Auxiliary-Enhanced Survey Calibration: A Novel Framework for Reject Inference under Sample Selection Bias

तकनीकी सारांश: रिजेक्ट इंफरेंस के लिए सहायक-संवर्धित सर्वेक्षण अंशांकन (Auxiliary-Enhanced Survey Calibration)

समस्या विवरण
क्रेडिट स्कोरिंग मॉडल आमतौर पर स्वीकृत आवेदकों पर प्रशिक्षित होते हैं, जिससे एक 'सैंपल सिलेक्शन बायस' (नमूना चयन पूर्वाग्रह) उत्पन्न होता है जहाँ प्रशिक्षण वितरण $P(Y|X, Z=1)$ लक्ष्य जनसंख्या वितरण $P(Y|X)$ से भिन्न होता है। यह घटना, जिसे रिजेक्ट इंफरेंस (Reject Inference) समस्या कहा जाता है, तब उत्पन्न होती है जब ऋणदाता व्यवस्थित रूप से उन आवेदकों को अस्वीकार कर देते हैं जिन्हें वे उच्च जोखिम वाला मानते हैं, जिससे प्रशिक्षण सेट "अच्छे भुगतान करने वालों" से समृद्ध हो जाता है। फलस्वरूप, केवल स्वीकृत डेटा पर प्रशिक्षित मॉडल संपूर्ण आवेदक पूल में डिफॉल्ट दरों को कम करके आंकते हैं। मौजूदा रिजेक्ट इंफरेंस विधियाँ आम तौर पर दो श्रेणियों में आती हैं: वे जो अस्वीकृत आवेदकों के लिए परिणामों का इम्प्यूटेशन (Imputation - मान प्रतिस्थापन) करती हैं (जैसे ऑग्मेंटेशन, रीक्लासिफिकेशन, जेनेरेटिव मॉडल) और वे जो स्वीकृत नमूने को रीवेट (Reweight - पुन: भारित) करती हैं (जैसे इनवर्स प्रोपेंसिटी स्कोर वेटिंग)। लेखक तर्क देते हैं कि इम्प्यूटेशन-आधारित विधियाँ मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण हैं क्योंकि वे एक ऐसे मॉडल का उपयोग करके लेबल बनाती हैं जो पहले से ही चयन पूर्वाग्रह से दूषित है, जिससे विरूपण (distortion) बढ़ जाता है। इसके विपरीत, मानक रीवेटिंग विधियाँ अक्सर अत्यधिक भार (extreme weights) के कारण अस्थिरता से ग्रस्त होती हैं जब 'पॉजिटिविटी धारणा' का उल्लंघन होता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र सर्वेक्षण अंशांकन सिद्धांत (Survey Calibration Theory) (डेविले और सरंडल, 1993) पर आधारित एक नया ढांचा प्रस्तावित करता है जो पूर्णतः आउटकम इम्प्यूटेशन से बचता है। मुख्य तंत्र स्वीकृत आवेदकों के लिए अवलोकन-स्तरीय भार (observation-level weights) की गणना करना है ताकि स्वीकृत नमूने का कोवेरिएट वितरण ज्ञात जनसंख्या के सहायक चरों (auxiliary variables) के कुल योग से मेल खा सके।

1. ढांचा सेटअप (Framework Setup):

   • माना कि $U$ आवेदकों की पूरी जनसंख्या है, $A$ स्वीकृत समूह है, और $R$ अस्वीकृत समूह है।
   • विशेषताओं को साझा चरों (Common Variables) $X^{(c)}$ (सभी आवेदकों के लिए देखे गए, वेटिंग के लिए उपयोग किए जाते हैं) और असाधारण/अंडरराइटिंग चरों (Uncommon/Underwriting Variables) $X^{(u)}$ (केवल स्वीकृत आवेदकों के लिए देखे गए, अंतिम आउटकम मॉडल के लिए उपयोग किए जाते हैं) में विभाजित किया गया है।
   • लक्ष्य एक भारित लॉग-लाइक्लीहुड (weighted log-likelihood) को अधिकतम करके जनसंख्या पैरामीटर $\theta^*$ का अनुमान लगाना है।

2. कैलिब्रेशन वेट्स (Calibration Weights):

   • भार $w_i$ एक बाधा अनुकूलन समस्या (constrained optimization problem) को हल करके प्राप्त किए जाते हैं जो एक दूरी फलन $D(w_i, d_i)$ को न्यूनतम करता है (जहाँ $d_i$ एक डिज़ाइन वेट है, जो आमतौर पर 1 होता है) इस शर्त के अधीन कि साझा चरों का भारित योग ज्ञात जनसंख्या कुल $T^{(c)}$ के बराबर हो: $\sum_{i \in A} w_i X^{(c)}_i = T^{(c)}$।
   • लेखक अनबाउंडेड (unbounded) दूरी फलनों (जैसे राकिंग/एक्सपोनेंशियल) के बजाय बाउंडेड डिस्टेंस फंक्शन्स (Bounded Distance Functions) (विशेष रूप से बाउंडेड लॉजिट और ट्रंकेटेड-लीनियर दूरियों) का उपयोग करते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि भार उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट अंतराल $[L, U]$ के भीतर रहे, जिससे प्रभावी नमूना आकार (effective sample size) का पतन न हो और IPS वेटिंग से जुड़ी अस्थिरता से बचा जा सके।

3. अनुमान (Estimation):

   • भारों की गणना न्यूटन-राफसन एल्गोरिदम का उपयोग करके लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स को हल करने के लिए की जाती है।
   • अंतिम लॉजिस्टिक रिग्रेशन मॉडल को कैलिब्रेशन-भारित लॉग-लाइक्लीहुड को अधिकतम करके फिट किया जाता है: $\tilde{\ell}(\theta; w) = \sum_{i \in A} w_i [Y_i(\beta_0 + \beta^\top X_i) - \log(1 + \exp(\beta_0 + \beta^\top X_i))]$।
   • महत्वपूर्ण रूप से, वेटिंग चरण केवल $X^{(c)}$ का उपयोग करता है, जबकि आउटकम मॉडल पूर्ण फीचर वेक्टर $X = (X^{(c)}, X^{(u)})$ का उपयोग करता है। यह विधि को उन समृद्ध अंडरराइटिंग डेटा का लाभ उठाने की अनुमति देता है जो केवल स्वीकृत आवेदकों के पास उपलब्ध है, जो कि इम्प्यूटेशन विधियों की एक क्षमता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

1. इम्प्यूटेशन-मुक्त ढांचा (Imputation-Free Framework): लेखक एक ऐसा रिजेक्ट इंफरेंस एस्टिमेटर पेश करते हैं जो कोई लेबल नहीं बनाता। केवल रीवेटिंग पर निर्भर रहकर, यह प्रारंभिक स्वीकृत-मात्र मॉडल से विरासत में मिले पूर्वाग्रह को आगे बढ़ने से रोकता है, जो ऑग्मेंटेशन और रीक्लिफिकेशन विधियों की एक अंतर्निहित खामी है।
2. सैद्धांतिक गारंटी (Theoretical Guarantees): शोध पत्र सिद्ध करता है कि कैलिब्रेशन-भारित एस्टिमेटर Missing At Random (MAR) धारणा के तहत सुसंगत (consistent) और $\sqrt{n}$-एसिम्प्टोटिकली नॉर्मल है। यह एक क्लोज्ड-फॉर्म एसिम्प्टोटिक वेरिएंस और वेट अनुमान से उत्पन्न अनिश्चितता को संभालने के लिए एक सैंडविच वेरिएंस एस्टिमेटर (Sandwich Variance Estimator) भी व्युत्पन्न करता है।
3. जनसंख्या प्रोजेक्शन लक्षण वर्णन (Population Projection Characterization): लेखक स्पष्ट करते हैं कि मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन (misspecification) के तहत, स्वीकृत-मात्र एस्टिमेटर सत्य के सिलेक्टेड-सैंपल प्रोजेक्शन की ओर अभिसरित होता है, जबकि कैलिब्रेशन एस्टिमेटर जनसंख्या प्रोजेक्शन को लक्षित करता है। यही वह अंतर है जहाँ यह विधि बेसलाइन की तुलना में मूल्य प्रदान करती है।
4. भार स्थिरता (Weight Stability): बाउंडेड डिस्टेंस फंक्शन का उपयोग करके, यह विधि IPS और राकिंग जैसी अनबाउंडेड रीवेटिंग तकनीकों से होने वाले अत्यधिक भार और प्रभावी नमूना आकार के पतन से बचती है।

प्रायोगिक परिणाम (Experimental Results)
अध्ययन तीन डेटासेट पर नौ रणनीतियों (जिसमें फजी ऑग्मेंटेशन, रीक्लासिफिकेशन, IPS, हेकमैन टू-स्टेप, और जेनेरेटिव मॉडल शामिल हैं) के विरुद्ध इस विधि का मूल्यांकन करता है: लेंडिंग क्लब (Lending Club) डेटासेट, एक अर्ध-सिंथेटिक ताइवान क्रेडिट (Taiwan Credit) बेंचमार्क (अस्वीकृत आवेदकों के लिए ग्राउंड-ट्रुथ लेबल के साथ), और नियंत्रित सिमुलेशन।

• डिस्क्रिमिनेशन (AUC): लेंडिंग क्लब डेटासेट पर, कैलिब्रेशन विधि ने डिस्क्रिमिनेशन को बेसलाइन स्तर पर बनाए रखा (पूर्ण फीचर्स वाले बेसलाइन के लिए AUC $\approx$ 0.706 के मुकाबले $\approx$ 0.703)। इसके विपरीत, इम्प्यूटेशन-आधारित विधियों के प्रदर्शन में गिरावट आई, जिसमें ताइवान बेंचमार्क में 11 AUC पॉइंट्स और लेंडिंग क्लब पर 3.6 पॉइंट्स की कमी देखी गई। लेखक इस मामूली लाभ का श्रेय अंडरराइटिंग चरों ($X^{(u)}$) के उपयोग को देते हैं, जिसे इम्प्यूटेशन विधियाँ एक्सेस नहीं कर पाती हैं।
• कैलिब्रेशन (जोखिम अनुमान): जनसंख्या जोखिम अनुमान में कैलिब्रेशन का प्राथमिक लाभ है। लेंडिंग क्लब पर, कैलिब्रेशन ने एक्सपेक्टेड कैलिब्रेशन एरर (ECE) को बेसलाइन (0.0112) की तुलना में लगभग तीन गुना कम कर दिया (0.0042)। ताइवान मिसस्पेसिफिकेशन शासन में, यह कमी छह गुना थी। इम्प्यूटेशन विधियों ने कैलिब्रेशन एरर को काफी बढ़ा दिया (16 गुना तक)।
• मिसस्पेसिफिकेशन (Misspecification): सिमुलेशन अध्ययनों में जहाँ मॉडल मिसस्पेसिफाइड था (एक इंटरैक्शन टर्म को छोड़ दिया गया था), कैलिब्रेशन एस्टिमेटर 'ओरेकल' (जनसंख्या सत्य) के करीब रहा, जबकि स्वीकृत-मात्र बेसलाइन चयन की शक्ति बढ़ने के साथ काफी विचलित हो गया।
• MNAR सीमा (MNAR Limitation): जैसा कि अपेक्षित था, विधि Missing Not At Random (MNAR) चयन (जहाँ अस्वीकृति अनऑब्जर्व्ड आउटकम पर निर्भर करती है) के तहत जनसंख्या पैरामीटर्स को पुनः प्राप्त करने में विफल रही, जो इस दृष्टिकोण की सैद्धांतिक सीमा की पुष्टि करती है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
शोध पत्र का दावा है कि कैलिब्रेशन रिजेक्ट इंफरेंस के लिए एक सुरक्षित डिफ़ॉल्ट (Safe Default) है। क्योंकि सभी भारों को एक पर सेट करने से बेसलाइन बिल्कुल वापस मिल जाता है, इसलिए यह विधि बेसलाइन से खराब प्रदर्शन नहीं कर सकती। इसका महत्व इस प्रकार है:

• जनसंख्या जोखिम सुधारना: यह जनसंख्या-स्तर की डिफॉल्ट दरों और कैलिब्रेशन मेट्रिक्स का अनुमान लगाने का एक सांख्यिकीय रूप से वैध तरीका प्रदान करता है, जो मूल्य निर्धारण और कैपिटल प्रोविजनिंग के लिए महत्वपूर्ण है, और इम्प्यूटेशन में निहित पूर्वाग्रह प्रसार के जोखिम के बिना।
• मिसस्पेसिफिकेशन के प्रति मजबूती: यह बेसलाइन से बेहतर प्रदर्शन करता है जब वर्किंग मॉडल मिसस्पेसिफाइड होता है, प्रभावी रूप से जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाता है न कि केवल बायस्ड सिलेक्टेड-सैंपल पैरामीटर का।
• व्यावहारिक स्थिरता: बाउंडेड डिस्टेंस का उपयोग अन्य रीवेटिंग दृष्टिकोणों में सामान्य संख्यात्मक अस्थिरता को हल करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि यह विधि MNAR चयन को हल नहीं करती या स्वीकृत और अस्वीकृत आवेदकों के बीच कॉमन सपोर्ट की आवश्यकता को समाप्त नहीं करती है, फिर भी यह इम्प्यूटेशन-आधारित रणनीतियों के लिए एक बेहतर विकल्प है, विशेष रूप से जनसंख्या-स्तर के जोखिम अनुमानों की विश्वसनीयता सुनिश्चित करने के लिए।