Learning quantum symmetries

सममिति (Symmetry) भौतिक जगत की एक मौलिक भाषा है, एक ऐसा नियमकोश जो यह निर्धारित करता है कि प्रणालियाँ कैसे व्यवहार करती हैं और जब उन्हें स्थानांतरित, घुमाया या रूपांतरित किया जाता है, तो क्या अपरिवर्तित रहता है। क्वांटम भौतिकी के क्षेत्र में, जहाँ कण नाजुक, संभाव्य अवस्थाओं में मौजूद होते हैं, ये सममितियाँ केवल सौंदर्य संबंधी विशेषताएँ नहीं हैं; वे वे ही प्रतिबंध हैं जो वास्तविकता को परिभाषित करते हैं, जो ऊर्जा के संरक्षण से लेकर पदार्थ की स्थिरता तक सब कुछ नियंत्रित करते हैं। दशकों से, वैज्ञानिक शास्त्रीय वस्तुओं में इन छिपे हुए नियमों को उजागर करने के लिए शक्तिशाली गणितीय उपकरणों पर भरोसा करते आए हैं, जैसे कि संख्याओं के एक अनुक्रम में दोहराव वाले पैटर्न खोजना। हालाँकि, जब अध्ययन की जाने वाली वस्तु स्वयं एक क्वांटम अवस्था हो—जो एक निश्चित संख्या के बजाय संभावनाओं का एक बादल है—तो नियम बदल जाते हैं। क्वांटम अवस्थाएँ केवल एक वैश्विक चरण (global phase) तक परिभाषित होती हैं, जो एक सूक्ष्म गणितीय बदलाव है जो कण की भौतिक वास्तविकता को नहीं बदलता है, लेकिन उसकी अंतर्निहित सममितिों की खोज को जटिल बना देता है। अब तक, इन सममितिों को कुशलतापूर्वक सीखने की क्षमता सरल, सुव्यवस्थित समूहों और अपरिवर्तनीयता की सख्त परिभाषाओं तक सीमित थी, जिससे जटिल क्वांटम वस्तुओं का एक विशाल परिदृश्य अनछुआ रह गया था।

कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय और ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस क्षेत्र में कम्प्यूटेशनल रूप से संभव चीज़ों के मानचित्र का विस्तार करते हुए एक महत्वपूर्ण उपलब्धि हासिल की है। उन्होंने क्वांटम एल्गोरिदम का एक नया समूह विकसित किया है जो जटिल क्वांटम अवस्थाओं, उन्हें संचालित करने वाले ऑपरेटरों और यहाँ तक कि हैमिल्टोनियन (Hamiltonians) नामक ऊर्जा परिदृश्यों सहित क्वांटम वस्तुओं की एक बहुत व्यापक श्रेणी की सममितिओं को सीखने में सक्षम है। उनका कार्य उन पिछली सीमाओं से आगे बढ़ता है जो इन खोजों को सरल, क्रमविनिमेय (commutative) समूहों और सममिति की कठोर परिभाषाओं तक सीमित रखते थे। इसके बजाय, उन्होंने ऐसी विधियाँ बनाई हैं जो गैर-क्रमविनिमेय (non-commutative) समूहों के लिए काम करती हैं, जहाँ संचालन का क्रम मायने रखता है, और सममिति की एक अधिक भौतिक रूप से स्वाभाविक परिभाषा के लिए जो वैश्विक चरण को ध्यान में रखती है। इसका अर्थ यह है कि पहली बार, एक क्वांटम कंप्यूटर मिश्रित क्वांटम अवस्थाओं और प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन (projective representations) के छिपे हुए सममिति समूहों की कुशलतापूर्वक पहचान कर सकता है, जो क्वांटम सममितिओं का सबसे सामान्य बीजगणितीय विवरण हैं।

उनकी उपलब्धि का मूल 'स्टेट हिडन सबग्रुप प्रॉब्लम' (State Hidden Subgroup Problem) को हल करना है, जो एक क्वांटम कंप्यूटर से उस छिपी हुई उपसमिति (subgroup) को खोजने के लिए कहता है जो एक दी गई क्वांटम अवस्था को अपरिवर्तित छोड़ देती है। पिछले एल्गोरिदम केवल तभी इस कार्य को संभाल सकते थे जब सममिति का समूह अबेलियन (abelian) हो, जिसका अर्थ है कि संचालन को बिना परिणाम बदले किसी भी क्रम में किया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने इस बाधा को तोड़ दिया है और विशेष रूप से उन समूहों के लिए एक कुशल एल्गोरिदम विकसित किया है जो "पॉलीनोमियल नियर-हैमिल्टोनियन" (polynomially near-Hamiltonian) हैं। इन समूहों में, भले ही हर उपसमिति पूरी तरह से सामान्य (normal) न हो, लेकिन संरचना इतनी निकट होती है कि कुशल गणना संभव हो सके। उन्होंने 'वीक फूरियर सैंपलिंग' (weak Fourier sampling) नामक एक तकनीक को अनुकूलित करके इसे प्राप्त किया, जो एल्गोरिदम को छिपी हुई सममिति समूह के "नॉर्मल कोर" (normal core) को निकालने की अनुमति देता है। यह कोर सममिति समूह का सबसे बड़ा हिस्सा है जो अनुमानित रूप से व्यवहार करता है, और इसे खोजकर, एल्गोरिदम उच्च प्रायिकता के साथ पूर्ण सममिति संरचना को पुनर्गठित कर सकता है। यह प्रगति अकेले ज्ञात मामलों में सममिति खोजने की दक्षता में सुधार करती है और उन समूहों तक क्वांटम लर्निंग की पहुँच बढ़ाती है जिन्हें पहले बहुत जटिल माना जाता था।

शायद उनके कार्य का सबसे गहरा बदलाव "एनयोनिक" (anyonic) सममिति लर्निंग की शुरुआत है। मानक क्वांटम यांत्रिकी में, दो अवस्थाएँ जो केवल एक वैश्विक चरण कारक से भिन्न होती हैं, भौतिक रूप से अविभेद्य हैं; वे बिल्कुल एक ही वास्तविकता का प्रतिनिधित्व करती हैं। हालाँकि, पारंपरिक सममिति लर्निंग एल्गोरिदम के लिए यह आवश्यक था कि अवस्था सटीक रूप से अपरिवर्तित रहे, जो इस भौतिक बारीकी को अनदेखा करता था। शोधकर्ताओं ने एक नया ढांचा पेश किया है जहाँ एक अवस्था को तब सममित माना जाता है यदि वह इस वैश्विक चरण तक अपरिवर्तित रहती है। यह अंतर वास्तविक दुनिया के क्वांटम सिस्टम को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से वे जिनमें "स्टेबलाइजर ग्रुप्स" (stabilizer groups) शामिल हैं, जो ऑपरेटरों के ऐसे सेट हैं जो एक क्वांटम अवस्था को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। इस चरण लचीलेपन की अनुमति देकर, टीम ने एक ऐसा एल्गोरिदम विकसित किया है जो एनयोनिक सममिति को खोजने की समस्या को मानक सममिति खोजने की सरल समस्या में बदल देता है। उन्होंने अवस्था के स्वयं के साथ टेंसर उत्पाद (tensor product) के उपयोग में शामिल एक चतुर गणितीय युक्ति के माध्यम से यह हासिल किया, जो प्रभावी रूप से चरण अस्पष्टता को एक मानक सममिति समस्या में परिवर्तित कर देता है जिसे कंप्यूटर हल कर सकता है।

प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन (projective representations) के और भी जटिल मामले को संभालने के लिए, जहाँ सममिति संचालन में एक "ट्विस्ट" या एक अदिश गुणन (scalar multiplication) शामिल होता है जिसे हटाया नहीं जा सकता, शोधकर्ताओं ने त्रुटि-सुधार कोड (error-correcting codes) के साथ एक आश्चर्यजनक संबंध स्थापित किया। उन्होंने महसूस किया कि इन ट्विस्टेड रिप्रजेंटेशन को रैखिकीकृत (linearizing) करने की समस्या को सीधे लीनियर कोड्स (linear codes) के निर्माण पर मैप किया जा सकता है, जो डेटा ट्रांसमिशन में त्रुटियों का पता लगाने और उन्हें ठीक करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय ढांचे हैं। इस सममिति लर्निंग समस्या को कोडिंग थ्योरी की समस्या के रूप में मानकर, वे उन एल्गोरिदम को डिजाइन करने में सक्षम हुए जो प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन को "अनट्विस्ट" (untwist) कर सकते हैं, जिससे वे मानक लीनियर रिप्रजेंटेशन में बदल जाते हैं जिन्हें एक क्वांटम कंप्यूटर प्रोसेस कर सकता है। इस दृष्टिकोण ने मनमाने मिश्रित क्वांटम अवस्थाओं के स्टेबलाइजर ग्रुप्स को सीखने की समस्या को हल कर दिया, जो सामान्य मामलों के लिए अनसुलझा रहा था। उनकी विधि अत्यधिक कुशल है, जिसमें क्वांटम अवस्था की प्रतियों की संख्या सिस्टम के आकार के साथ लॉगरिदमिक रूप से स्केल करती है, जिससे यह व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए व्यवहार्य हो जाता है।

इनकी खोज का दायरा केवल क्वांटम अवस्थाओं तक ही सीमित नहीं है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया है कि अन्य क्वांटम वस्तुओं, जैसे कि यूनिटरी ऑपरेटर (जो यह बताते हैं कि क्वांटम अवस्थाएँ समय के साथ कैसे विकसित होती हैं) और हैमिल्टोनियन (जो किसी प्रणाली की ऊर्जा का वर्णन करते हैं) की सममिति को उन समस्याओं को स्टेट सममिति लर्निंग समस्या में बदलकर सीखा जा सकता है जिन्हें उन्होंने पहले ही हल कर लिया था। उदाहरण के लिए, हैमिल्टोनियन की सममिति खोजने के लिए, उन्होंने दिखाया कि एक व्यक्ति उस यूनिटरी ऑपरेटर की सममिति का विश्लेषण कर सकता है जो उसके समय विकास (time evolution) का वर्णन करता है। इसी तरह, उन्होंने अवस्थाओं के एक संग्रह या अवस्थाओं के एक उपस्थान (subspace) के लिए सममिति सीखने की समस्या को संबोधित किया, यह दिखाते हुए कि इन्हें भी मूल स्टेट लर्निंग समस्या में बदला जा सकता है। यह एकीकरण सुझाव देता है कि स्टेट सममिति लर्निंग एक मौलिक निर्माण खंड है, एक सार्वभौमिक प्रिमिटिव (universal primitive) जिसे विविध प्रकार के क्वांटम लर्निंग कार्यों पर लागू किया जा सकता है।

इस कार्य के निहितार्थ तत्काल और व्यावहारिक हैं। सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक मनमाने स्थानीय आयाम (local dimension) वाले मिश्रित अवस्थाओं के लिए स्टेबलाइजर ग्रुप्स का सीखना है। क्वांटम कंप्यूटिंग में, स्टेबलाइजर ग्रुप्स त्रुटि सुधार और क्वांटम अवस्थाओं के लक्षण वर्णन के लिए आवश्यक हैं। नया एल्गोरिदम किसी भी मिश्रित अवस्था के लिए, व्यक्तिगत क्वांटम कणों (qudits) के आयाम की परवाह किए बिना, इन समूहों को सीखने के लिए पहला स्पष्ट, प्रमाणित रूप से सही तरीका प्रदान करता है। यह पिछले तरीकों की तुलना में एक बड़ी प्रगति है, जो शुद्ध अवस्थाओं या विशिष्ट आयामों तक सीमित थे। शोधकर्ताओं ने अपने एल्गोरिदम के मापदंडों को अनुकूलित भी किया है, यह दिखाते हुए कि कैसे क्वांटम अवस्था की प्रतियों की संख्या और गणना की गति के बीच संतुलन बनाया जाए, जो निकट-अवधि के क्वांटм उपकरणों के लिए एक रोडमैप प्रदान करता है जिन्हें अवस्था की कई प्रतियों के बीच सुसंगतता (coherence) बनाए रखने में संघर्ष करना पड़ सकता है।

हालाँकि यह शोध पत्र इन शक्तिशाली नई क्षमताओं को स्थापित करता है, यह वर्तमान में क्या संभव है इसकी सीमाओं को भी स्पष्ट रूप से रेखांकित करता है। एल्गोरिदम परिमित समूहों (finite groups) और गैर-अभेलियन समूहों के विशिष्ट वर्गों के लिए कुशल हैं, लेकिन लेखक स्वीकार करते हैं कि सभी गैर-अभेलियन समूहों के लिए सामान्य मामला एक कठिन समस्या बनी हुई है, जो संभवतः सामान्य हिडन सबग्रुप प्रॉब्लम जितनी ही कठिन है। वे यह भी नोट करते हैं कि उनके वर्तमान परिणाम सटीक सममितिओं पर निर्भर हैं, जबकि वास्तविक दुनिया के क्वांटम सिस्टम शोर और खामियों के अधीन होते हैं। शोध पत्र स्पष्ट रूप से अनुमानित (approximate) सममितिओं को सीखने के प्रश्न को भविष्य के अनुसंधान के लिए एक खुले प्रश्न के रूप में छोड़ देता है, यह पहचानते हुए कि अनुमानित सममिति सेटों की गणितीय संरचना एक स्वच्छ उपसमिति (subgroup) नहीं बना सकती है। इसके अलावा, उन्होंने प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन के लिए गैर-अभेलियन समूहों के साथ अपने ढांचे को विस्तारित किया है, लेकिन प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन वाले गैर-अभेलियन समूहों के लिए इसका विस्तार करना एक चुनौती बना हुआ है, क्योंकि इन रिप्रजेंटेशन को रैखिकीकृत करने की मानक तकनीकें आसानी से सामान्यीकृत नहीं होती हैं।

अंत में, यह कार्य क्वांटम जगत को समझने और हेरफेर करने की हमारी क्षमता में एक महत्वपूर्ण कदम है। गैर-अभेलियन समूहों, एनयोनिक सममितिओं और प्रोजेक्टिव रिप्रजेंटेशन को शामिल करके सममिति लर्निंग के दायरे को विस्तृत करके, शोधकर्ताओं ने क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन के लिए एक अधिक पूर्ण टूलकिट प्रदान की है। उन्होंने दिखाया है कि सममिति के सिद्धांत, जो लंबे समय से भौतिकी का एक आधार स्तंभ रहे हैं, उन्हें उन तरीकों से कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोग किया जा सकता है जो पहले पहुंच से बाहर माने जाते थे। उन्होंने जो संबंध बनाया है—क्वांटम सममिति लर्निंग और कोडिंग थ्योरी के बीच—वह अनुसंधान के नए मार्ग खोलता है, यह सुझाव देते हुए कि डेटा को त्रुटियों से बचाने के लिए विकसित किए गए उपकरण प्रकृति की गहरी सममितिओं को अनलॉक करने की कुंजी भी हो सकते हैं। जैसे-जैसे क्वांटम कंप्यूटर अधिक शक्तिशाली होते जाएंगे, ये एल्गोरिदम जटिल क्वांटम सिस्टमों के लक्षण वर्णन, त्रुटि-सुधार कोडों के डिजाइन और क्वांटम क्षेत्र को नियंत्रित करने वाले मौलिक नियमों की खोज के लिए आवश्यक बन जाएंगे।