La simmetria è un linguaggio fondamentale del mondo fisico, un insieme di regole che detta come i sistemi si comportano e cosa rimane invariato quando vengono traslati, ruotati o trasformati. Nel regno della fisica quantistica, dove le particelle esistono in stati fragili e probabilistici, queste simmetrie non sono solo caratteristiche estetiche; sono i vincoli stessi che definiscono la realtà, governando tutto, dalla conservazione dell'energia alla stabilità della materia. Per decenni, gli scienziati si sono affidati a potenti strumenti matematici per scoprire queste regole nascoste in oggetti classici, come trovare i pattern ripetitivi in una sequenza di numeri. Tuttavia, quando l'oggetto di studio è lo stato quantistico stesso — una nuvola di probabilità piuttosto che un numero fisso — le regole cambiano. Gli stati quantistici sono definiti solo a meno di una fase globale, uno spostamento matematico sottile che non altera la realtà fisica della particella ma complica la ricerca della sua simmetria sottostante. Finora, la capacità di apprendere efficientemente queste simmetrie era limitata a gruppi semplici e ben strutturati e a definizioni rigide di invarianza, lasciando inesplorato un vasto panorama di complessi oggetti quantistici.

Un team di ricercatori dell'Università di Cambridge e dell'Università di Oxford ha ora ampliato significativamente la mappa di ciò che è computazionalmente possibile in questo campo. Hanno sviluppato una nuova suite di algoritmi quantistici capaci di apprendere le simmetrie di una gamma molto più ampia di oggetti quantistici, inclusi stati quantistici complessi, gli operatori che li manipolano e persino i paesaggi energetici noti come Hamiltoniane. Il loro lavoro va oltre le precedenti limitazioni che restringevano queste scoperte a gruppi commutativi semplici e definizioni rigide di simmetria. Invece, hanno creato metodi che funzionano per gruppi non commutativi, dove l'ordine delle operazioni conta, e per una definizione di simmetria più naturalmente fisica che tiene conto della fase globale. Ciò significa che, per la prima volta, un computer quantistico può identificare efficientemente i gruppi di simmetria nascosti degli stati quantistici misti e delle rappresentazioni proiettive, che sono le descrizioni algebriche più generali delle simmetrie quantistiche.

Il cuore del loro traguardo risiede nella risoluzione di un problema noto come Problema del Sottogruppo Nascosto dello Stato (State Hidden Subgroup Problem), che chiede a un computer quantistico di trovare il sottogruppo nascosto di simmetrie che lascia invariato un dato stato quantistico. Gli algoritmi precedenti potevano gestire questo compito solo quando il gruppo di simmetrie era abeliano, ovvero quando le operazioni potevano essere eseguite in qualsiasi ordine senza cambiare il risultato. I ricercatori hanno infranto questa barriera sviluppando un algoritmo efficiente per una vasta classe di gruppi non abeliani, specificamente quelli che sono "polinomialmente quasi-Hamiltoniani". In questi gruppi, sebbene non tutti i sottogruttengono siano perfettamente normali, la struttura è abbastanza vicina da permettere un calcolo efficiente. Hanno ottenuto questo adattando una tecnica chiamata campionamento di Fourier debole (weak Fourier sampling), che permette all'algoritmo di estrarre il "nucleo normale" del gruppo di simmetria nascosto. Questo nucleo è la parte più grande del gruppo di simmetria che si comporta in modo prevedibile e, trovandolo, l'algoritmo può ricostruire l'intera struttura di simmetria con alta probabilità. Questo avanzamento da solo migliora l'efficienza della ricerca delle simmetrie in molti casi noti ed estende la portata dell'apprendimento quantistico a gruppi che erano precedentemente considerati troppo complessi.

Forse il cambiamento più profondo nel loro lavoro è l'introduzione dell'apprendimento della simmetria "anionica". Nella meccanica quantistica standard, due stati che differiscono solo per un fattore di fase globale sono fisicamente indistinguibili; rappresentano esattamente la stessa realtà. Tuttavia, i tradizionali algoritmi di apprendimento della simmetria richiedevano che lo stato fosse invariante esattamente, ignorando questa sfumatura fisica. I ricercatori hanno introdotto un nuovo framework in cui uno stato è considerato simmetrico se rimane invariato a meno di questa fase globale. Questa distinzione è cruciale per comprendere i sistemi quantistici del mondo reale, in particolare quelli che coinvolgono "gruppi stabilizzatori", ovvero insiemi di operatori che lasciano invariato uno stato quantistico. Consentendo questa flessibilità di fase, il team ha sviluppato un algoritmo che riduce il problema di apprendere le simmetrie anioniche al problema più semplice di apprendere le simmetrie standard. Ci sono riusciti utilizzando un astuto trucco matematico che prevede il prodotto tensore dello stato con se stesso, convertendo efficacemente l'ambiguità della fase in un problema di simmetria standard che il computer può risolvere.

Per affrontare il caso ancora più complesso delle rappresentazioni proiettive, dove le operazioni di simmetria includono una "torsione" o una moltiplicazione scalare che non può essere rimossa, i ricercatori hanno stabilito una sorprendente connessione con i codici di correzione degli errori. Hanno realizzato che il problema di linearizzare queste rappresentazioni "attorcigliate" poteva essere mappato direttamente sulla costruzione di codici lineari, strutture matematiche utilizzate per rilevare e correggere gli errori nella trasmissione dei dati. Trattando il problema dell'apprendimento della simmetria come un problema di teoria dei codici, sono stati in grado di progettare algoritmi che utilizzano codici specifici per "distorcere" (untwist) le rappresentazioni proiettive, trasformandole in rappresentazioni lineari standard che un computer quantistico può elaborare. Questo approccio ha permesso loro di risolvere il problema dell'apprendimento dei gruppi stabilizzatori di arbitrari stati quantistici misti, un compito che era rimasto insoluto per i casi generali. Il loro metodo è altamente efficiente, richiedendo un numero di copie dello stato quantistico che scala logaritmicamente con la dimensione del sistema, rendendolo fattibile per applicazioni pratiche.

L'ambito della loro scoperta si estende oltre gli stati quantistici. I ricercatori hanno dimostrato che le simmetrie di altri oggetti quantistici, come gli operatori unitari (che descrivono come gli stati quantistici evolvono nel tempo) e le Hamiltoniane (che descrivono l'energia di un sistema), possono essere apprese riducendo questi problemi al problema dell'apprendimento della simmetria dello stato che avevano già risolto. Ad esempio, per trovare le simmetrie di una Hamiltoniana, hanno mostrato che è possibile analizzare le simmetrie dell'operatore unitario che descrive la sua evoluzione temporale. Allo stesso modo, hanno affrontato il problema di apprendere le simmetrie per una collezione di stati o un sottospazio di stati, mostrando che anche questi possono essere ridotti al nucleo centrale del problema dell'apprendimento dello stato. Questa unificazione suggerisce che l'apprendimento della simmetria dello stato sia un blocco fondamentale, un primitivo universale che può essere applicato a una vasta gamma di compiti di apprendimento quantistico.

Le implicazioni di questo lavoro sono immediate e pratiche. Una delle applicazioni più significative è l'apprendimento dei gruppi stabilizzatori per stati misti di arbitraria dimensione locale. Nel calcolo quantistico, i gruppi stabilizzatori sono essenziali per la correzione degli errori e la caratterizzazione degli stati quantistici. Il nuovo algoritmo fornisce il primo metodo esplicito e provabilmente corretto per apprendere questi gruppi per qualsiasi stato misto, indipendentemente dalla dimensione dei singoli particelle quantistiche (qudit). Questo rappresenta un miglioramento sostanziale rispetto ai metodi precedenti, che erano limitati agli stati puri o a dimensioni specifiche. I ricercatori hanno anche ottimizzato i parametri dei loro algoritmi, mostrando come bilanciare il numero di copie dello stato quantistico necessario rispetto alla velocità del calcolo, fornendo una tabella di marcia per i dispositivi quantistici a breve termine che potrebbero avere difficoltà a mantenere la coerenza su molte copie di uno stato.

Sebbene l'articolo stabilisca queste potenti nuove capacità, delinea anche chiaramente i confini di ciò che è attualmente possibile. Gli algoritmi sono efficienti per gruppi finiti e classi specifiche di gruppi non abeliani, ma gli autori riconoscono che il caso generale per tutti i gruppi non abeliani rimane un problema difficile, probabilmente altrettanto complesso del Problema del Sottogruppo Nascosto generale. Notano inoltre che i loro risultati attuali si basano su simmetrie esatte, mentre i sistemi quantistici del mondo reale sono soggetti a rumore e imperfezioni. L'articolo lascia esplicitamente aperta la questione dell'apprendimento delle simmetrie approssimate come un problema di ricerca futura, riconoscendo che la struttura matematica degli insiemi di simmetria approssimata potrebbe non formare un sottogruppo pulito. Inoltre, sebbene abbiano esteso il framework alle rappresentazioni proiettive per gruppi abeliani, l'estensione ai gruppi non abeliani con rappresentazioni proiettive rimane una sfida, poiché le tecniche standard per linearizzare queste rappresentazioni non si generalizzano facilmente.

In definitiva, questo lavoro rappresenta un passo avanti significativo nella nostra capacità di comprendere e manipolare il mondo quantistico. Ampliando l'ambito dell'apprendimento della simmetria per includere gruppi non abeliani, simmetrie anioniche e rappresentazioni proiettive, i ricercatori hanno fornito una cassetta degli attrezzi più completa per la progettazione di algoritmi quantistici. Hanno dimostrato che i principi della simmetria, da tempo pietra angolare della fisica, possono essere sfruttati computazionalmente in modi che prima erano considerati irraggiungibili. Il legame che hanno creato tra l'apprendimento della simmetria quantistica e la teoria dei codici apre nuove strade alla ricerca, suggerendo che gli strumenti sviluppati per proteggere i dati dagli errori potrebbero anche essere la chiave per sbloccare le simmetrie più profonde della natura. Mentre i computer quantistici continuano a crescere in potenza, questi algoritmi diventeranno probabilmente essenziali per caratterizzare sistemi quantistici complessi, progettare codici di correzione degli errori ed esplorare le leggi fondamentali che governano il regno quantistico.