Ordinary local representations and $\Ext$ groups

Résumé technique : Représentations locales ordinaires et groupes Ext

Énoncé du problème
L'article traite des propriétés structurelles des correspondances de Langlands locales $p$-adiques pour $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, en se concentrant spécifiquement sur l'interaction entre les représentations galoisiennes locales ordinaires et leurs représentations associées d'espaces de Banach unitaires admissibles, notées $\Pi(\rho_p)$. Alors que la correspondance de Langlands locale $p$-adique établit une bijection pour les représentations absolument irréductibles, le comportement des représentations ordinaires réductibles, non décomposées, au sein d'objets arithmétiques globaux reste moins bien compris.

Le problème central est de déterminer si ces représentations ordinaires $\Pi(\rho_p)$ apparaissent dans la cohomologie de variétés arithmétiques spécifiques, à savoir les tours de Drinfeld de niveau fini et les courbes de Shimura. De plus, les auteurs étudient l'annulation ou la non-annulation des groupes d'extension ($\text{Ext}$) entre ces représentations et d'autres composantes de la cohomologie, en particulier dans le contexte de la compatibilité locale-globale. Une motivation spécifique citée est la question de Chojecki concernant la généralisation des résultats du cas résiduellement irréductible au cas résiduellement réductible, non décomposé et ordinaire.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de la théorie de Hodge $p$-adique, de la théorie des tours de Drinfeld et de la théorie des représentations des groupes $p$-adiques. La méthodologie procède par les étapes suivantes :

1. Configuration géométrique : L'étude utilise l'uniformisation $p$-adique des courbes de Shimura par les tours de Drinfeld. Plus précisément, l'espace analytique rigide d'une courbe de Shimura $Sh_n(U)^{an}$ est relié à la tour de Drinfeld $M_n$ via le théorème d'uniformisation de Cerednik-Drinfeld. Cela permet aux auteurs de relier la cohomologie globale des courbes de Shimura à la cohomologie locale des tours de Drinfeld.
2. Théorème de factorisation : Un outil technique critique est le théorème de factorisation établi par Colmez, Dospinescu et Niziol [19]. Ce théorème décrit la cohomologie étale de la tour de Drinfeld comme une représentation de $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ en la décomposant en une somme directe impliquant le dual de la représentation de Langlands locale $p$-adique $\Pi(V)'$, les anneaux de Kisin et les transferts de Jacquet-Langlands.
3. Décomposition en blocs et réduction modulo $p$ : Pour analyser les extensions, les auteurs utilisent la décomposition en blocs de Paskunas de la catégorie des représentations d'espaces de Banach unitaires admissibles. Ils réduisent le problème de la caractéristique 0 à la caractéristique $p$ en examinant la réduction modulo $p$ des représentations. Cela implique de comparer la correspondance de Langlands locale $p$-adique avec la correspondance de Langlands locale modulo $p$ (classification de Breuil), en distinguant les représentations supersingulières, les séries principales et les représentations de Steinberg.
4. Représentations localement analytiques : L'analyse des groupes $\text{Ext}^1$ repose sur la théorie des représentations localement analytiques développée par Schneider et Teitelbaum. Les auteurs utilisent la platitude fidèle de l'algèbre des distributions localement analytiques $D(G, E)$ sur l'algèbre d'Iwasawa $E[[G]]$ pour relever les extensions non décomposées du cadre lisse/localement analytique vers le cadre des espaces de Banach.

Contributions et résultats clés
L'article établit deux théorèmes d'annulation principaux pour les représentations locales ordinaires :

1. Théorème d'annulation global : Les auteurs prouvent que si $\rho_p$ est une représentation galoisienne ordinaire, réductible, non décomposée et potentiellement cristalline (avec des poids de Hodge-Tate distincts), la représentation de Langlands locale $p$-adique associée $\Pi(\rho_p)$ n'apparaît pas comme sous-représentation dans la cohomologie étale des courbes de Shimura de niveau fini. Plus précisément, $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', H^1_{\text{ét}}(Sh_n(U)^{an}, E)) = 0$. Ce résultat est obtenu en montrant que la cohomologie des courbes de Shimura est construite à partir de représentations de séries principales (via l'uniformisation), tandis que $\Pi(\rho_p)$ pour les cas ordinaires non décomposés est une extension de représentations de séries principales qui ne s'injecte pas dans la cohomologie en raison de la structure spécifique des duals impliqués.

2. Théorème d'annulation local : Pour le cadre local, les auteurs prouvent que pour toute sous-représentation $W$ de la cohomologie de la tour de Drinfeld (spécifiquement la partie associée à une représentation galoisienne résiduellement irréductible $V$), il n'existe aucune extension non triviale entre le dual de la représentation ordinaire $\Pi(\rho_p)'$ et $W$. Cela se manifeste par :

   • $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
   • $\text{Ext}^1_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
     La preuve repose sur le fait que $\Pi(\rho_p)$ (dans le cas ordinaire non décomposé) appartient à un « bloc » différent dans la catégorie des représentations que les représentations supersingulières qui constituent la partie pertinente de la cohomologie de la tour de Drinfeld. Puisque les extensions n'existent qu'au sein d'un même bloc, les groupes $\text{Ext}$ s'annulent.

Signification et affirmations
L'article affirme que ces résultats sont cohérents avec l'attente philosophique selon laquelle les représentations ordinaires ne devraient pas apparaître dans la partie « supersingulière » de la cohomologie. Les auteurs soulignent que leur travail fournit un résultat d'annulation rigoureux, local et global, pour les foncteurs $\text{Ext}$ dans le contexte des représentations ordinaires, réductibles et non décomposées, un cas qui avait été moins exploré précédemment par rapport au cadre résiduellement irréductible.

Les auteurs notent modestement que, bien qu'ils prouvent l'annulation pour le cas résiduellement irréductible, la situation pour les cas résiduellement réductibles pourrait différer. Dans la remarque 5.3, ils suggèrent que, au lieu d'une annulation, on pourrait s'attendre à des résultats de finitude dimensionnelle pour les groupes $\text{Ext}$ dans le cas résiduellement réductible, en s'appuyant sur des bornes dérivées de la théorie modulo $p$. Ils ne prétendent pas avoir résolu la question de la finitude dimensionnelle en caractéristique 0 pour le cas réductible, mais offrent une voie pour de futures investigations en utilisant les outils développés.

Le travail met également en évidence l'utilité du théorème de factorisation de Colmez-Dospinescu-Niziol pour décrire la cohomologie des tours de Drinfeld comme une représentation de $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, servant d'analogue local aux théorèmes de compatibilité locale-globale d'Emerton. Les résultats renforcent la séparation structurelle entre les phénomènes ordinaires et supersinguliers dans le programme de Langlands $p$-adique.