Oscillation of partial sums of the Möbius function and zeros of Riemann's zeta function

기술 요약: 모비우스 함수의 부분합의 진동과 리만 제타 함수의 영점

문제 정의
본 논문은 $M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$으로 정의되는 모비우스 함수의 부분합의 점근적 거동을 다룬다. 소수 정리의 오차항 $\Delta(x) = \psi(x) - x$의 진동적 거동은 저자(Pintz, 2017)에 의해 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 비자명 영점 분포와 밀접하게 연결되어 있음이 이미 밝혀졌으나, $M(x)$의 경우는 훨씬 더 큰 어려움을 수반한다.

주요 난제는 $M(x)$의 해석적 표현이 $\zeta'(s)/\zeta(s)$가 아닌 $1/\zeta(s)$를 포함한다는 점에서 발생한다. 결과적으로 $M(x)$의 명시적 공식(explicit formula)은 $\Delta(x)$의 공식에 있는 단순 극(simple pole)보다 다루기 복잡한 $x^\varrho / (\varrho \zeta'(\varrho))$ 형태의 특이점을 포함한다. 또한, 리만 가설(RH) 하에서도 $M(x)$에 대해 알려진 최선의 상한(upper bounds)은 $\Delta(x)$보다 약하며, $M(x)$의 진동은 훨씬 덜 이해되어 있다. 예를 들어, 모든 $x$에 대해 $|M(x)| \le 2\sqrt{x}$가 성립하는지조차 알려져 있지 않다.

핵적인 문제는 $M(x)$의 최대 차수($S_{M,\delta}(x)$)와 평균 차수($D_M(x)$)가 명시적 공식의 최대 항(이를 $Z(x)$로 표기) 및 항들의 합($W(x)$)과 유사하게 높은 정확도로 일치하는지 여부를 결정하는 것이다. 이는 $\Delta(x)$에 대해 확립된 결과들과 유사한 맥락이다.

방법론
저자는 $\Delta(x)$에 사용되었던 방법론을 더 어려운 $M(x)$의 맥락으로 확장하여, 해석적 정수론 기법의 조합을 활용한다.

1. 무영역(Zero-Free Regions) 및 밀도 추정: 분석은 비자명 영점 $\varrho = \beta + i\gamma = 1 - \delta + i\gamma$의 분포에 의존한다. 본 논문은 임계 구역(critical strip) 내에서 $|1/\zeta(s)|$를 제한하기 위해 칼슨(Carlson)의 밀도 정리와 $\sigma=1$ 근처에서의 코로보프-비노그라도프(Korobov–Vinogradov) 추정치를 활용한다.
2. 경로 적분(Contour Integration): $M(x)$의 상한을 도출하기 위해, 저자는 헉슬리-후리-라마차드라(Huxley–Hooley–Ramachandra) 경로라고 알려진 특수 적분 경로를 사용한다. 이 경로는 임계 구역을 직사각형들로 나누고, 각 직사각형 내에서 가장 큰 실수부를 가진 영점을 통과하도록 각 직사각형의 우측 경계를 이동시켜 구성된다. 이를 통해 적분 경로를 따라 $1/\zeta(s)$의 증가를 정밀하게 제어할 수 있다.
3. 가중 적분 추정(Weighted Integral Estimates): 하한(lower bounds)을 구하기 위해, 저자는 선 $\sigma=1$ 근처의 영점 $\varrho_0$를 포함하는 특정 가중 함수를 도입하여 새로운 가중 적분 접근법을 제시한다. 이는 테스트 함수 $g(s)$를 구성하고 역 멜린 변환(inverse Mellin transform)을 사용하여 $|M(x)|$의 적분을 $\zeta(s)$의 성질과 연결하는 과정을 포함한다.
4. 극값 문제(Extremal Problems): 가중 평균의 하한을 비가중 평균(및 그에 따른 최댓값)의 하한으로 변환하기 위해, 저자는 주어진 가중 적분 제약 조건 하에서 함수 $F(x)$의 적분을 최소화하는 극값 문제를 해결함으로써, $|M(x)|$의 "최악의 경우" 분포가 구간의 상한 근처에 집중되어 있음을 입증한다.

주요 기여 및 결과

본 논문은 $M(x)$의 진동과 제타 영점의 분포 사이의 날카로운 연결 고리를 확립하며, 이는 이전에 $\Delta(x)$에 대해 얻어진 결과들을 반영한다.

• 정의:

  • $Z(x) = \max_{\varrho; \gamma>0} \frac{x^\beta}{\gamma}$ (명시적 공식의 최대 항).
  • $W(x) = \sum_{\varrho; |\gamma| \le x} \frac{x^\beta}{\gamma}$ (항들의 합).
  • $D_M(x) = \frac{1}{x} \int_0^x |M(u)| du$ (평균 차수).
  • $S_{M,\delta}(x) = \max_{x^{1-\delta} \le u \le x} |M(u)|$ (단구간에서의 최대 차수).
  • $\omega(x) = \log_x Z(x)$ 및 $\omega_{DM}(x) = \log_x D_M(x)$.

• 정리:

  • 정리 2.1: 임의의 고정된 $\delta > 0$에 대하여, $x \to \infty$일 때:
    $$\omega_W(x) \sim \omega_{DM}(x) \sim \omega_{S_{M,\delta}}(x) \sim \omega(x)$$
    이는 항들의 합, 평균 차수, 그리고 $M(x)$의 최대 차수의 로그 성장률이 "최악의" 영점($\eta \log x + \log \gamma$를 최소화하는 영점)에 의해 결정되는 성장률과 점근적으로 동등함을 나타낸다.
  • 정리 2.2: 임의의 고정된 $\delta > 0$에 대하여:
    $$\log W(x) \sim \log D_M(x) \sim \log S_{M,\delta}(x) \sim \log Z(x)$$
  • 따름정리 2.1–2.2: 이 결과들은 소수 정리의 오차항($\Delta(x)$)으로 확장을 가능케 하며, $|M(x)|$와 $|\Delta(x)|$의 평균 및 최대 차수가 점근적으로 동일하며, 둘 다 $Z(x)$라는 최대 항과 높은 정확도로 일치함을 보여준다.

• 경우 구분:

  • $\vartheta < 1$인 경우: 여기서 $\vartheta = \sup \beta$이며, 이 결과는 밀도 정리와 표준적인 경로 적분을 통해 비교적 직접적으로 도출된다.
  • $\vartheta = 1$인 경우: 이는 가장 결정적이고 어려운 경우이다(리만 가설이 거짓이거나 $\sigma=1$ 선에 임의로 가까운 영점이 존재하는 경우에 해당함). 저자는 이 경우에도 평균 차수의 하한이 성립함을 증명함으로써, 임계 사례에 대해 불충분했던 이전의 추정치들(예: 1982/83년 저자의 연구)의 한계를 극복한다.

의의
본 논문은 잉함(Ingham, 1932)과 투란(Turán, 1950)의 초기 연구를 "광범위하게 일반화하고 정교화"했다고 주장한다. 본 연구의 주요 의의는 모비우스 함수 부분합의 진동적 거동이 단순히 제타 영점에 의해 제한되는 것이 아니라, 매우 높은 정밀도로 제타 영점에 의해 점근적으로 결정됨을 입증했다는 데 있다.

구체적으로, 본 연구는 $|M(x)|$의 최대 차수와 평균 차수가 본질적으로 동일하며, 두 값 모두 명시적 공식의 가장 큰 항을 지배하는 동일한 함수 $\omega(x)$에 의해 지배됨을 확인한다. 이는 $\vartheta=1$인 경우의 오랜 난제를 해결하며, 리만 가설의 참/거짓 여부와 관계없이 "최악의" 영점(선 $\sigma=1$에 가장 가까운 영점)이 오차항의 크기를 결정한다는 것을 보여준다. 이 결과는 소수 정리와 모비우스 함수에 대한 오차항에 대한 이해를 통합하며, $\zeta(s)$의 해석적 성질과 $\mu(n)$의 산술적 성질 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.