Ordinary local representations and $\Ext$ groups

Sintesi Tecnica: Rappresentazioni Locali Ordinarie e Gruppi di Estensione

Enunciazione del Problema
Il lavoro affronta le proprietà strutturali delle corrispondenze di Langlands locali $p$-adiche per $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, focalizzandosi specificamente sull'interazione tra le rappresentazioni di Galois locali ordinarie e le loro rappresentazioni associate di spazi di Banach unitari ammissibili, denotate $\Pi(\rho_p)$. Mentre la corrispondenza di Langlands locale $p$-adica stabilisce una biiezione per le rappresentazioni assolutamente irriducibili, il comportamento delle rappresentazioni ordinarie riducibili, non scisse all'interno di oggetti aritmetici globali rimane meno compreso.

Il problema centrale è determinare se queste rappresentazioni ordinarie $\Pi(\rho_p)$ appaiano nella coomologia di varietà aritmetiche specifiche, ovvero torri di Drinfeld a livello finito e curve di Shimura. Inoltre, gli autori investigano l'annullamento o il non annullamento dei gruppi di estensione ($\text{Ext}$) tra queste rappresentazioni e altri componenti della coomologia, in particolare nel contesto della compatibilità locale-globale. Una motivazione specifica citata è la domanda di Chojecki riguardante la generalizzazione dei risultati dal caso residuamente irriducibile al caso ordinario residuamente riducibile, non scisso.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione della teoria di Hodge $p$-adica, della teoria delle torri di Drinfeld e della teoria delle rappresentazioni dei gruppi $p$-adici. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

1. Impostazione Geometrica: Lo studio utilizza l'uniformizzazione $p$-adica delle curve di Shimura tramite torri di Drinfeld. Nello specifico, lo spazio analitico rigido di una curva di Shimura $Sh_n(U)^{an}$ è correlato alla torre di Drinfeld $M_n$ tramite il teorema di uniformizzazione di Cerednik-Drinfeld. Ciò permette agli autori di relazionare la coomologia globale delle curve di Shimura alla coomologia locale delle torri di Drinfeld.
2. Teorema di Fattorizzazione: Uno strumento tecnico critico è il teorema di fattorizzazione stabilito da Colmez, Dospinescu e Niziol [19]. Questo teorema descrive la coomologia étale della torre di Drinfeld come una rappresentazione di $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ decomponendola in una somma diretta che coinvolge il duale della rappresentazione di Langlands locale $p$-adica $\Pi(V)'$, gli anelli di Kisin e i trasferimenti di Jacquet-Langlands.
3. Decomposizione in Blocchi e Riduzione Modulo $p$: Per analizzare le estensioni, gli autori utilizzano la decomposizione in blocchi di Paskunas della categoria delle rappresentazioni di spazi di Banach unitari ammissibili. Riducono il problema dalla caratteristica 0 alla caratteristica $p$ esaminando la riduzione mod $p$ delle rappresentazioni. Ciò comporta il confronto tra la corrispondenza di Langlands locale $p$-adica e la corrispondenza di Langlands locale mod $p$ (classificazione di Breuil), distinguendo tra rappresentazioni supersingolari, serie principali e di Steinberg.
4. Rappresentazioni Localmente Analitiche: L'analisi dei gruppi $\text{Ext}^1$ si basa sulla teoria delle rappresentazioni localmente analitiche sviluppata da Schneider e Teitelbaum. Gli autori utilizzano la fedele piattezza dell'algebra delle distribuzioni localmente analitiche $D(G, E)$ sull'algebra di Iwasawa $E[[G]]$ per sollevare estensioni non scisse dall'ambito liscio/localmente analitico all'ambito degli spazi di Banach.

Contributi e Risultati Chiave
Il lavoro stabilisce due teoremi di annullamento primari per le rappresentazioni locali ordinarie:

1. Teorema di Annullamento Globale: Gli autori dimostrano che se $\rho_p$ è una rappresentazione di Galois ordinaria riducibile, non scissa, potenzialmente cristallina (con pesi di Hodge-Tate distinti), la rappresentazione di Langlands locale $p$-adica associata $\Pi(\rho_p)$ non appare come sottorappresentazione nella coomologia étale delle curve di Shimura a livello finito. Nello specifico, $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', H^1_{\text{ét}}(Sh_n(U)^{an}, E)) = 0$. Questo risultato è derivato mostrando che la coomologia delle curve di Shimura è costruita a partire da rappresentazioni di serie principali (tramite l'uniformizzazione), mentre $\Pi(\rho_p)$ per i casi ordinari non scissi è un'estensione di rappresentazioni di serie principali che non si immerge nella coomologia a causa della struttura specifica dei duali coinvolti.

2. Teorema di Annullamento Locale: Per l'ambito locale, gli autori dimostrano che per qualsiasi sottorappresentazione $W$ della coomologia della torre di Drinfeld (specificamente la parte associata a una rappresentazione di Galois residuamente irriducibile $V$), non esistono estensioni non banali tra il duale della rappresentazione ordinaria $\Pi(\rho_p)'$ e $W$. Ciò si manifesta come:

   • $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
   • $\text{Ext}^1_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
     La dimostrazione si basa sul fatto che $\Pi(\rho_p)$ (nel caso ordinario non scisso) appartiene a un "blocco" diverso nella categoria delle rappresentazioni rispetto alle rappresentazioni supersingolari che costituiscono la parte rilevante della coomologia della torre di Drinfeld. Poiché le estensioni esistono solo all'interno dello stesso blocco, i gruppi $\text{Ext}$ si annullano.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma che questi risultati sono coerenti con l'aspettativa filosofica secondo cui le rappresentazioni ordinarie non dovrebbero apparire nella parte "supersingolare" della coomologia. Gli autori sottolineano che il loro lavoro fornisce un risultato rigoroso di annullamento locale e globale per i funtori $\text{Ext}$ nel contesto di rappresentazioni ordinarie, riducibili e non scisse, un caso che era precedentemente meno esplorato rispetto all'ambito residuamente irriducibile.

Gli autori notano modestamente che, mentre dimostrano l'annullamento per il caso residuamente irriducibile, la situazione per i casi residuamente riducibili potrebbe differire. Nella Osservazione 5.3, suggeriscono che, invece dell'annullamento, ci si potrebbe aspettare risultati di finitezza dimensionale per i gruppi $\text{Ext}$ nel caso residuamente riducibile, basandosi su limiti derivati dalla teoria mod $p$. Non affermano di aver risolto la questione della finitezza dimensionale in caratteristica 0 per il caso riducibile, ma offrono un percorso per future indagini utilizzando gli strumenti sviluppati.

Il lavoro evidenzia anche l'utilità del teorema di fattorizzazione di Colmez-Dospinescu-Niziol nel descrivere la coomologia delle torri di Drinfeld come una rappresentazione di $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, fungendo da analogo locale ai teoremi di compatibilità locale-globale di Emerton. I risultati rafforzano la separazione strutturale tra fenomeni ordinari e supersingolari nel programma di Langlands $p$-adico.