Ramification theory from homotopical point of view, I

技術的要約：ホモトピー論的観点からの分岐理論、I

問題の所在
複素多様体における$D$加群の理論において、特性サイクルは基本的な道具である。この理論と、正標数における$\ell$進層の分岐理論との間の類似性は、デリーニュ（Deligne）およびローモン（Laumon）によって指摘されていた。ベリンソン（Beilinson）がエタール層に対する特異支持を定義し、続いてサイトウ（Saito）がエタール設定における特性サイクルを定義したが、主要な未解決問題が残されていた。それは、特性サイクルと固有押し出し（proper pushforward）との間の両立性である。サイトウは、特性サイクルに関するグロタンディーク・オッグ・シャファレヴィッチ（Grothendieck-Ogg-Shafarevich）公式の一般化を、固有射の下での特性サイクルに対して提唱した。先行研究では、サイトウは特定の次元制約（例：特異支持の像の次元が標的の次元を超えない場合）の下でこの公式を確立していたが、これらの制約は正標数の場合（例：フロベニウス写像）には頻繁に成立しない。本論文の主な目的は、制限的な次元仮定に依存することなく、サイトウの予想を$p$捩（$p$-torsion）まで解明することである（ここで$p$は基礎体の標数である）。

手法
本論文は、特性サイクルの理論を再構築するために、ホモトピー論的および$\infty$-圏論的なアプローチを採用している。その手法は、サイトウの手法とは異なり、構成の順序を逆転させている。すなわち、マイクロ局所化された特性サイクルを先に定義するのではなく、「マイクロ局所化されていない」特性サイクル（特性クラス）を構築し、その後にマイクロ局所化を適用するというものである。

主要な手法の構成要素は以下の通りである：

1. 変形系と消滅可能性（Deformation Systems and Effaceability）： 著者らは、前層上の「変形系」という抽象的な形式を導入する。変形系 $(S, \mu, E)$ は、前層 $S$、点集合値の前層 $\mu$（変形パラメータを表す）、および $\mu$ 内のパラメータを用いて $S$ の元を変形する射 $E$ からなる。系が「消滅可能（effaceable）」であるとは、任意の元が、有限回の修正を経て、「局所化された」状態（次元0の台を持つ状態）へと変形可能であることを指す。
2. 可逆な係数（Reversible Coefficients）： 特性サイクルの対象となる前層は、「可逆な係数」として特定される。これは、$\mathbb{A}^1$不変であり、cdh降下を満たし、「リワインド射（rewind morphism）」を持つ$\infty$-前層（具体的には相対ボレル・ムーアホモロジー $HBM_X$）である。リワインド射により、境界（$\mathbb{P}^1 \setminus \{1\}$ 上の修正に関連するもの）からの切断を、元の空間へと持ち上げることが可能となり、ホモトピー論的な意味で変形プロセスを実質的に逆転させることができる。
3. 拡張定理： 中心的な抽象的結果（定理1.7）は、局所化されたペアの前層 $S_0 \subset S$（その商が消滅可能な変形系であるもの）と、可逆な係数 $H$ に対して、任意の射 $S_0 \to H$ が、標準的なホモトピーの範囲内で本質的に一意に $S \to H$ へと拡張できることを述べている。これにより、特性サイクルの構成は、0次元の台を持つ前層の上でそれを定義し（ここでは単なるランクである）、拡張条件を証明することへと還元される。
4. 近傍サイクルと平坦エタール系： 源となる前層 $S$ を構成するために、著者らは一般的な基底上の近傍サイクルの理論を利用する。著者らは、「平坦エタール系（flat étale systems）」の前層 $Fl\acute{E}t_X$ を定義する。これは、幾何学的点における構成的層のグロタンディーク群の元の集合であり、特殊化の下での適合性を満たすものである。この構成は、基底の適切な修正の後における、構成性と有限Tor次元性の保存に関するガバー（Gabber）の結果に大きく依拠している。
5. マイクロ局所化： ベリンソンの着想に基づき、本論文は一般的なマイクロ局所化理論を開発する。「基底データ」（ベクトル束と微分構造）および変形系を利用することで、特異支持への制限としての特性サイクルを定義するマイクロ局所化写像を定義する。

主要な貢献と結果

1. サイトウ予想の解決： 本論文は、$p$捩までの特性サイクルの押し出し公式を証明している。具体的には、完全体 $k$（標数 $p>0$）上の滑らかなスキーム間の固有射 $h: X \to Y$ および構成的複体 $F$ に対して、恒等式 $CC(Rh_*F) = h'_* g_!(CC(F))$ が有理化されたチャウ群 $CH_{\dim Y}(h^\circ SS(F))[1/p]$ において成立する。これは、先行研究で必要とされた次元仮定なしに成立する。
2. 特性サイクルのホモトピー論的構成： 著者らは、一意性のためのベリンソンの定理（特異支持の存在に関するもの）に依存しない、特性サイクルの新しい構成法を提示する。代わりに、一意性と存在は、局所化されたペアと可逆な係数に関する抽象的な拡張定理から導かれる。
3. 非滑らかなスキームへの一般化： 非マイクロ局所化された特性サイクルは、滑らかなスキームに限らず、任意の $k$ 上の有限型分離スキームに対して定義される。スキームが滑らかなスキームに埋め込まれる場合、これはサイトウの定義を回収するが、その構成は一般的ケースにおいて新しいものである。
4. 近傍サイクルとの両立性： 構成された非マイクロ局所化された特性サイクルは、近傍サイクル関手と両立することが示されている。著者らは、マイクロ局所化されたバージョン（特異支持）は一般に近傍サイクルと両立しないことを指摘しており、これら二つの理論の区別を示唆している。
5. $\infty$-圏論的メカニズム： 著者らは、コホモロジー的元を「貼り合わせる」ことや、リワインド射を構成するために、$\infty$-圏論（準カテゴリー）を広範に活用している。これにより、1-圏論的な設定では管理が困難と思われるホモトピー間の扱いを厳密に行うことが可能となっている。

意義
本論文の主要な意義は、堅牢なホモトピー論的枠組みを導入することにより、エタール層の分岐理論における長年の予想を解決した点にある。特性サイクルを$p$捩まで押し出し公式を確立することで、特異支持の像の次元が標的の次元を超える場合を含む、より広い文脈へとグロタンディーク・オッグ・シャファレヴィッチ公式を一般化している。著者らは、特性サイクルの構成をマイクロ局所化のステップから分離させるアプローチが、正標数における特性サイクルに対してより柔軟で一般的な基礎を提供することを強調している。本研究は、モチーフ的コホモロジーおよび6つの関手形式を利用することで、$D$加群の理論と$\ell$進コホモロジーの間の架け橋となる役割も果たしている。なお、本論文は、変形系の「消滅可能性」（極めて重要な技術的ステップ）の証明は本シリーズの第II部へ委ねているが、現在の著作物においては、その結果を前提とした必要な抽象的形式および特性サイクルの構成を確立している。