Density of weak solutions of the fractional Navier-Stokes equations in the smooth divergence-free vector fields

Sintesi Tecnica: Densità delle Soluzioni Deboli delle Equazioni di Navier-Stokes Fratte nei Campi Vettoriali Lisci a Divergenza Nulla

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta il problema della non-unicità per le soluzioni deboli delle equazioni di Navier-Stokes fratte sul toro $d$-dimensionale $\mathbb{T}^d$:
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div } v = 0 \end{cases}$$
dove $\theta \geq 0$ è l'esponente di dissipazione frazionaria. Mentre il caso classico ($\theta=1$) ha visto progressi significativi riguardo alla non-unicità tramite l'integrazione convessa, il caso frazionario presenta sfide specifiche. La presenza del termine Laplaciano frazionario $(-\Delta)^\theta v$ complica il controllo dello stress di Reynolds rispetto al caso di Euler, in particolare quando si tenta di costruire soluzioni con specifiche proprietà di regolarità sia nello spazio che nel tempo. Tuttavia, è importante notare che l'integrazione convessa diventa generalmente più facile al diminuire di $\theta$. Il caso $\theta=0$ corrisponde alle equazioni di Navier-Stokes fratte con esponente zero, che mantengono il termine di dissipazione e non coincidono con le equazioni di Euler inviscide.

L'obiettivo primario è estendere i risultati di non-unicità di Cheskidov e Luo (specificamente il loro teorema di densità per le soluzioni $L^1_t W^{1,q}_x$ delle equazioni classiche di Navier-Stokes) al caso frazionario. L'articolo mira a stabilire un "meta-teorema" che dimostri come i campi vettoriali lisci e a divergenza nulla possano essere approssimati arbitrariamente da soluzioni deboli con classi di regolarità prescritte $L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$, dove i parametri $p, s, q, \gamma$ sono vincolati e limitati dall'esponente frazionario $\theta$ e dalle reciproche relazioni tra di essi, entro specifici intervalli di validità.

Metodologia
La dimostrazione si basa su uno schema di integrazione convessa adattato da lavori precedenti sulle equazioni di Euler e Navier-Stokes (in particolare [2], [4] e [5]). La metodologia è strutturata in uno schema iterativo che prevede due fasi principali:

1. Concentrazione dell'Errore di Stress (Gluing/Incollamento):
   Data una soluzione liscia $(u, R)$ del sistema Navier-Stokes-Reynolds frazionario, l'intervallo temporale $[0, T]$ è suddiviso in piccoli intervalli $I_i$. Su ogni intervallo, viene costruito un correttore $v_i$ per risolvere l'equazione della differenza centrata in $(u, R)$, rendendo efficacemente $u + v_i$ una soluzione esatta su $I_i$. Una funzione di cutoff netta $\chi_i$ viene applicata a questi correttori per incollarli tra loro. Questo processo concentra l'errore di stress $R$ sui confini dei sotto-intervalli, risultando in una nuova soluzione in cui lo stress è supportato su un insieme di piccola misura temporale. Questa fase assicura che la soluzione finale abbia un insieme singolare di piccola dimensione di Hausdorff.

2. Integrazione Convessa Spazio-Temporale:
   Per ridurre la dimensione dell'errore di stress concentrato, viene aggiunta una perturbazione $w$ alla soluzione incollata. Questa perturbazione è costruita utilizzando:

   • Flussi Mikado Stazionari: Blocchi costruttivi spaziali ($W_k$) supportati su cilindri periodici, introdotti in [7], che permettono una concentrazione spaziale $(d-1)$-dimensionale.
   • Funzioni Temporali Intermittenti: Oscillazioni dipendenti dal tempo ($g_\kappa, h_\kappa$) che modulano i blocchi spaziali.

   La perturbazione $w$ è decomposta in una parte principale $w^{(p)}$, un correttore $w^{(c)}$ per garantire l'incomprimibilità, e un correttore temporale $w^{(t)}$. La progettazione di questi componenti bilancia i termini spaziali e temporali ad alta frequenza contro lo stress di Reynolds. Una caratteristica tecnica chiave di questo articolo è l'uso dell' "integrazione convessa nel tempo", che permette di bilanciare i termini ad alta frequenza temporale senza richiedere vincoli di oscillazione aggiuntivi, consentendo così la costruzione di soluzioni con specifica regolarità $L^s_t$.

Contributi Chiave e Risultati
L'articolo stabilisce il Teorema 1.2.1, che fornisce un insieme completo di condizioni sui parametri $p, q, s, \gamma, \theta$ (e dimensione $d$) sotto le quali il meta-teorema è valido. Nello specifico, per qualsiasi campo iniziale liscio e a divergenza nulla, esiste una soluzione debole $u$ che è $\epsilon$-vicina al campo iniziale nella topologia $L^p_t L^\infty_x \cap L^1_t W^{1,q}_x$, soddisfacendo al contempo:

• $u \in L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$.
• $u$ è liscia su un'unione di intervalli aperti $I \subset [0, T]$ tali che il complemento (l'insieme singolare) abbia dimensione di Hausdorff $\leq \epsilon$.
• $u$ coincide esattamente con il campo iniziale al tempo $t=0$; inoltre, per tempi piccoli $t>0$, $u$ coincide con la soluzione liscia derivante dal dato iniziale del campo di partenza, e non con il campo di partenza stesso.

Il Corollario 1.2.1 dettaglia esplicitamente gli intervalli di validità per questi parametri. I risultati indicano un compromesso tra regolarità temporale e spaziale. Ad esempio:

• Se $\gamma < 1$, il meta-teorema è valido per vari intervalli di $q$ e $s$ a seconda di $p$.
• L'articolo recupera ed estende i risultati precedenti, come la non-unicità $L^1_t W^{1,q}_x$ per $\theta=1$ (Cheskidov-Luo) e li estende a $\theta$ frazionario e diverse classi di integrabilità temporale $L^s_t$.

La dimostrazione prevede una scelta delicata dei parametri (Sezione 6) per soddisfare un sistema di disuguaglianze derivate dalle leggi di scala dei flussi Mikado e dalle oscillazioni temporali. Gli autori dimostrano che, per scelte appropriate della frequenza spaziale $\sigma$, della frequenza temporale $\nu$, dei parametri di concentrazione $\mu, \kappa$ e dell'oscillazione $\nu$, i termini di errore possono essere resi arbitrariamente piccoli.

Significato
L'articolo sostiene di estendere il panorama della non-unicità per le equazioni di Navier-Stokes fratte. Generalizzando il risultato di densità di Cheskidov e Luo dal caso classico ($\theta=1$) al caso frazionario ($\theta \in [1/2, 1]$) e ampliando l'integrabilità temporale da $L^1_t$ a $L^s_t$, il lavoro dimostra che l'ostacolo alla unicità non è dovuto esclusivamente alla natura specifica del Laplaciano, ma persiste nel regime frazionario.

Il significato risiede nella capacità di costruire soluzioni deboli che sono lisce quasi ovunque (nel senso della dimensione di Hausdorff) ma che non sono uniche, anche quando vincolate a specifiche classi di regolarità di Sobolev. Ciò contribuisce alla comprensione dei fenomeni di tipo "congettura di Onsager" nei sistemi dissipativi, mostrando che anche con la dissipazione frazionaria, la disuguaglianza dell'energia (ammissibilità) non è sufficiente a garantire l'unicità per soluzioni con bassa regolarità. L'articolo non pretende di risolvere l'unicità delle soluzioni di Leray-Hopf (che soddisfano la disuguaglianza dell'energia), quanto piuttosto si concentra sulla classe più ampia di soluzioni deboli distributive, evidenziando i limiti delle attuali teorie di regolarità nel garantire l'unicità.