Ramification theory from homotopical point of view, I

Sintesi Tecnica: Teoria della Ramificazione da un Punto di Vista Omotopico, I

Enunciato del Problema
Nella teoria dei $D$-moduli per varietà complesse, il ciclo caratteristico è uno strumento fondamentale. Analogie tra questa teoria e la teoria della ramificazione degli sciami $\ell$-adici in caratteristica positiva sono state osservate da Deligne e Laumon. Sebbene Beilinson abbia definito il supporto singolare per gli scami etali e Saito abbia successivamente definito il ciclo caratteristico nell'ambito etale, rimaneva un problema aperto fondamentale: la compatibilità del ciclo caratteristico con l'immagine diretta propria (proper pushforward). Saito aveva ipotizzato una generalizzazione della formula di Grothendieck-Ogg-Shafarevich per il ciclo caratteristico sotto morfismi propri. Risultati precedenti di Saito avevano stabilito questa formula sotto specifici vincoli di dimensione (ad esempio, quando l'immagine del supporto singolare non eccede la dimensione del bersaglio), ma tali vincoli falliscono frequentemente in caratteristica positiva (ad esempio, per l'endomorfismo di Frobenius). L'obiettivo primario di questo articolo è risolvere la congettura di Saito fino al $p$-torsione (dove $p$ è la caratteristica del campo base) senza fare affidamento su restrittivi assunti di dimensione.

Metodologia
L'articolo impiega un approccio homotopico e $\infty$-categoriale per ricostruire la teoria dei cicli caratteristici. La metodologia diverge da quella di Saito invertendo l'ordine di costruzione: invece di definire prima il ciclo caratteristico microlocalizzato, gli autori costruiscono il ciclo caratteristico "non microlocalizzato" (una classe caratteristica) e poi applicano la microlocalizzazione.

Componenti metodologiche chiave includono:

1. Sistemi di Deformazione ed Effaceabilità: Gli autori introducono un formalismo astratto di "sistemi di deformazione" su preschemi. Un sistema di deformazione $(S, \mu, E)$ coinvolge un preschema $S$, un preschema a valori in insiemi puntati $\mu$ (che rappresenta i parametri di deformazione), e una morfismo $E$ che deforma gli elementi di $S$ usando parametri in $\mu$. Un sistema è detto "effaceabile" se ogni elemento può essere deformato, tramite una sequenza finita di modificazioni, in uno stato "localizzato" (supporto di dimensione 0).
2. Coefficienti Reversibili: Il preschema bersaglio per il ciclo caratteristico è identificato come un "coefficiente reversibile". Questo è un $\infty$-preschema (specificamente, l'omologia di Borel-Moore relativa $HBM_X$) che è $\mathbb{A}^1$-invariante, soddisfa la discesa cdh e ammette un "morfismo di rewind" (riavvolgimento). Il morfismo di rewind permette di sollevare le sezioni da un "confine" (relativo alle modificazioni su $\mathbb{P}^1 \setminus \{1\}$) nuovamente allo spazio originale, invertendo efficacemente il processo di deformazione in un senso homotopico.
3. Teorema di Estensione: Un risultato astratto centrale (Teorema 1.7) afferma che per una coppia localizzante di preschemi $S_0 \subset S$ (dove il quoziente è un sistema di deformazione effacevole) e un coefficiente reversibile $H$, ogni morfismo $S_0 \to H$ si estende essenzialmente in modo unico a $S \to H$ fino a omotopia canonica. Ciò riduce la costruzione del ciclo caratteristico alla definizione dello stesso su il sub-preschema dei supporti di dimensione 0 (dove esso è semplicemente il rango) e alla prova delle condizioni di estensione.
4. Cicli Vicini e Sistemi Etali Piatti: Per costruire il preschema sorgente $S$, gli autori utilizzano la teoria dei cicli vicini (nearby cycles) su una base generale. Definiscono un preschema $Fl\acute{E}t_X$ di "sistemi etali piatti", che sono collezioni di elementi del gruppo di Grothendieck di scami costruttibili sui punti geometrici soddisfacendo la compatibilità sotto specializzazione. La costruzione si basa pesantemente sui risultati di Gabber riguardanti la preservazione della costruttibilità e della finitezza della Tor-dimensione sotto i cicli vicini dopo opportune modificazioni della base.
5. Microlocalizzazione: Ispirandosi a Beilinson, l'articolo sviluppa una teoria generale di microlocalizzazione. Utilizzando una "base di dati" (un fibrato vettoriale e una struttura differenziale) e il sistema di deformazione, gli autori definiscono una mappa di microlocalizzazione che restringe il ciclo caratteristico al supporto singolare.

Contributi Chiave e Risultati

1. Risoluzione della Congettura di Saito: L'articolo prova la formula di pushforward per il ciclo caratteristico fino al $p$-torsione. Nello specifico, per un morfismo proprio $h: X \to Y$ tra schemi lisci su un campo perfetto $k$ di caratteristica $p > 0$, e un complesso costruttibile $F$, l'identità $CC(Rh_*F) = h'_* g_!(CC(F))$ vale nel gruppo di Chow razionalizzato $CH_{\dim Y}(h^\circ SS(F))[1/p]$. Ciò avviene senza i vincoli di dimensione richiesti dai lavori precedenti.
2. Costruzione Homotopica dei Cicli Caratteristici: Gli autori forniscono una nuova costruzione del ciclo caratteristico che non dipende dal teorema di Beilinson riguardante l'esistenza del supporto singolare per l'unicità. Invece, l'unicità e l'esistenza sono derivate dall'astratto teorema di estensione per coppie localizzanti e coefficienti reversibili.
3. Generalizzazione a Schemi Non Lisci: Il ciclo caratteristico non microlocalizzato è definito per qualsiasi schema separato di tipo finito su $k$, non solo per schemi lisci. Nei casi in cui lo schema si imbedde in uno schema liscio, ciò recupera la definizione di Saito, ma la costruzione è nuova nel caso generale.
4. Compatibilità con i Cicli Vicini: Il costruito ciclo caratteristico non microlocalizzato è mostrato essere compatibile con il funtore dei cicli vicini. Gli autori notano che la versione microlocalizzata (supporto singolare) è generalmente non compatibile con i cicli vicini, suggerendo una distinzione tra le due teorie.
5. Meccanismo $\infty$-Categorico: L'articolo utilizza estensivamente la teoria delle $\infty$-categorie (quasi-categorie) per gestire l' "incollamento" (gluing) degli elementi cohomologici e la costruzione del morfismo di rewind. Ciò permette un trattamento rigoroso delle omotopie tra i cicli che sarebbe difficile da gestire in un contesto 1-categoriale.

Significato
L'articolo afferma che il suo significato primario risiede nel risolvere una congettura di lunga data nella teoria della ramificazione degli scami etali introducendo un robusto quadro homotopico. Stabilendo la formula di pushforward fino al $p$-torsione, esso generalizza la formula di Grothendieck-Ogg-Shafarevich a un contesto molto più ampio, inclusi i casi in cui la dimensione dell'immagine del supporto singolare eccede la dimensione del bersaglio. Gli autori enfatizzano che il loro approccio, che separa la costruzione del ciclo non microlocalizzato dal passaggio di microlocalizzazione, offre una fondazione più flessibile e generale per i cicli caratteristici in caratteristica positiva. Il lavoro funge anche da ponte tra la teoria dei $D$-moduli e la coomologia $\ell$-adica, utilizzando la coomologia motivica e i formalismi dei sei funtori per raggiungere questi risultati. L'articolo dichiara esplicitamente che la prova dell' "effaceabilità" del sistema di deformazione (un passaggio tecnico cruciale) è rimandata alla Parte II della serie, ma il presente lavoro stabilisce il necessario formalismo astratto e la costruzione del ciclo caratteristico assumendo tale risultato.