La symétrie est un langage fondamental du monde physique, un code de règles qui dicte la manière dont les systèmes se comportent et ce qui reste inchangé lorsqu'ils sont déplacés, pivotés ou transformés. Dans le domaine de la physique quantique, où les particules existent dans des états probabilistes fragiles, ces symétries ne sont pas seulement des caractéristiques esthétiques ; elles sont les contraintes mêmes qui définissent la réalité, régissant tout, de la conservation de l'énergie à la stabilité de la matière. Pendant des décennies, les scientifiques se sont appuyés sur de puissants outils mathématiques pour découvrir ces règles cachées dans des objets classiques, comme la recherche de motifs répétitifs dans une séquence de nombres. Cependant, lorsque l'objet d'étude est l'état quantique lui-même — un nuage de probabilité plutôt qu'un nombre fixe — les règles changent. Les états quantiques sont définis uniquement à un facteur de phase globale près, un subtil décalage mathématique qui n'altère pas la réalité physique de la particule mais complique la recherche de ses symétries sous-jacentes. Jusqu'à présent, la capacité d'apprendre efficacement ces symétries était limitée à des groupes simples et bien ordonnés ainsi qu'à des définitions strictes d'invariance, laissant un vaste paysage d'objets quantiques complexes inexploré.

Une équipe de chercheurs de l'Université de Cambridge et de l'Université d'Oxford a désormais considérablement élargi la carte de ce qui est informatiquement possible dans ce domaine. Ils ont développé une nouvelle suite d'algorithmes quantiques capables d'apprendre les symétries d'une gamme beaucoup plus large d'objets quantiques, incluant des états quantiques complexes, les opérateurs qui les manipulent, et même les paysages énergétiques appelés Hamiltoniens. Leur travail dépasse les limitations précédentes qui restreignaient ces découvertes à des groupes commutatifs simples et à des définctions rigides de la symétrie. Au lieu de cela, ils ont créé des méthodes qui fonctionnent pour des groupes non commutatifs, où l'ordre des opérations importe, et pour une définition de la symétrie plus naturellement physique qui tient compte de la phase globale. Cela signifie que, pour la première fois, un ordinateur quantique peut identifier efficacement les groupes de symétrie cachés des états quantiques mixtes et des représentations projectives, qui sont les descriptions algébriques les plus générales des symétries quantiques.

Le cœur de leur accomplissement réside dans la résolution d'un problème connu sous le nom de Problème du Sous-groupe Caché de l'État (State Hidden Subgroup Problem), qui demande à un ordinateur quantique de trouver le sous-groupe caché de symétries qui laisse un état quantique donné inchangé. Les algorithmes précédents ne pouvaient traiter cette tâche que lorsque le groupe de symétries était abélien, c'est-à-dire que les opérations pouvaient être effectuées dans n'importe quel ordre sans changer le résultat. Les chercheurs ont brisé cette barrière en développant un algorithme efficace pour une large classe de groupes non abéliens, spécifiquement ceux qui sont « polynomialement proches d'un groupe de Hamilton ». Dans ces groupes, bien que chaque sous-groupe ne soit pas parfaitement normal, la structure est suffisamment proche pour permettre un calcul efficace. Ils y sont parvenus en adaptant une technique appelée échantillonnage de Fourier faible, qui permet à l'algorithme d'extraire le « noyau normal » du groupe de symétrie caché. Ce noyau est la plus grande partie du groupe de symétrie qui se comporte de manière prévisible, et en le trouvant, l'algorithme peut reconstruire la structure de symétrie complète avec une haute probabilité. Cette avancée seule améliore l'efficacité de la recherche de symétries dans de nombreux cas connus et étend la portée de l'apprentissage quantique à des groupes qui étaient auparavant considérés comme trop complexes.

Peut-être le changement le plus profond de leur travail est l'introduction de l'apprentissage de la symétrie « anyonique ». Dans la mécanique quantique standard, deux états qui diffèrent seulement par un facteur de phase globale sont physiquement indiscernables ; ils représentent exactement la même réalité. Cependant, les algorithmes traditionnels d'apprentissage de la symétrie exigeaient que l'état soit invariant exactement, ignorant cette nuance physique. Les chercheurs ont introduit un nouveau cadre où un état est considéré comme symétrique s'il reste inchangé à un facteur de phase globale près. Cette distinction est cruciale pour comprendre les systèmes quantiques du monde réel, particulièrement ceux impliquant des « groupes de stabilisateurs », qui sont des ensembles d'opérateurs laissant un état quantique invariant. En permettant cette flexibilité de phase, l'équipe a développé un algorithme qui réduit le problème de la recherche de symétries anyoniques au problème plus simple de la recherche de symétries standards. Ils y sont parvenus en utilisant un tour mathématique ingénieux impliquant le produit tensoriel de l'état avec lui-même, convertissant efficacement l'ambiguïté de phase en un problème de symétrie standard que l'ordinateur peut résoudre.

Pour s'attaquer au cas encore plus complexe des représentations projectives, où les opérations de symétrie incluent un « twist » ou une multiplication scalaire qui ne peut être supprimée, les chercheurs ont établi une connexion surprenante avec les codes correcteurs d'erreurs. Ils ont réalisé que le problème de la linéarisation de ces représentations « tordues » pouvait être directement mappé sur la construction de codes linéaires, des structures mathématiques utilisées pour détecter et corriger les erreurs dans la transmission de données. En traitant le problème de l'apprentissage de la symétrie comme un problème de théorie des codes, ils ont pu concevoir des algorithmes utilisant des codes spécifiques pour « détordre » les représentations projectives, les transformant en représentations linéaires standards que l'ordinateur quantique peut traiter. Cette approche leur a permis de résoudre le problème de l'apprentissage des groupes de stabilisateurs d'arbitraires états quantiques mixtes, une tâche qui était restée non résolue pour les cas généraux. Leur méthode est hautement efficace, nécessitant un nombre de copies de l'état quantique qui croît de manière logarithmique avec la taille du système, ce qui la rend réalisable pour des applications pratiques.

Le champ d'application de leur découverte s'étend au-delà des simples états quantiques. Les chercheurs ont démontré que les symétries d'autres objets quantiques, tels que les opérateurs unitaires (qui décrivent comment les états quantiques évoluent dans le temps) et les Hamiltoniens (qui décrivent l'énergie d'un système), peuvent être apprises en réduisant ces problèmes au problème d'apprentissage de la symétrie d'état qu'ils ont déjà résolu. Par exemple, pour trouver les symétries d'un Hamiltonien, ils ont montré que l'on peut analyser les symétries de l'opérateur unitaire qui décrit son évolution temporelle. De même, ils ont abordé le problème de l'apprentissage des symétries pour une collection d'états ou un sous-espace d'états, montant que ceux-ci peuvent également être réduits au problème central de l'apprentissage d'état. Cette unification suggère que l'apprentissage de la symétrie d'état est un bloc de construction fondamental, un primitif universel qui peut être appliqué à une grande variété de tâches d'apprentissage quantique.

Les implications de ce travail sont immédiates et pratiques. L'une des applications les plus significatives est l'apprentissage des groupes de stabilisateurs pour les états mixtes de dimension locale arbitraire. En informatique quantique, les groupes de stabilisateurs sont essentiels pour la correction d'erreurs et la caractérisation des états quantiques. Le nouvel algorithme fournit la première méthode explicite et prouvable pour apprendre ces groupes pour n'importe quel état mixte, indépendamment de la dimension des particules quantiques individuelles (qudits). Il s'agit d'une amélioration substantielle par rapport aux méthodes précédentes, qui étaient limitées aux états purs ou à des dimensions spécifiques. Les chercheurs ont également optimisé les paramètres de leurs algorithmes, montrant comment équilibrer le nombre de copies de l'état quantique nécessaires par rapport à la vitesse de calcul, fournissant ainsi une feuille de route pour les dispositifs quantiques à court terme qui pourraient avoir des difficultés à maintenir la cohérence sur de nombreuses copies d'un état.

Bien que cet article établisse ces nouvelles capacités puissantes, il délimite également clairement les frontières de ce qui est actuellement possible. Les algorithmes sont efficaces pour les groupes finis et certaines classes de groupes non abéliens, mais les auteurs reconnaissent que le cas général pour tous les groupes non abéliens reste un problème difficile, probablement aussi ardu que le Problème du Sous-Groupe Caché général. Ils notent également que leurs résultats actuels reposent sur des symétries exactes, alors que les systèmes quantiques du monde réel sont sujets au bruit et aux imperfections. L'article laisse explicitement la question de l'apprentissage des symétries approximatives comme un problème ouvert pour de futures recherches, reconnaissant que la structure mathématique des ensembles de symétrie approximative peut ne pas former un sous-groupe net. De plus, bien qu'ils aient étendu le cadre aux représentations projectives pour les groupes abéliens, l'extension aux groupes non abéliens possédant des représentations projectives reste un défi, car les techniques standards de linéarisation de ces représentations ne se généralisent pas facilement.

En fin de compte, ce travail représente une étape significative vers une meilleure compréhension et manipulation du monde quantique. En élargissant le champ de l'apprentissage de la symétrie pour inclure les groupes non abéliens, les symétries anyoniques et les représentations projectives, les chercheurs ont fourni une boîte à outils plus complète pour la conception d'algorithmes quantiques. Ils ont montré que les principes de la symétrie, longtemps pierre angulaire de la physique, peuvent être exploités de manière computationnelle de façons auparavant jugées hors de portée. La connexion qu'ils ont forgée entre l'apprentissage de la symétrie quantique et la théorie des codes ouvre de nouvelles voies de recherche, suggérant que les outils développés pour protéger les données contre les erreurs pourraient aussi être la clé pour déverrouiller les symétries les plus profondes de la nature. À mesure que les ordinateurs quantiques gagneront en puissance, ces algorithmes deviendront probablement essentiels pour caractériser les systèmes quantiques complexes, concevoir des codes correcteurs d'erreurs et explorer les lois fondamentales qui régissent le domaine quantique.