Ramification theory from homotopical point of view, I

Resumo Técnico: Teoria da Ramificação sob um Ponto de Vista Homotópico, I

Enunciado do Problema
Na teoria de $D$-módulos para variedades complexas, o ciclo característico é uma ferramenta fundamental. Analogias entre esta teoria e a teoria da ramificação de feixes $\ell$-ádicos em característica positiva foram observadas por Deligne e Laumon. Enquanto Beilinson definiu o suporte singular para feixes étales e Saito subsequentemente definiu o ciclo característico no contexto étale, um grande problema aberto permanecia: a compatibilidade do ciclo característico com o pushforward próprio. Saito conjecturou uma generalização da fórmula de Grothendieck-Ogg-Shafarevich para o ciclo característico sob morfismos próprios. Resultados anteriores de Saito estabeleceram esta fórmula sob restrições de dimensão específicas (por exemplo, quando a imagem do suporte singular não excede a dimensão do alvo), mas estas restrições frequentemente falham em característica positiva (por exemplo, para o endomorfismo de Frobenius). O objetivo principal deste artigo é resolver a conjectura de Saito até a torção $p$ (onde $p$ é a característica do corpo base) sem depender de restrições de dimensão.

Metodologia
O artigo emprega uma abordagem homotópica e $\infty$-categórica para reconstruir a teoria dos ciclos característicos. A metodologia diverge da de Saito ao inverter a ordem de construção: em vez de definir primeiro o ciclo característico microlocalizado, os autores constroem o ciclo característico "não-microlocalizado" (uma classe característica) e então aplicam a microlocalização.

Componentes metodológicos principais incluem:

1. Sistemas de Deformação e Efacibilidade: Os autores introduzem um formalismo abstrato de "sistemas de deformação" sobre presfá (presheaves). Um sistema de deformação $(S, \mu, E)$ envolve um presfá $S$, um presfá de conjuntos pontuados $\mu$ (representando parâmetros de deformação), e uma morfismo $E$ que deforma elementos de $S$ usando parâmetros em $\mu$. Um sistema é chamado de "efacível" se qualquer elemento pode ser deformado, via uma sequência finita de modificações, em um estado "localizado" (suporte de dimensão 0).
2. Coeficientes Reversíveis: O presfá alvo para o ciclo característico é identificado como um "coeficiente reversível". Este é um $\infty$-presfá (especificamente, homologia de Borel-Moore relativa $HBM_X$) que é $\mathbb{A}^1$-invariante, satisfaz a descida cdh, e admite um "morfismo de rewind" (rebobinamento). O morfismo de rewind permite que se levante seções de uma "fronteira" (relacionada a modificações sobre $\mathbb{P}^1 \setminus \{1\}$) de volta ao espaço original, efetivamente invertendo o processo de deformação em um sentido homotópico.
3. Teorema de Extensão: Um resultado abstrato central (Teorema 1.7) afirma que, para um par localizador de presfás $S_0 \subset S$ (onde o quociente é um sistema de deformação efacível) e um coeficiente reversível $H$, qualquer morfismo $S_0 \to H$ estende-se essencialmente de forma única até a homotopia canônica. Isso reduz a construção do ciclo característico à definição dele sobre o sub-presfá de suportes de dimensão 0 (onde é simplesmente o rank) e à prova das condições de extensão.
4. Ciclos Próximos e Sistemas Étales Planos: Para construir o presfá de origem $S$, os autores utilizam a teoria de ciclos próximos (nearby cycles) sobre uma base geral. Eles definem um presfá $Fl\acute{E}t_X$ de "sistemas étales planos", que são coleções de elementos do grupo de Grothendieck de feixes construtíveis em pontos geométricos satisfazendo compatibilidade sob especialização. A construção depende fortemente dos resultados de Gabber a respeito da preservação de construtibilidade e de dimensão Tor-finita sob ciclos próximos após modificações adequadas da base.
5. Microlocalização: Inspirado por Beilinson, o artigo desenvolve uma teoria geral de microlocalização. Ao utilizar um "dado de base" (um fibrado vetorial e uma estrutura diferencial) e o sistema de deformação, os autores definem um mapa de microlocalização que restringe o ciclo característico ao suporte singular.

Principais Contribuições e Resultados

1. Resolução da Conjectura de Saito: O artigo prova a fórmula de pushforward para o ciclo característico até a torção $p$. Especificamente, para um morfismo próprio $h: X \to Y$ entre esquemas suaves sobre um corpo perfeito $k$ de característica $p > 0$, e um complexo construtível $F$, a identidade $CC(Rh_*F) = h'_* g_!(CC(F))$ mantém-se no grupo de Chow racionalizado $CH_{\dim Y}(h^\circ SS(F))[1/p]$. Isto ocorre sem as suposições de dimensão exigidas em trabalhos anteriores.
2. Construção Homotópica de Ciclos Característicos: Os autores fornecem uma nova construção do ciclo característico que não depende do teorema de Beilinson referente à existência de suporte singular para unicidade. Em vez disso, unicidade e existência são derivadas do teorema de extensão abstrata para pares localizadores e coeficientes reversíveis.
3. Generalização para Esquemas Não-Suaves: O ciclo característico não-microlocalizado é definido para qualquer esquema separado de tipo finito sobre $k$, não apenas para esquemas suaves. Em casos onde o esquema se imerge em um esquema suave, isso recupera a definição de Saito, mas a construção é nova no caso geral.
4. Compatibilidade com Ciclos Próximos: O ciclo característico não-microlocalizado construído mostra-se compatível com o funtor de ciclos próximos. Os autores observam que a versão microlocalizada (suporte singular) é geralmente não compatível com ciclos próximos, sugerindo uma distinção entre as duas teorias.
5. Maquinário $\infty$-Categórico: O artigo utiliza extensivamente a teoria de $\infty$-categorias (quasi-categorias) para lidar com o "colagem" (gluing) de elementos cohomológicos e a construção do morfismo de rewind. Isso permite um tratamento rigoroso de homotopias entre ciclos que seriam difíceis de gerenciar em um ambiente 1-categórico.

Significância
O artigo afirma que sua principal significância reside em resolver uma conjectura de longa data na teoria da ramificação de feixes étales ao introduzir um arcabouço homotópico robusto. Ao estabelecer a fórmula de pushforward até a torção $p$, ele generaliza a fórmula de Grothendieck-Ogg-Shafarevich para um contexto muito mais amplo, incluindo casos onde a dimensão da imagem do suporte singular excede a dimensão do alvo. Os autores enfatizam que sua abordagem, que separa a construção do ciclo não-microlocalizado do passo de microlocalização, oferece uma fundação mais flexível e geral para ciclos característicos em característica positiva. O trabalho também serve como uma ponte entre a teoria de $D$-módulos e a cohomologia $\ell$-ádica, utilizando cohomologia motivica e formalismos de seis-funtores para alcançar estes resultados. O artigo afirma explicitamente que a prova da "efacibilidade" do sistema de deformação (um passo técnico crucial) é adiada para a Parte II da série, mas o presente trabalho estabelece o formalismo abstrato necessário e a construção do ciclo característico assumindo tal resultado.