$S$-arithmetic groups acting simply transitively on products of Bruhat-Tits trees

Resumo Técnico: Grupos S-Aritméticos Agindo Simplesmente Transitivamente em Produtos de Árvores de Bruhat–Tits

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão colocada por Lubotzky a respeito da existência de ações simplesmente transitivas de grupos p-aritméticos nos vértices de árvores de Bruhat–Tits. Embora Margulis e Lubotzky–Phillips–Sarnak (LPS) tenham estabelecido que certos grupos aritméticos agem transitivamente nessas árvores, e que subgrupos de congruência principal frequentemente agem simplesmente transitivamente, um método geral para construir tais subgrupos simplesmente transitivos para ordens maximais de classe um em álgebras de quatérnios totalmente definidas sobre campos numéricos arbitrários permanecia em aberto.

O problema estende-se para dimensões superiores: a construção de reticulados S-aritméticos que agem simplesmente transitivamente em produtos de árvores de Bruhat–Tits (especificamente, produtos de árvores da mesma valência). Tais ações são cruciais para gerar grafos de Cayley Ramanujan e complexos cúbicos regulares de Cayley Ramanujan, que possuem aplicações em teoria de códigos e no estudo de reticulados que agem em produtos de árvores (grupos de Burger–Mozes).

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de classificação aritmética, teoria de grupos finitos e álgebra computacional para resolver o problema.

1. Classificação de Ordens: O trabalho baseia-se na classificação de álgebras de quatérnios totalmente definidas com ordens maximais de classe um, conforme enumeradas por Kirschmer e Voight. Isso fornece uma lista finita de álgebras sobre campos numéricos de grau no máximo 5.
2. Triplas Complementares: A inovação técnica central é a introdução de triplas complementares $(T, \pi, H)$.
   • $T$ é um conjunto de primos ramificados.
   • $\pi$ é um homomorfismo injetivo de um grupo $T$-aritmético $\Gamma_{O,T}$ em um grupo finito $G$ (tipicamente uma redução módulo um ideal $C$).
   • $H$ é um subgrupo de $G$ complementar à imagem $\pi(\Gamma_{O,T})$ (ou seja, $H \cap \pi(\Gamma_{O,T}) = \{1\}$ e $H \cdot \pi(\Gamma_{O,T}) = G$).
   • A existência de tal tripla permite a construção de um subgrupo $\Gamma = \pi^{-1}(H)$ que age simplesmente transitivamente nos vértices do produto de árvores.
3. Computações de Grupos Finitos: Os autores utilizam o sistema de álgebra computacional Magma para:
   • Enumerar unidades e normalizadores para as ordens específicas na classificação de Kirschmer–Voight.
   • Computar representações de permutação das cotas finitas $G[C]$.
   • Buscar subgrupos complementares $H$ dentro desses grupos finitos.
   • Verificar a ausência de torção utilizando conjuntos de obstrução de torção derivados de elementos de traço zero e normas reduzidas.
4. Metocomutação: O artigo utiliza a teoria da metocomutação (Chari) para derivar apresentações explícitas para os reticulados resultantes, garantindo que possuam a estrutura de Cayley necessária.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema A (Caso de Árvore Única): Para qualquer campo numérico totalmente real $K$, álgebra de quatérnios totalmente definida $B/K$ e ordem maximal de classe um, existe um reticulado aritmético de congruência $\Gamma$ comensurável com $\Gamma_{O,p}$ que age simplesmente transitivamente nos vértices da árvore de Bruhat–Tits $T(K_p)$ para todos os primos ideais $p$, exceto para um conjunto finito deles. Isso confirma a questão de Lubotzky afirmativamente para esta classe de ordens.
• Teorema B (Produto de Árvores): O resultado é estendido para configurações S-aritméticas. Para qualquer conjunto finito de primos $S$ (disjunto de um conjunto fixo finito), existe um reticulado de congruência agindo simplesmente transitivamente no produto de árvores $T_{S_0} = \prod_{p \in S_0} T(K_p)$.
• Teorema C (Mesma Valência): Os autores constroem infinitos reticulados S-aritméticos derivados de álgebras de quatérnios sobre campos numéricos que agem simplesmente transitivamente em um produto de $n$ árvores da mesma valência para $1 \leq n \leq 5$. Isso fornece os primeiros exemplos explícitos de grupos aritméticos irredutíveis com esta propriedade definidos sobre campos numéricos (previamente conhecidos apenas em característica positiva por Stix e Vdovina).
• Ausência de Torção: O artigo estabelece critérios (Proposição 43) para garantir que os reticulados construídos sejam livres de torção, analisando a interseção da imagem do grupo com o conjunto de normas reduzidas de traço zero em cotas finitas. O Teorema 50 prova que, para álgebras de classe um definidas sobre $\mathbb{Q}$, existem infinitos grupos S-aritméticos livres de torção originados destas construções.
• Apresentações Explícitas: O artigo fornece apresentações de grupo explícitas para estes reticulados (por exemplo, Exemplos 18 e 19), demonstrando como as relações de metocomutação definem a estrutura do grupo.

Significância
O artigo afirma significância em várias áreas:

1. Resolução de um Problema Aberto: Responde à questão de Lubotzky sobre a existência de ações simplesmente transitivas para ordens maximais de classe um, um problema que permanecia amplamente em aberto.
2. Novos Exemplos de Objetos Ramanujan: As construções geram famílias infinitas de novos grafos de Cayley Ramanujan e complexos cúbicos regulares de Cayley Ramanujan. Estes são significativos na teoria espectral de grafos e no estudo de expansores de alta dimensão.
3. Reticulados Aritméticos em Produtos de Árvores: Ao fornecer exemplos sobre campos numéricos onde os fatores de árvore possuem a mesma valência, o trabalho preenche uma lacuna na teoria de reticulados agindo em produtos de árvores (grupos de Burger–Mozes), que anteriormente dependiam fortemente de análogos de campos de funções ou casos específicos sobre $\mathbb{Q}$ com valências distintas.
4. Classificação Computacional: O artigo fornece uma classificação computacional completa de triplas complementares mínimas para as 49 álgebras de quatérnios totalmente definidas de classe um identificadas por Kirschmer e Voight, servindo como um recurso fundamental para a construção de tais grupos.
5. Conexões com Outros Campos: Os autores observam a relevância destas construções para a uniformização não arquimediana de superfícies complexas, o estudo de subshifts Ramanujan e o desenvolvimento de códigos de teste local quântico sem perdas (lossless vertex expanders).

O trabalho é apresentado como uma construção aritmética rigorosa, baseando-se na classificação de ordens e em computações de grupos finitos, sem propor novos protocolos experimentais ou aplicações não verificadas além das conexões estabelecidas com a teoria de códigos e expansores mencionadas na introdução.