Symmetrie is een fundamentele taal van de fysieke wereld, een regelboek dat dicteert hoe systemen zich gedragen en wat onveranderd blijft wanneer ze worden verschoven, geroteerd of getransformeerd. In het domein van de kwantumfysica, waar deeltjes bestaan in fragiele, probabilistische toestanden, zijn deze symmetrieën niet slechts esthetische kenmerken; het zijn de eigenlijke beperkingen die de realiteit definiëren, die alles beheersen van de behoud van energie tot de stabiliteit van materie. Decennialang hebben wetenschappers vertrouwd op krachtige wiskundige hulpmiddelen om deze verborgen regels in klassieke objecten te ontdekken, zoals het vinden van de herhalende patronen in een reeks getallen. Echter, wanneer het object van studie zelf een kwantumtoestand is—een wolk van waarschijnlijkheid in plaats van een vast getal—veranderen de regels. Kwantumtoestanden worden alleen gedefinieerd tot een globale fase, een subtiele wiskundige verschuiving die de fysieke realiteit van het deeltje niet verandert maar de zoektocht naar de onderliggende symmetrieën compliceert. Tot nu toe was de mogelijkheid om deze symmetrieën efficiënt te leren beperkt tot eenvoudige, goed gedefinieerde groepen en strikte definities van invariantie, waardoor een uitgestrekt landschap van complexe kwantumobjecten onverkend bleef.

Een team van onderzoekers van de Universiteit van Cambridge en de Universiteit van Oxford heeft nu de kaart van wat computationeel mogelijk is in dit veld aanzienlijk uitgebreid. Zij hebben een nieuwe suite van kwantumalgoritmen ontwikkeld die in staat zijn om de symmetrieën van een veel breder scala aan kwantumobjecten te leren, inclusclusief complexe kwantumtoestanden, de operatoren die hen manipuleren, en zelfs de energielandschappen die bekend staan als Hamiltoniaanse. Hun werk gaat voorbij aan de eerdere beperkingen die deze ontdekkingen beperkten tot eenvoudige, commutatieve groepen en rigide definities van symmetrie. In plaats daarvan hebben zij methoden gecreëerd die werken voor niet-commutatieve groepen, waarbij de volgorde van operaties ertoe doet, en voor een meer fysiek natuurlijke definitie van symmetrie die rekening houdt met de globale fase. Dit betekent dat een kwantumcomputer voor het eerst efficiënt de verborgen symmetriegroepen van gemengde kwantumtoestanden en projectieve representaties kan identificeren, wat de meest algemene algebraïsche beschrijvingen van kwantumsymmetrieën zijn.

De kern van hun prestatie ligt in het oplossen van een probleem dat bekend staat als het State Hidden Subgroup Problem, dat een kwantumcomputer vraagt om de verborgen subgroep van symmetrieën te vinden die een gegeven kwantumtoestand onveranderd laat. Eerdere algoritmen konden deze taak alleen aan wanneer de groep van symmetrieën abels was, wat betekent dat de operaties in elke volgorde uitgevoerd konden worden zonder het resultaat te veranderen. De onderzoekers hebben deze barrière doorbroken door een efficiënt algoritme te ontwikkelen voor een brede klasse van niet-abelse groepen, specifiek die welke "polynomiaal nabij-Hamiltoniaans" zijn. In deze groepen is, hoewel niet elke subgroep perfect normaal is, de structuur dichtbij genoeg om efficiënte berekeningen toe te staan. Zij bereikten dit door een techniek genaamd zwakke Fourier-sampling aan te passen, die het algoritme in staat stelt de "normale kern" van de verborgen symmetriegroep te extraheren. Deze kern is het grootste deel van de symmetriegroep dat voorspelbaar gedraagt, en door deze te vinden, kan het algoritme de volledige symmetriestructuur met een hoge waarschijnlijkheid reconstrueren. Deze vooruitgang alleen al verbetert de efficiëntie van het vinden van symmetrieën in veel bekende gevallen en breidt het bereik van kwantumleren uit naar groepen die voorheen als te complex werden beschouwd.

Misschien wel de meest diepgaande verschuiving in hun werk is de introductie van "anyonische" symmetrieleerprocessen. In de standaard kwantummechanica zijn twee toestanden die alleen verschillen door een globale fasefactor fysiek ononderscheidbaar; zij vertegenwoordigen exact dezelfde realiteit. Echter, traditionele symmetrieleeralgoritmen vereisten dat de toestand exact invariant was, waarbij de fysieke nuance werd genegeerd. De onderzoekers introduceerden een nieuw kader waarbij een toestand als symmetrisch wordt beschouwd als deze onveranderd blijft tot en met deze globale fase. Dit onderscheid is cruciaal voor het begrijpen van real-world kwantumsystemen, met name die die betrokken zijn bij "stabilisatorgroepen", oftewel verzamelingen operatoren die een kwantumtoestand invariant laten. Door voor deze faseflexibiliteit te kiezen, ontwikkelde het team een algoritme dat het probleem van het vinden van anyonische symmetrieën reduceert tot het eenvoudigere probleem van het vinden van standaard symmetrieën. Zij bereikten dit door een slimme wiskundige truc te gebruiken waarbij de tensorproduct van de toestand met zichzelf wordt genomen, waardoor de fase-ambiguïteit effectief wordt omgezet in een standaard symmetrieprobleem dat de computer kan oplossen.

Om het nog complexere geval van projectieve representaties aan te pakken, waarbij de symmetrieoperaties een "twist" of een scalaire vermenigvuldiging bevatten die niet verwijderd kan worden, maakten de onderzoekers een verrassende connectie met foutcorrigerende codes. Zij realiseerden zich dat het probleem van het lineariseren van deze getordeerde representaties direct kon worden in kaart gebracht op de constructie van lineaire codes, dat zijn wiskundige structuren die worden gebruikt om fouten in datatransmissie te detecten en te corrigeren. Door het probleem van symmetrieleerproces te behandelen als een coderingsprobleem, waren zij in staat om algoritmen te ontwerpen die specifieke codes gebruiken om de projectieve representaties te "ontwinden", waardoor ze veranderen in standaard lineaire representaties die een kwantumcomputer kan verwerken. Deze aanpak stelde hen in staat om het probleem van het leren van de stabilisatorgroepen van willekeurige gemengde kwantumtoestanden op te lossen, een taak die voor algemene gevallen onopgelost was gebleven. Hun methode is zeer efficiënt en vereist een aantal kopieën van de kwantumtoestand dat logaritmisch schaalt met de grootte van het systeem, wat het haalbaar maakt voor praktische toepassingen.

De reikwijdte van hun ontdekking strekt zich uit voorbij enkel kwantumtoestanden. De onderzoekers hebben gedemonstreerd dat de symmetrieën van andere kwantumobjecten, zoals unitaire operatoren (die beschrijven hoe kwantumtoestanden in de loop van de tijd evolueren) en Hamiltoniaanse (die de energie van een systeem beschrijven), geleerd kunnen worden door deze problemen te reduceren tot het kwantumtoestand-symmetrieleerprobleem dat zij reeds hadden opgelost. Om bijvoorbeeld de symmetrieën van een Hamiltonian te vinden, toonden zij aan dat men de symmetrieën van de unitaire operator die de tijdsevolutie ervan beschrijft, kan analyseren. Op dezelfde wijze adresseerden zij het probleem van het leren van symmetrieën voor een collectie toestanden of een subruimte van toestanden, waarbij zij aantoonden dat ook deze gereduceerd kunnen worden tot de kern van het toestand-leerprobleem. Deze unificatie suggereert dat toestand-symmetrieleer een fundamentele bouwsteen is, een universeel primitief dat kan worden toegepast op een breed scala aan kwantumleer-taken.

De implicaties van dit werk zijn onmiddellijk en praktisch. Een van de meest significante toepassingen is het leren van stabilisatorgroepen voor gemengde toestanden van willekeurige lokale dimensie. In kwantumcomputing zijn stabilisatorgroepen essentieel voor foutcorrectie en de karakterisering van kwantumtoestanden. Het nieuwe algoritme biedt de eerste expliciete, bewezen correcte methode voor het leren van deze groepen voor elke gemengde toestand, ongeacht de dimensie van de individuele kwantumdeeltjes (qudits). Dit is een substantiële verbetering ten opzichte van eerdere methoden, die beperkt waren tot zuivere toestanden of specifieke dimensies. De onderzoekers hebben ook de parameters van hun algoritmen geoptimaliseerd, waarbij zij lieten zien hoe men het aantal benodigde kopieën van de kwantumtoestand kan afwegen tegen de snelheid van de berekening, wat een routekaart biedt voor nabije kwantumapparaten die moeite kunnen hebben om coherentie te behouden over vele kopieën van een toestand.

Hoewel dit artikel deze krachtige nieuwe mogelijkheden vaststelt, bakent het ook de grenzen af van wat momenteel mogelijk is. De algoritmen zijn efficiënt voor eindige groepen en specifieke klassen van niet-abelse groepen, maar de auteurs erkennen dat het algemene geval voor alle niet-abelse groepen een moeilijk probleem blijft, waarschijnlijk even moeilijk als het algemene Hidden Subgroup Problem. Zij merken ook op dat hun huidige resultaten steunen op exacte symmetrieën, terwijl real-world kwantumsystemen onderhevig zijn aan ruis en imperfecties. Het artikel laat expliciet de vraag van het leren van benaderde symmetrieën open als een onderwerp voor toekomstig onderzoek, in het besef dat de wiskundige structuur van benaderde symmetrieets niet noodzakelijkerwijs een zuivere subgroep vormt. Bovendien hebben zij het kader uitgebreid naar projectieve representaties voor abelse groepen, terwijl de uitbreiding naar niet-abelse groepen met projectieve representaties een uitdaging blijft, aangezien de standaardtechnieken voor het lineariseren van deze representaties niet gemakkelijk generaliseren.

Uiteindelijk vormt dit werk een belangrijke stap voorwaarts in ons vermogen om de kwantumwereld te begrijpen en te manipuleren. Door de reikwijdte van symmetrieleer te verbreden naar niet-abelse groepen, anyonische symmetrieën en projectieve representaties, hebben de onderzoekers een completere gereedschapskist voor kwantumalgoritme-ontwerp geleverd. Zij hebben aangetoond dat de principes van symmetrie, lang een hoeksteen van de fysica, computationeel kunnen worden ingezet op manieren die voorheen als onbereikbaar werden beschouwd. De connectie die zij hebben gelegd tussen kwantum-symmetrieleer en coderingsleer opent nieuwe wegen voor onderzoek, en suggereert dat de instrumenten ontwikkeld om data te beschermen tegen fouten, ook de sleutel kunnen zijn tot het ontsluiten van de diepste symmetrieën van de natuur. Naarmate kwantumcomputers krachtiger worden, zullen deze algoritmen essentieel worden voor het karakteriseren van complexe kwantumsystemen, het ontwerpen van foutcorrigerende codes en het verkennen van de fundamentele wetten die het kwantumdomein beheersen.