Oscillation of partial sums of the Möbius function and zeros of Riemann's zeta function

技术摘要：莫比乌斯函数部分和的振荡与黎曼 Zeta 函数的零点

问题陈述
本文研究了莫比乌斯函数部分和 $M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$ 的渐近行为。虽然作者（Pintz, 2017）此前已确立了素数定理误差项 $\Delta(x) = \psi(x) - x$ 的振荡行为与黎曼 Zeta 函数 $\zeta(s)$ 非平凡零点的分布紧密相关，但 $M(x)$ 的情况则面临显著更大的困难。

主要的挑战在于 $M(x)$ 的解析表示涉及 $1/\zeta(s)$ 而非 $\zeta'(s)/\zeta(s)$。因此，$M(x)$ 的显式公式包含形式为 $x^\varrho / (\varrho \zeta'(\varrho))$ 的奇点，这比 $\Delta(x)$ 公式中简单的极点更难处理。此外，在黎曼假设（RH）成立下，已知关于 $M(x)$ 的最佳上界比 $\Delta(x)$ 更弱，且 $M(x)$ 的振荡仍不为人所熟知；例如，目前甚至无法确定是否对于所有 $x$ 都有 $|M(x)| \le 2\sqrt{x}$。

核心问题是确定 $|M(x)|$ 的极大阶（$S_{M,\delta}(x)$）与平均阶（$D_M(x)$）是否与显式公式的最大项（记作 $Z(x)$）以及各项之和（$W(x)$）在高度精确的意义下一致，类似于已建立的关于 $\Delta(x)$ 的结果。

方法论
作者结合了解析数论技术，将先前用于 $\Delta(x)$ 的方法扩展到更为困难的 $M(x)$ 背景中。

1. 零点自由区域与密度估计： 分析依赖于非平凡零点 $\varrho = \beta + i\gamma = 1 - \delta + i\gamma$ 的分布。论文利用 Carlson 密度定理和 Korobov–Vinogradov 关于 $\zeta(s)$ 在 $\sigma=1$ 附近的行为估计，来限制批判带内 $|1/\zeta(s)|$ 的大小。
2. 轮廓积分： 为了推导 $M(x)$ 的上界，论文利用了一种特殊的积分轮廓，即 Huxley–Hooley–Ramachandra 轮廓。该轮廓通过将批判带划分为若干矩形，并将每个矩形的右边界移动到经过该区域内实部最大的零点处。这使得能够精确控制沿积分路径的 $1/\zeta(s)$ 的增长。
3. 加权积分估计： 对于下界，作者引入了一种新颖的加权积分方法。通过定义一个涉及靠近 $\sigma=1$ 线的零点 $\varrho_0$ 的特定权重函数，论文建立了 $|M(x)|$ 加权平均值的下界。这涉及构造一个测试函数 $g(s)$ 并利用逆 Mellin 变换，将 $|M(x)|$ 的积分与 $\zeta(s)$ 的性质联系起来。
4. 极值问题： 为了将加权平均值的下界转化为无加权平均值的下界（并进而转化为最大值），论文解决了一个极值问题。它在给定加权积分约束的情况下最小化函数 $F(x)$ 的积分，证明了 $|M(x)|$ 的“最坏情况”分布集中在区间的上界附近。

主要贡献与结果

论文建立了 $M(x)$ 的振荡与 Zeta 零点分布之间的紧密联系，镜像了先前在 $\Delta(x)$ 上取得的结果。

• 定义：

  • $Z(x) = \max_{\varrho; \gamma>0} \frac{x^\beta}{\gamma}$ （显式公式的最大项）。
  • $W(x) = \sum_{\varrho; |\gamma| \le x} \frac{x^\beta}{\gamma}$ （各项之和）。
  • $D_M(x) = \frac{1}{x} \int_0^x |M(u)| du$ （平均阶）。
  • $S_{M,\delta}(x) = \max_{x^{1-\delta} \le u \le x} |M(u)|$ （短区间内的极大阶）。
  • $\omega(x) = \log_x Z(x)$，$\omega_{DM}(x) = \log_x D_M(x)$。

• 定理：

  • 定理 2.1： 对于任何固定的 $\delta > 0$，当 $x \to \infty$ 时：
    $$\omega_W(x) \sim \omega_{DM}(x) \sim \omega_{S_{M,\delta}}(x) \sim \omega(x)$$
    这表明各项之和、平均阶以及 $M(x)$ 的极大阶的对数增长率，在渐近意义上等价于由“最差”零点（即最小化 $\eta \log x + \log \gamma$ 的零点）所决定的增长率。
  • 定理 2.2： 对于任何固定的 $\delta > 0$：
    $$\log W(x) \sim \log D_M(x) \sim \log S_{M,\delta}(x) \sim \log Z(x)$$
  • 推论 2.1–2.2： 这些结果将等价性扩展到了素数定理的误差项 ($\Delta(x)$)，表明 $|M(x)|$ 和 $|\Delta(x)|$ 的平均阶与极大阶是渐近一致的，并且两者都以高度精确的方式与最大项 $Z(x)$ 相吻合。

• 分类讨论：

  • 情况 $\vartheta < 1$： 其中 $\vartheta = \sup \beta$，结果可以相对直接地从密度定理和标准轮廓积分中得出。
  • 情况 $\vartheta = 1$： 这是关键且最困难的情况（对应于黎曼假设为假或存在任意靠近 $\sigma=1$ 的零点）。作者证明了即使在这种情况下，平均阶的下界依然成立，克服了以往估计（如作者在 1982/83 年的研究）在处理临界情况时的局限性。

意义

该论文声称提供了对 Ingham (1932) 和 Turán (1950) 早期结果的一次“深远的推广与精细化”。其主要意义在于证明了莫比乌斯函数部分和的振荡行为不仅受限于 Zeta 零点的分布，而且是以高度精确的方式由其渐近决定的。

具体而言，这项工作证实了 $|M(x)|$ 的极大阶与平均阶本质上是相同的，并且两者都受控于同一个函数 $\omega(x)$，该函数决定了显式公式最大项的行为。这解决了 $\vartheta=1$ 这一长期存在的难题，证明了无论黎曼假设是否成立，“最差”的零点（即最靠近 $\sigma=1$ 线的零点）都决定了误差项的量级。这些结果统一了对素数定理和莫比乌斯函数误差项的理解，在 $\zeta(s)$ 的解析性质与 $\mu(n)$ 的算术性质之间建立了严谨的联系。