में यह गलत साबित हो गया। शेष प्रश्न केवल इन उतार-चढ़ाव के आकार के बारे में नहीं था, बल्कि ज़ेटा फलन के शून्यों के साथ उनके सटीक संबंध के बारे में था। क्या इन उतार-चढ़ाव का औसत आकार सबसे बड़े एकल उतार-चढ़ाव के आकार से मेल खाता है? और क्या ये दोनों ज़ेटा फलन के शून्यों द्वारा अनुमानित सैद्धांतिक अधिकतम से मेल खाते हैं?

पिंट्ज़ का कार्य इन प्रश्नों का एक निश्चित उत्तर प्रदान करता है, जो मोबियस फलन के अनियमित व्यवहार और ज़ेटा फलन के शून्यों की ज्यामिति के बीच एक कठोर संबंध स्थापित करता है। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि मोबियस फलन के उतार-चढ़ाव का औसत परिमाण और उन उतार-चढ़ाव का अधिकतम परिमाण, लंबे समय में, अपने लघुगणकीय क्रम (logarithmic order) में विषम रूप से समान (asymptotically equivalent) हैं। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि ये दोनों मान ज़ेटा फलन के शून्यों के वितरण से प्राप्त एक वास्तविक फलन द्वारा उच्च सटीकता के साथ निर्धारित होते हैं। सरल शब्दों में, यह शोध पत्र दिखाता है कि अभाज्य संख्याओं का "शोर" (noise) यादृच्छिक अराजकता नहीं है, बल्कि यह ज़ेटा फलन के सबसे प्रमुख शून्य की स्थिति द्वारा कड़ाई से नियंत्रित है। यह खोज अभाज्य संख्याओं के अनुमानों में त्रुटि को मापने के दो अलग-अलग तरीकों को एकीकृत करती है—औसत त्रुटि और अधिकतम त्रुटि—यह दिखाते हुए कि वे एक ही दर से बढ़ते हैं और एक ही अंतर्निहित बल द्वारा शासित होते हैं।

यह शोध एक सदी के प्रयास पर आधारित है, जो उन पिछले परिणामों को परिष्कृत करता है जिन्होंने केवल ढीले संबंध स्थापित किए थे या सख्त धारणाओं के तहत काम किया था। पिछले कार्यों ने दिखाया था कि यदि ज़ेटा फलन के शून्य एक निश्चित क्षेत्र के भीतर रहते हैं, तो अभाज्य गणना में त्रुटि कम रहती है। हालाँकि, विपरीत प्रश्न—क्या त्रुटि का आकार हमें ठीक से बताता है कि शून्य कहाँ हैं—हल करना बहुत कठिन था। पिंट्ज़ का पत्र इस बात को संबोधित करता है कि कैसे औसत और अधिकतम त्रुटियों की वृद्धि दर ज़ेटा के शून्यों द्वारा अनुमानित वृद्धि दर के समतुल्य है। ज़ेटा फलन के व्युत्क्रम (reciprocal) के साथ काम करते समय उत्पन्न होने वाली गणितीय विलक्षणताओं (singularities) को संभालने के लिए नई तकनीकों को विकसित करके, लेखक यह सिद्ध करने में सक्षम हुए कि संबंध लघुगणकीय क्रम के संदर्भ में एक सटीक विषम समानता (asymptotic equivalence) है, जिसका अर्थ है कि उनके लघुगणक का अनुपात 1 के करीब पहुंच जाता है। यह पत्र पुष्टि करता है कि एक दिए गए सीमा में मोबियस फलन द्वारा प्राप्त अधिकतम मान और उसी सीमा में वह जो औसत मान बनाए रखता है, दोनों का लघुगणकीय वृद्धि दर समान है। इसका अर्थ यह है कि जैसे-जैसे हम बड़ी और बड़ी संख्याओं की ओर देखते हैं, विशिष्ट व्यवहार और चरम व्यवहार के बीच का अंतर लघुगणकीय अर्थ में लुप्त हो जाता है, भले ही स्वयं मान समान न हों।

इस उपलब्धि का एक महत्वपूर्ण हिस्सा उस मामले से निपटना है जहाँ शून्य उस 'क्रिटिकल लाइन' (critical line) के बहुत करीब हो सकते हैं जो व्यवस्था और अराजकता को अलग करती है। यह शोध पत्र उस परिदृश्य को संबोधित करता है जहाँ शून्य ज्ञात गणितीय नियमों को तोड़े बिना जितना संभव हो सके दाईं ओर स्थित होते हैं। इस कठिन मामले में, लेखक सिद्ध करते हैं कि औसत और अधिकतम मान अभी भी शून्यों से प्राप्त एक ही भविष्यवाणी की ओर अभिसरित (converge) होते हैं। यह परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह इन भविष्यवाणियों को करने के लिए जटिल, अमूर्त "शून्य-मुक्त स्थान" (zero-free space) की आवश्यकता को समाप्त करता है। इसके बजाय, शोध पत्र दिखाता है कि व्यक्ति केवल फलन के व्यवहार को समझने के लिए सभी शून्यों के योगदान के योग को देख सकता है। लेखक यह स्थापित करते हैं कि इन योगदानों का योग, अधिकतम एकल योगदान और फलन के वास्तविक प्रेक्षित मान, सभी एक ही दर पर बढ़ते हैं।

यह शोध पत्र अभाज्य संख्या प्रमेय (prime number theorem) के त्रुटि पद (error term) के साथ मोबियस फलन के संबंध को भी स्पष्ट करता है, जो एक निश्चित बिंदु तक अभाज्य संख्याओं की संख्या गिनता है। जबकि ये दो अलग-अलग गणितीय वस्तुएं हैं, पिंट्ज़ दिखाते हैं कि उनका दोलन व्यवहार (oscillatory behavior) लगभग समान है। अभाज्य गणना की त्रुटि के लिए अधिकतम विचलन और औसत विचलन, तथा मोबियस योग के लिए भी, को ज़ेटा शून्यों के एक ही फलन द्वारा शासित दिखाया गया है। यह इंगित करता है कि अभाज्य संख्याओं और उनसे संबंधित फलनों के उतार-चढ़ाव में एक गहरा संरचनात्मक सामंजस्य है। यह कार्य रीमान हाइपोथिसिस (Riemann Hypothesis) जैसे अप्रमाणित अनुमानों पर निर्भर नहीं करता है; बल्कि, यह तब भी सत्य रहता है जब शून्य वास्तव में कहीं भी हों, बशर्ते वे ज्ञात सीमाओं के भीतर हों। परिणाम गणितीय रूप से सिद्ध किए गए हैं, न कि सिम्युलेटेड या सुझाए गए, जो अभाज्य संख्या वितरण की सीमाओं को समझने के लिए एक ठोस आधार प्रदान करते हैं।

अंत में, यह शोध पत्र इन गणितीय दोलनों की प्रकृति के बारे में एक लंबे समय से चले आ रहे अस्पष्टता को हल करता है। यह पुष्टि करता है कि अभाज्य संख्याओं के वितरण के लिए "सबसे खराब स्थिति" (worst-case scenario), लघुगणकीय वृद्धि के लेंस से देखे जाने पर, "औसत" स्थिति से काफी खराब नहीं है। दोनों ही ज़ेटा फलन की अंतर्निहित ज्यामिति द्वारा निर्धारित होते हैं। यह कार्य इस बात की एक शक्तिशाली पुष्टि के रूप में कार्य करता है कि अभाज्य संख्याओं के प्रतीत होने वाले यादृच्छिक उतार-चढ़ाव वास्तव में एक अत्यधिक संरचित घटना है, जो रीमान ज़ेटा फलन के शून्यों के स्थान से मजबूती से बंधी हुई है। यह सिद्ध करके कि औसत और अधिकतम परिमाण के क्रम लघुगणकीय वृद्धि में एक समान हैं, यह शोध पत्र उस क्षेत्र का एक स्पष्ट और अधिक सटीक मानचित्र प्रदान करता है जहाँ अभाज्य संख्याएँ निवास करती हैं, यह दिखाते हुए कि चरम और सामान्य स्थितियाँ एक ही सिक्के के दो पहलू हैं।

तकनीकी सारांश: मोबियस फलन के आंशिक योगों का दोलन और रीमान के ज़ेटा फलन के शून्य

समस्या विवरण
यह शोध पत्र मोबियस फलन (Möbius function) के आंशिक योगों के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार (asymptotic behavior) को संबोधित करता है, जिसे $M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यद्यपि अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) के त्रुटि पद $\Delta(x) = \psi(x) - x$ के दोलनी व्यवहार को लेखक (पिंट्ज़, 2017) द्वारा पहले ही रीमान ज़ेटा फलन $\zeta(s)$ के गैर-साधारण शून्यों (non-trivial zeros) के वितरण से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ स्थापित किया जा चुका था, किंतु $M(x)$ का मामला काफी अधिक कठिनता प्रस्तुत करता है।

प्राथमिक चुनौती इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि $M(x)$ का विश्लेषणात्मक निरूपण $\zeta'(s)/\zeta(s)$ के बजाय $1/\zeta(s)$ से संबंधित है। फलस्वरूप, $M(x)$ का स्पष्ट सूत्र (explicit formula) $x^\varrho / (\varrho \zeta'(\varrho))$ के रूप में विलक्षणताओं (singularities) को समाहित करता है, जो $\Delta(x)$ के सूत्र में पाए जाने वाले सरल ध्रुवों (poles) की तुलना में संभालने में अधिक जटिल हैं। इसके अतिरिक्त, रीमान परिकल्पना (RH) के अंतर्गत, $M(x)$ के लिए ज्ञात सर्वोत्तम ऊपरी सीमाएँ $\Delta(x)$ की तुलना में कमजोर हैं, और $M(x)$ का दोलन कम समझ में आया है; उदाहरण के लिए, यह भी ज्ञात नहीं है कि क्या सभी $x$ के लिए $|M(x)| \le 2\sqrt{x}$ है।

केंद्रीय समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या $|M(x)$ का उच्चतम क्रम ( $S_{M,\delta}(x)$ ) और औसत क्रम ( $D_M(x)$ ), स्पष्ट सूत्र के अधिकतम पद (जिसे $Z(x)$ द्वारा दर्शाया गया है) और पदों के योग ( $W(x)$ ) के साथ उच्च सटीकता के साथ मेल खाते हैं, जैसा कि $\Delta(x)$ के लिए स्थापित परिणामों के समान है।

कार्यप्रणाली
लेखक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं, जो $\Delta(x)$ के लिए उपयोग की गई विधियों को $M(x)$ के अधिक कठिन संदर्भ में विस्तारित करती हैं।

शून्य-मुक्त क्षेत्र और घनत्व अनुमान (Zero-Free Regions and Density Estimates): विश्लेषण गैर-साधारण शून्यों $\varrho = \beta + i\gamma = 1 - \delta + i\gamma$ के वितरण पर निर्भर करता है। शोध पत्र क्रिटिकल स्ट्रिप (critical strip) में $|1/\zeta(s)|$ को बांधने के लिए कार्लसन के घनत्व प्रमेय (Carlson's density theorem) और $\sigma=1$ रेखा के निकट कोरोबोव-विनाग्रादोव अनुमान (Korobov–Vinogradov estimate) का उपयोग करता है।
कॉन्टूर इंटीग्रेशन (Contour Integration): $M(x)$ के लिए ऊपरी सीमाओं को प्राप्त करने के लिए, शोध पत्र एक विशिष्ट एकीकरण पथ (integration contour) का उपयोग करता है जिसे हक्सले-हूली-रामाचंद्र कॉन्टूर (Huxley–Hooley–Ramachandra contour) के रूप में जाना जाता है। इस कॉन्टूर का निर्माण क्रिटिकल स्ट्रिप को आयतों में विभाजित करके और प्रत्येक आयत की दाहिनी सीमा को उस क्षेत्र के भीतर सबसे बड़े वास्तविक भाग वाले शून्य से होकर गुजरने के लिए स्थानांतरित करके किया जाता है। यह एकीकरण पथ के अनुदिश $1/\zeta(s)$ के विकास पर सटीक नियंत्रण की अनुमति देता है।
भारित इंटीग्रल अनुमान (Weighted Integral Estimates): निम्नतम सीमाओं (lower bounds) के लिए, लेखक एक नवीन भारित इंटीग्रल दृष्टिकोण पेश करते हैं। $\sigma=1$ रेखा के निकट एक शून्य $\varrho_0$ से जुड़े एक विशिष्ट भार फलन (weight function) को परिभाषित करके, शोध पत्र $|M(x)|$ के भारित औसत के लिए एक निचली सीमा स्थापित करता है। इसमें एक परीक्षण फलन $g(s)$ का निर्माण शामिल है और $M(x)$ के इंटीग्रल को $\zeta(s)$ के गुणों से जोड़ने के लिए व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण (inverse Mellin transform) का उपयोग किया जाता है।
चरम समस्याएँ (Extremal Problems): एक भारित औसत के निचले स्तर को अन-भारित औसत (और तत्पश्चात अधिकतम) के निचले स्तर में बदलने के लिए, शोध पत्र एक चरम समस्या को हल करता है। यह एक फलन $F(x)$ के इंटीग्रल को उसके भारित इंटीग्रल पर एक प्रतिबंध के अधीन न्यूनतम करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि $|M(x)|$ का "सबसे खराब स्थिति" वाला वितरण अंतराल के ऊपरी बाउंड के निकट केंद्रित है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

शोध पत्र $M(x)$ के दोलन और ज़ेटा शून्यों के वितरण के बीच तीक्ष्ण संबंध स्थापित करता है, जो $\Delta(x)$ के लिए पूर्व में प्राप्त परिणामों को प्रतिबिंबित करता है।

परिभाषाएँ:
- $Z(x) = \max_{\varrho; \gamma>0} \frac{x^\beta}{\gamma}$ (स्पष्ट सूत्र का अधिकतम पद)।
- $W(x) = \sum_{\varrho; |\gamma| \le x} \frac{x^\beta}{\gamma}$ (पदों का योग)।
- $D_M(x) = \frac{1}{x} \int_0^x |M(u)| du$ (औसत क्रम)।
- $S_{M,\delta}(x) = \max_{x^{1-\delta} \le u \le x} |M(u)|$ (एक लघु अंतराल में maximal order)।
- $\omega(x) = \log_x Z(x)$ और $\omega_{DM}(x) = \log_x D_M(x)$ ।
प्रमेय (Theorems):
- प्रमेय 2.1: किसी भी निश्चित $\delta > 0$ के लिए, जैसे कि $x \to \infty$ :
  $\omega_W(x) \sim \omega_{DM}(x) \sim \omega_{S_{M,\delta}}(x) \sim \omega(x)$
  यह इंगित करता है कि पदों के योग, औसत क्रम और $M(x)$ के उच्चतम क्रम के लघुगणकीय विकास दर (logarithmic growth rates) स्पर्शोन्मुखी रूप से उस दर के समान हैं जो "सबसे खराब" शून्य (वह शून्य जो $\eta \log x + \log \gamma$ को न्यूनतम करता है) द्वारा निर्धारित होती है।
- प्रमेय 2.2: किसी भी निश्चित $\delta > 0$ के लिए:
  $\log W(x) \sim \log D_M(x) \sim \log S_{M,\delta}(x) \sim \log Z(x)$
- उपप्रमेय (Corollaries) 2.1–2.2: ये परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय के त्रुटि पद ( $\Delta(x)$ ) तक समानता का विस्तार करते हैं, यह दिखाते हुए कि $|M(x)|$ और $|\Delta(x)|$ के औसत और उच्चतम क्रम स्पर्शोन्मुखी रूप से समान हैं और दोनों ही $Z(x)$ के अधिकतम पद के साथ उच्च सटीकता से मेल खाते हैं।
मामला वर्गीकरण (Case Distinction):
- मामला $\vartheta < 1$ : जहाँ $\vartheta = \sup \beta$ , परिणाम घनत्व प्रमेयों और मानक कॉन्टूर इंटीग्रेशन से अपेक्षाकृत सीधे प्राप्त होते हैं।
- मामला $\vartheta = 1$ : यह महत्वपूर्ण और सबसे कठिन मामला है (जो रीमान परिकल्पना के गलत होने या $\sigma=1$ के अत्यंत निकट शून्यों के अस्तित्व के अनुरूप है)। लेखक सिद्ध करते हैं कि इस मामले में भी, औसत क्रम के लिए निचली सीमा बनी रहती है, जिससे पिछले अनुमानों (जैसे कि 1982/83 में लेखक द्वारा किए गए अनुमान) की सीमाएँ दूर हो जाती हैं जो महत्वपूर्ण मामले के लिए अपर्याप्त थे।

महत्व
यह शोध पत्र इंगिंगम (1932) और टुरान (1950) के पूर्ववर्ती कार्यों के "दूरगामी सामान्यीकरण और तीक्ष्णता" का दावा करता है। इसका प्राथमिक महत्व यह प्रदर्शित करने में निहित है कि मोबियस फलन के आंशिक योगों का दोलनी व्यवहार न केवल ज़ेटा शून्यों के वितरण द्वारा सीमित है, बल्कि उच्च सटीकता के साथ उसके द्वारा स्पर्शोन्मुखी रूप से निर्धारित भी है।

विशेष रूप से, यह कार्य पुष्टि करता है कि $|M(x)|$ का उच्चतम क्रम और औसत क्रम अनिवार्य रूप से एक ही हैं, और दोनों उसी फलन $\omega(x)$ द्वारा शासित होते हैं जो स्पष्ट सूत्र के सबसे बड़े पद के व्यवहार को निर्देशित करता है। यह $\vartheta=1$ के मामले में एक लंबे समय से चली आ रही कठिनाई को हल करता है, यह दिखाते हुए कि "सबसे खराब" शून्य (वह जो $\sigma=1$ रेखा के सबसे निकट है) त्रुटि पद के परिमाण को निर्धारित करता है, चाहे रीमान परिकल्पना सत्य हो या असत्य। परिणाम $\zeta(s)$ के विश्लेषणात्मक गुणों और $\mu(n)$ के अंकगणितीय गुणों के बीच एक कठोर संबंध स्थापित करते हुए, अभाज्य संख्या प्रमेय और मोबियस फलन दोनों के त्रुटि पदों की समझ को एकीकृत करते हैं।

तकनीकी सारांश: मोबियस फलन के आंशिक योगों का दोलन और रीमान के ज़ेटा फलन के शून्य

इसी तरह के और पेपर