$S$-arithmetic groups acting simply transitively on products of Bruhat-Tits trees

Sintesi Tecnica: Gruppi S-Aritmetici che Agiscono Simplicemente Transitivamente su Prodotti di Alberi di Bruhat–Tits

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una questione posta da Lubotzky riguardante l'esistenza di azioni semplicemente transitive da parte di gruppi $p$-aritmetici sui vertici di alberi di Bruhat–Tits. Sebbene Margulis e Lubotzky–Phillips–Sarnak (LPS) abbiano stabilito che certi gruppi aritmetici agiscono transitivamente su questi alberi, e che i sottogruppi di congruenza principale agiscano spesso in modo semplicemente transitivo, rimaneva aperto un metodo generale per costruire tali sottogruppi semplicemente transitivi per ordini massimali di numero di classe uno in algebre quaternioniche totalmente definite su campi numerici arbitrari.

Il problema si estende alle dimensioni superiori: la costruzione di reticoli $S$-aritmetici che agiscono semplicemente transitivamente su prodotti di alberi di Bruhat–Tits (specificamente, prodotti di alberi della stessa valenza). Tali azioni sono cruciali per generare grafi di Cayley Ramanujan e complessi cubici regolari di Cayley Ramanujan, che hanno applicazioni nella teoria della codifica e nello studio di reticoli che agiscono su prodotti di alberi (gruppi di Burger–Mozes).

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di classificazione aritmetica, teoria dei gruppi finiti e algebra computazionale per risolvere il problema.

1. Classificazione degli Ordini: Il lavoro si basa sulla classificazione delle algebre quaternioniche totalmente definite con ordini massimali di numero di classe uno, come enumerati da Kirschmer e Voight. Ciò fornisce un elenco finito di algebre su campi numerici di grado al massimo 5.
2. Tripli Complementari: L'innovazione tecnica centrale è l'introduzione di tripli complementari $(T, \pi, H)$.
   • $T$ è un insieme di primi ramificati.
   • $\pi$ è un omomorfismo iniettivo da un gruppo $T$-aritmetico $\Gamma_{O,T}$ in un gruppo finito $G$ (tipicamente una riduzione modulo un ideale $C$).
   • $H$ è un sottogruppo di $G$ complementare all'immagine $\pi(\Gamma_{O,T})$ (ovvero $H \cap \pi(\Gamma_{O,T}) = \{1\}$ e $H \cdot \pi(\Gamma_{O,T}) = G$).
   • L'esistenza di tale triplo permette la costruzione di un sottogruppo $\Gamma = \pi^{-1}(H)$ che agisce semplicemente transitivamente sui vertici del prodotto di alberi.
3. Computazioni su Gruppi Finiti: Gli autori utilizzano il sistema di algebra computazionale Magma per:
   • Enumerare le unità e i normalizzatori per gli ordini specifici nella classificazione Kirschmer–Voight.
   • Calcolare le rappresentazioni per permutazione dei quozienti finiti $G[C]$.
   • Ricercare sottogruppi complementari $H$ all'interno di questi gruppi finiti.
   • Verificare l'assenza di torsione utilizzando insiemi di ostacoli di torsione derivati da elementi di traccia nulla e norme ridotte.
4. Metacommutazione: Il saggio utilizza la teoria della metacommutazione (Chari) per derivare presentazioni esplicite per i reticoli risultanti, garantendo che possiedano la necessaria struttura di Cayley.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema A (Caso del Singolo Albero): Per ogni campo numerico totalmente reale $K$, algebra quaternionica totalmente definita $B/K$ e ordine massimale $O$ di numero di classe uno, esiste un reticolo aritmetico di congruenza $\Gamma$ commensurabile con $\Gamma_{O,p}$ che agisce semplicemente transitivamente sui vertici dell'albero di Bruhat–Tits $T(K_p)$ per tutti i primi ideali $p$, salvo un numero finito di essi. Ciò conferma affermativamente la domanda di Lubotzky per questa classe di ordini.
• Teorema B (Prodotto di Alberi): Il risultato è esteso ad ambiti $S$-aritmetici. Per ogni insieme finito di primi $S$ (disgiunto da un fissato insieme finito), esiste un reticolo di congruenza che agisce semplicemente transitivamente sul prodotto di alberi $T_{S_0} = \prod_{p \in S_0} T(K_p)$.
• Teorema C (Stessa Valenza): Gli autori costruiscono infiniti reticoli $S$-aritmetici derivati da algebre quaternioniche su campi numerici che agiscono semplicemente transitivamente su un prodotto di $n$ alberi della stessa valenza per $1 \leq n \leq 5$. Questo fornisce i primi esempi espliciti di gruppi aritmetici irriducibili con questa proprietà definiti su campi numerici (precedentemente noti solo in caratteristica positiva tramite Stix e Vdovina).
• Assenza di Torsione: Il saggio stabilisce criteri (Proposizione 43) per garantire che i reticoli costruiti siano privi di torsione, analizzando l'intersezione dell'immagine del gruppo con l'insieme delle norme ridotte di traccia nulla nei quozienti finiti. Il Teorema 50 dimostra che per le algebre di classe uno definite su $\mathbb{Q}$, esistono infiniti gruppi $S$-aritmetici privi di torsione derivanti da queste costruzioni.
• Presentazioni Esplicite: Il saggio fornisce presentazioni di gruppo esplicite per questi reticoli (ad esempio, Esempi 18 e 19), dimostrando come le relazioni di metacommutazione definiscano la struttura del gruppo.

Significatività
Il saggio rivendica significatività in diverse aree:

1. Risoluzione di un Problema Aperto: Risponde alla domanda di Lubotzky sull'esistenza di azioni semplicemente transitive per ordini massimali di numero di classe uno, un problema che era rimasto in gran parte aperto.
2. Nuovi Esempi di Oggetti Ramanujan: Le costruzioni producono infinite famiglie di nuovi grafi di Cayley Ramanujan e complessi cubici regolari di Cayley Ramanujan. Questi sono significativi nella teoria dei grafi spettrali e nello studio degli espansori ad alta dimensione.
3. Latiti Aritmetici su Prodotti di Alberi: Fornendo esempi su campi numerici dove i fattori dell'albero hanno la stessa valenza, il lavoro colma una lacuna nella teoria dei reticoli che agiscono su prodotti di alberi (gruppi di Burger–Mozes), che precedentemente si basava pesantemente su analoghi di campi funzione o casi specifici su $\mathbb{Q}$ con valenze differenti.
4. Classificazione Computazionale: Il saggio fornisce una classificazione computazionale completa dei tripli complementari minimi per i 49 ordini quaternionici totalmente definiti di numero di classe uno identificati da Kirschmer e Voight, servendo come risorsa fondamentale per la costruzione di tali gruppi.
5. Connessioni con Altri Campi: Gli autori notano la rilevanza di queste costruzioni per la uniformizzazione non archimediana di superfici complesse, lo studio dei subshift Ramanujan e lo sviluppo di codici a test locale quantistico senza perdite e potenziali codici a test locale (locally testable codes).

Il lavoro è presentato come una rigorosa costruzione aritmetica, che si basa sulla classificazione degli ordini e sulle computazioni di gruppi finiti, senza proporre nuovi protocolli sperimentali o applicazioni non verificate oltre alle connessioni stabilite con la teoria della codifica e gli espansori menzionate nell'introduzione.