$S$-arithmetic groups acting simply transitively on products of Bruhat-Tits trees

Resumen Técnico: Grupos S-aritméticos que actúan de forma simplemente transitiva en productos de árboles de Bruhat–Tits

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta planteada por Lubotzky sobre la existencia de acciones simplemente transitivas de grupos p-aritméticos en los vértices de árboles de Bruhat–Tits. Si bien Margulis y Lubotzky–Phillips–Sarnak (LPS) establecieron que ciertos grupos aritméticos actúan transitivamente en estos árboles, y que los subgrupos de congruencia principal suelen actuar de forma simplemente transitiva, un método general para construir tales subgrupos simplemente transitivos para órdenes máximos de número de clase uno en álgebras cuaternarias totalmente definidas sobre campos numéricos arbitrarios permanecía abierto.

El problema se extiende a dimensiones superiores: la construcción de retículos S-aritméticos que actúan de forma simplemente transitiva en productos de árboles de Bruhat–Tits (específicamente, productos de árboles de la misma valencia). Tales acciones son cruciales para generar grafos de Cayley Ramanujan y complejos cúbicos regulares de Cayley Ramanujan, los cuales tienen aplicaciones en la teoría de códigos y en el estudio de retículos que actúan sobre productos de árboles (grupos de Burger–Mozes).

Metodología
Los autores emplean una combinación de clasificación aritmética, teoría de grupos finitos y álgebra computacional para resolver el problema.

1. Clasificación de Órdenes: El trabajo se basa en la clasificación de álgebras cuaternarias totalmente definidas con órdenes máximos de número de clase uno, enumeradas por Kirschmer y Voight. Esto proporciona una lista finita de álgebras sobre campos numéricos de grado a lo sumo 5.
2. Triples Complementarios: La innovación técnica central es la introducción de triples complementarios $(T, \pi, H)$.
   • $T$ es un conjunto de primos ramificados.
   • $\pi$ es un homomorfismo inyectivo de un grupo aritmético $T$ hacia un grupo finito $G$ (típicamente una reducción módulo un ideal $C$).
   • $H$ es un subgrupo de $G$ complementario a la imagen $\pi(\Gamma_{O,T})$ (es decir, $H \cap \pi(\Gamma_{O,T}) = \{1\}$ y $H \cdot \pi(\Gamma_{O,T}) = G$).
   • La existencia de tal triple permite la construcción de un subgrupo $\Gamma = \pi^{-1}(H)$ que actúa de forma simplemente transitiva en los vértices del producto de árboles.
3. Computaciones de Grupos Finitos: Los autores utilizan el sistema de álgebra computacional Magma para:
   • Enumerar unidades y normalizadores para los órdenes específicos en la clasificación de Kirschmer–Voight.
   • Calcular representaciones de permutación de los cocientes finitos $G[C]$.
   • Buscar subgrupos complementarios $H$ dentro de estos grupos finitos.
   • Verificar la ausencia de torsión utilizando conjuntos de obstrucción de torsión derivados de elementos de traza cero y normas reducidas.
4. Metacommutación: El artículo utiliza la teoría de la metocommutación (Chari) para derivar presentaciones explícitas para los retículos resultantes, asegurando que posean la estructura de Cayley necesaria.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema A (Caso de un solo Árbol): Para cualquier campo numérico totalmente real $K$, álgebra cuaternaria totalmente definida $B/K$, y orden máximo $O$ de número de clase uno, existe un retículo aritmético de congruencia $\Gamma$ conmensurable con $\Gamma_{O,p}$ que actúa de forma simplemente transitiva en los vértices del árbol de Bruhat–Tits $T(K_p)$ para todos los ideales primos $p$, excepto para un conjunto finito de ellos. Esto confirma afirmativamente la pregunta de Lubotzky para esta clase de órdenes.
• Teorema B (Producto de Árboles): El resultado se extiende a entornos S-aritméticos. Para cualquier conjunto finito de primos $S$ (disjunto de un conjunto finito fijo), existe un retículo de congruencia que actúa de forma simplemente transitiva en el producto de árboles $T_{S_0} = \prod_{p \in S_0} T(K_p)$.
• Teorema C (Misma Valencia): Los autores construyen infinitos retículos S-aritméticos derivados de álgebras cuaternarias sobre campos numéricos que actúan de forma simplemente transitiva en un producto de $n$ árboles de la misma valencia para $1 \leq n \leq 5$. Esto proporciona los primeros ejemplos explícitos de grupos aritméticos irreducibles con esta propiedad definidos sobre campos numéricos (previamente conocidos solo en característica positiva por Stix y Vdovina).
• Ausencia de Torsión: El artículo establece criterios (Proposición 43) para asegurar que los retículos construidos estén libres de torsión mediante el análisis de la intersección de la imagen del grupo con el conjunto de normas reducidas de traza cero en los cocientes finitos. El Teorema 50 demuestra que para álgebras de número de clase uno definidas sobre $\mathbb{Q}$, existen infinitos grupos S-aritméticos libres de torsión que surgen de estas construcciones.
• Presentaciones Explícitas: El artículo proporciona presentaciones de grupo explícitas para estos retículos (por ejemplo, Ejemplos 18 y 19), demostrando cómo las relaciones de metocommutación definen la estructura del grupo.

Significancia
El artículo afirma su significancia en varias áreas:

1. Resolución de un Problema Abierto: Responde a la pregunta de Lubotzky sobre la existencia de acciones simplemente transitivas para órdenes máximos de número de clase uno, un problema que había permanecido mayormente abierto.
2. Nuevos Ejemplos de Objetos Ramanujan: Las construcciones producen familias infinitas de nuevos grafos de Cayley Ramanujan y complejos cúbicos regulares de Cayley Ramanujan. Estos son significativos en la teoría espectral de grafos y en el estudio de expandidores de alta dimensión.
3. Retículos Aritméticos en Productos de Árboles: Al proporcionar ejemplos sobre campos numéricos donde los factores de los árboles tienen la misma valencia, el trabajo llena un vacío en la teoría de retículos que actúan sobre productos de árboles (grupos de Burger–Mozes), que anteriormente dependían fuertemente de análogos de campos de funciones o casos específicos sobre $\mathbb{Q}$ con valencias diferentes.
4. Clasificación Computacional: El artículo proporciona una clasificación computacional completa de los triples complementarios mínimos para los 49 álgebras cuaternarias totalmente definidas de número de clase uno identificadas por Kirschmer y Voight, sirviendo como un recurso fundamental para la construcción de tales grupos.
5. Conexiones con Otros Campos: Los autores señalan la relevancia de estas construcciones para la uniformización no arquimediana de superficies complejas, el estudio de subprocesos Ramanujan y el desarrollo de códigos cuánticos localmente testables sin pérdida y expandidores de vértices sin pérdida.

El trabajo se presenta como una construcción aritmética rigurosa, que depende de la clasificación de órdenes y computaciones de grupos finitos, sin proponer nuevos protocolos experimentales o aplicaciones no verificadas más allá de las conexiones establecidas con la teoría de códigos y expandidores mencionadas en la introducción.