Ordinary local representations and $\Ext$ groups

Resumen Técnico: Representaciones Locales Ordinarias y Grupos Ext

Enunciado del Problema
El artículo aborda las propiedades estructurales de las correspondencias de Langlands locales $p$-ádicas para $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, centrándose específicamente en la interacción entre las representaciones de Galois locales ordinarias y sus representaciones asociadas de espacios de Banach unitarios admisibles, denotadas $\Pi(\rho_p)$. Si bien la correspondencia de Langlands local $p$-ádica establece una biyección para representaciones absolutamente irreducibles, el comportamiento de las representaciones ordinarias reducibles no descompuestas dentro de objetos aritméticos globales sigue siendo menos comprendido.

El problema central es determinar si estas representaciones ordinarias $\Pi(\rho_p)$ aparecen en la cohomología de variedades aritméticas específicas, a saber, torres de Drinfeld de nivel finito y curvas de Shimura. Además, los autores investigan la anulación o no anulación de los grupos de extensión ($\text{Ext}$) entre estas representaciones y otros componentes de la cohomología, particularmente en el contexto de la compatibilidad local-global. Una motivación específica citada es la pregunta de Chojecki sobre la generalización de resultados desde el caso residualmente irreducible al caso ordinario no descompuesto residualmente reducible.

Metodología
Los autores emplean una combinación de la teoría de Hodge $p$-ádica, la teoría de las torres de Drinfeld y la teoría de representaciones de grupos $p$-ádicos. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Configuración Geométrica: El estudio utiliza la uniformización $p$-ádica de las curvas de Shimura mediante torres de Drinfeld. Específicamente, el espacio analítico rígido de una curva de Shimura $Sh_n(U)^{an}$ se relaciona con la torre de Drinfeld $M_n$ a través del teorema de uniformización de Cerednik-Drinfeld. Esto permite a los autores relacionar la cohomología global de las curvas de Shimura con la cohomología local de las torres de Drinfeld.
2. Teorema de Factorización: Una herramienta técnica crítica es el teorema de factorización establecido por Colmez, Dospinescu y Niziol [19]. Este teorema describe la cohomología étale de la torre de Drinfeld como una representación de $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ descomponiéndola en una suma directa que involucra el dual de la representación de Langlands local $p$-ádica $\Pi(V)'$, anillos de Kisin y transferencias de Jacquet-Langlands.
3. Descomposición en Bloques y Reducción Mod $p$: Para analizar las extensiones, los autores utilizan la descomposición en bloques de Paskunas de la categoría de representaciones de espacios de Banach unitarios admisibles. Reducen el problema de característica 0 a característica $p$ examinando la reducción mod $p$ de las representaciones. Esto implica comparar la correspondencia de Langlands local $p$-ádica con la correspondencia de Langlands local mod $p$ (clasificación de Breuil), distinguiendo entre representaciones supersingulares, series principales y de Steinberg.
4. Representaciones Localmente Analíticas: El análisis de los grupos $\text{Ext}^1$ se basa en la teoría de representaciones localmente analíticas desarrollada por Schneider y Teitelbaum. Los autores utilizan la fidelidad plana del álgebra de distribuciones localmente analíticas $D(G, E)$ sobre el álgebra de Iwasawa $E[[G]]$ para elevar extensiones no descompuestas desde el contexto suave/localmente analítico de vuelta al contexto de espacios de Banach.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo establece dos teoremas de anulación primarios para representaciones locales ordinarias:

1. Teorema de Anulación Global: Los autores demuestran que si $\rho_p$ es una representación de Galois ordinaria, reducible, no descompuesta y potencialmente cristalina (con pesos de Hodge-Tate distintos), la representación de Langlands local $p$-ádica asociada $\Pi(\rho_p)$ no aparece como subrepresentación en la cohomología étale de curvas de Shimura de nivel finito. Específicamente, $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', H^1_{\text{ét}}(Sh_n(U)^{an}, E)) = 0$. Este resultado se deriva mostrando que la cohomología de las curvas de Shimura se construye a partir de representaciones de series principales (mediante la uniformización), mientras que $\Pi(\rho_p)$ para casos ordinarios no descompuestos es una extensión de representaciones de series principales que no se incrusta en la cohomología debido a la estructura específica de los duales involucrados.

2. Teorema de Anulación Local: Para el contexto local, los autores demuestran que para cualquier subrepresentación $W$ de la cohomología de la torre de Drinfeld (específicamente la parte asociada a una representación de Galois residualmente irreducible $V$), no existen extensiones no triviales entre el dual de la representación ordinaria $\Pi(\rho_p)'$ y $W$. Esto se manifiesta como:

   • $\text{Hom}_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
   • $\text{Ext}^1_{G}(\Pi(\rho_p)', W) = 0$
     La prueba se basa en el hecho de que $\Pi(\rho_p)$ (en el caso ordinario no descompuesto) pertenece a un "bloque" diferente en la categoría de representaciones que las representaciones supersingulares que constituyen la parte relevante de la cohomología de la torre de Drinfeld. Dado que las extensiones solo existen dentro del mismo bloque, los grupos $\text{Ext}$ se anulan.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que estos resultados son consistentes con la expectativa filosófica de que las representaciones ordinarias no deberían aparecer en la parte "supersingular" de la cohomología. Los autores enfatizan que su trabajo proporciona un resultado riguroso de anulación local y global para los functores $\text{Ext}$ en el contexto de representaciones ordinarias, reducibles y no descompuestas, un caso que previamente estaba menos explorado en comparación con el entorno residualmente irreducible.

Los autores notan modestamente que, aunque demuestran la anulación para el caso residualmente irreducible, la situación para los casos residualmente reducibles puede diferir. En la Observación 5.3, sugieren que, en lugar de anulación, uno podría esperar resultados de dimensión finita para los grupos $\text{Ext}$ en el caso residualmente reducible, basándose en cotas derivadas de la teoría mod $p$. No afirman haber resuelto la cuestión de la dimensión finita en característica 0 para el caso reducible, pero ofrecen una vía para futuras investigaciones utilizando las herramientas desarrolladas.

El trabajo también destaca la utilidad del teorema de factorización de Colmez-Dospinescu-Niziol para describir la cohomología de las torres de Drinfeld como una representación de $\text{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, sirviendo como un análogo local a los teoremas de compatibilidad local-global de Emerton. Los resultados refuerzan la separación estructural entre los fenómenos ordinarios y supersingulares en el programa de Langlands $p$-ádico.