Testing the identification of causal effects in observational data

Riepilogo Tecnico: Una Condizione Verificabile per l'Identificazione dell'Effetto del Trattamento

Enunciato del Problema
Negli studi osservazionali, l'inferenza causale si basa tipicamente su assunzioni di identificazione convenzionalmente considerate non verificabili. La più prominente tra queste è l'assunzione di "selezione sulle osservabili" (o non confondibilità/ignorabilità), che postula che il trattamento sia assegnato in modo casuale condizionatamente alle covariate osservate. Se un insieme specifico di covariate sia sufficiente a soddisfare tale assunzione è solitamente giustificato dalla teoria o dall'intuizione piuttosto che da evidenze empiriche. Questo articolo colma tale lacuna dimostrando l'esistenza di una condizione verificabile per l'identificazione degli effetti causali nei dati osservazionali, a condizione che i dati includano sia un insieme di covariate da controllare sia un "strumento sospetto".

Metodologia e Quadro Teorico
Gli autori propongono un quadro che verifica congiuntamente la validità di uno strumento sospetto e l'assunzione di selezione sulle osservabili per il trattamento. L'approccio si basa su una specifica struttura causale (Assunzione 1) caratterizzata da:

1. Nessuna Causalità Inversa: L'esito non causa il trattamento, le covariate o lo strumento sospetto; il trattamento non causa le covariate o lo strumento.
2. Fedeltà Causale: L'indipendenza statistica implica la d-separazione (nessun percorso causale), e viceversa.
3. Supporto Comune: Tutte le combinazioni di valori di trattamento e strumento esistono condizionatamente alle covariate.
4. Dipendenza Condizionata: Lo strumento sospetto è associato statisticamente al trattamento condizionatamente alle covariate (effetto del primo stadio).

Sotto queste condizioni, l'articolo stabilisce un risultato teorico chiave (Teorema 1): l'indipendenza condizionata dello strumento sospetto ($Z$) e dell'esito ($Y$) dato il trattamento ($D$) e le covariate ($X$) è una condizione necessaria e sufficiente per la soddisfazione congiunta di:

• Validità dello Strumento (A): $Z$ non influenza direttamente $Y$ ed è non confondibile condizionatamente a $X$.
• Selezione sulle Osservabili (B): $D$ è non confondibile condizionatamente a $X$.

Di conseguenza, se vale la condizione verificabile $Y \perp\!\!\perp Z | D, X$, entrambe le assunzioni sono soddisfatte e l'effetto del trattamento è identificato. L'articolo estende inoltre questo risultato all'indipendenza della media condizionata (Teorema 2) per la valutazione degli Effetti Medi del Trattamento (ATE).

Approcci di Verifica
Per verificare la condizione di indipendenza condizionata in contesti ad alta dimensionalità, gli autori propongono metodi basati sul Double Machine Learning (DML) (Chernozhukov et al., 2018), che consente un controllo delle covariate guidato dai dati mantenendo proprietà asintotiche desiderabili.

1. Stima Doppia Robusta (DR): Gli autori costruiscono un test basato sulla differenza media nelle medie condizionate ($\Delta$). Utilizzano una funzione di punteggio doppia robusta che combina stime della media condizionata dell'esito e del punteggio di propensione dello strumento. Attraverso l'uso del cross-fitting, raggiungono la consistenza di ordine $\sqrt{n}$ e la normalità asintotica anche quando si utilizzano algoritmi di machine learning flessibili per la stima dei parametri di disturbo.
2. Rilevamento dell'Eterogeneità: Per affrontare il problema secondo cui la media potrebbe mascherare le violazioni, gli autori propongono un algoritmo per rilevare l'eterogeneità nelle violazioni attraverso i valori delle covariate. Ciò comporta la suddivisione del campione, l'uso del machine learning (ad esempio, alberi decisionali) per identificare sottogruppi in cui le violazioni sono probabili e la verifica dell'indipendenza condizionata all'interno di tali sottogruppi.
3. Test Globale della Differenza Quadratica: Un secondo approccio verifica l'ipotesi nulla globale secondo cui la differenza quadratica nelle medie condizionate è zero ($E[(\mu(1, D, X) - \mu(0, D, X))^2] = 0$). Questo metodo utilizza una misura aggregata di tipo $L_2$ e introduce una variabile casuale ausiliaria per garantire che la statistica del test abbia una distribuzione non degenere sotto l'ipotesi nulla.

Risultati delle Simulazioni
L'articolo valuta le prestazioni in campioni finiti di questi test tramite simulazioni con 50 covariate e dimensioni campionarie di 1.000 e 4.000.

• Dimensione Empirica: Sotto l'ipotesi nulla (dove le assunzioni valgono), i test mantengono generalmente tassi di rifiuto empirici vicini al livello nominale del 10%.
• Potenza: I test dimostrano una potenza discreta nel rilevare le violazioni. Il test basato su DR è efficace quando le violazioni sono uniformi, mentre il test della differenza quadratica mostra un'alta potenza anche quando le violazioni sono eterogenee tra le covariate.
• Test Multipli: Quando si verifica l'eterogeneità tra sottogruppi, gli autori riscontrano che, sebbene la potenza aumenti con la dimensione del campione, sono necessarie correzioni per i test multipli (Bonferroni o bootstrap moltiplicatore) per controllare i tassi di falsi scoperti, sebbene ciò possa ridurre la potenza in sottocampioni più piccoli.

Applicazione Empirica
La metodologia è applicata ai dati del Censimento USA (Angrist and Evans, 1998) per valutare l'impatto della fertilità sull'offerta di lavoro femminile, utilizzando il rapporto di genere dei primi due figli come strumento sospetto.

• Risultati: I test rifiutano l'ipotesi nulla di indipendenza condizionata. Nello specifico, il test della differenza quadratica produce un p-value vicino a zero, e il test DR è significativo al livello del 5%.
• Interpretazione: I risultati suggeriscono una violazione dell'implicazione verificabile. Dato l'insieme moderato di covariate socio-economiche (età della madre, reddito del padre, ecc.), ciò implica che o l'assunzione di selezione sulle osservabili non è valida, o il rapporto di genere dei fratelli non è uno strumento valido, o entrambe le cose. L'analisi di eterogeneità indica che le violazioni sono particolarmente pronunciate tra le famiglie con un reddito paterno più elevato.

Significato e Affermazioni
L'articolo afferma di fornire una soluzione pratica a un problema di lunga data nell'inferenza causale: l'incapacità di verificare le assunzioni fondamentali richieste per l'identificazione nei dati osservazionali.

• Verifica Congiunta: A differenza della letteratura precedente che spesso assume uno strumento valido per verificare la selezione sulle osservabili (o viceversa), questo approccio verifica congiuntamente entrambe le condizioni. Non richiede che il ricercatore creda a priori che lo strumento sia valido; piuttosto, lo strumento funge da variabile ausiliaria per verificare la validità dell'assunzione di selezione sulle osservabili.
• Flessibilità: Sfruttando il Double Machine Learning, l'approccio gestisce covariate ad alta dimensionalità e relazioni non lineari senza fare affidamento su assunzioni parametriche che potrebbero essere specificate erroneamente.
• Avvertenze: Gli autori sono modesti riguardo alla portata delle loro affermazioni. Osservano che la condizione verificabile si basa su specifiche assunzioni causali (fedeltà, assenza di causalità inversa). Inoltre, sebbene il test possa rilevare violazioni, non individua la fonte esatta del fallimento (invalidità dello strumento vs. confondimento non osservato del trattamento) senza ulteriori assunzioni. L'approccio è inquadrato come uno strumento diagnostico per valutare la credibilità delle strategie di identificazione piuttosto che come un metodo per generare nuove stime causali in presenza di violazioni.