Density of weak solutions of the fractional Navier-Stokes equations in the smooth divergence-free vector fields

技术摘要：分数阶 Navier-Stokes 方程在光滑无散向量场中的弱解密度问题

问题陈述
本文研究了 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ 上分数阶 Navier-Stokes 方程弱解非唯一性的问题：
\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div } v = 0 end{cases}
其中 $\theta \geq 0$ 是分数阶耗散指数。虽然经典情形（$\theta=1$）和无粘 Euler 方程在通过凸积分法（convex integration）研究非唯一性方面已取得了显著进展，但分数阶情形提出了特定的挑战。分数阶拉普拉斯项 $(-\Delta)^\theta v$ 的存在使得控制雷诺应力（Reynolds stress）变得更加复杂，尤其是在试图构造具有特定时空正则性属性的解时。值得注意的是，与 Euler 情形相比，凸积分方法通常随着 $\theta$ 的降低而变得更容易实施。

主要目标是将 Cheskidov 和 Luo 的非唯一性结果（特别是他们关于经典 Navier-Stokes 方程 $L^1_t W^{1,q}_x$ 解的密度定理）推广到分数阶情形。本文旨在建立一个“元定理”（meta-theorem），证明光滑、无散向量场可以被具有指定正则性类 $L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$ 的弱解任意紧密地逼近，其中参数 $p, s, q, \gamma$ 受分数阶指数 $\theta$ 的限制，并且这些参数之间也相互制约，在一定范围内存在多种可能的组合。

方法论
证明依赖于一种从以往 Euler 和 Navier-Stokes 方程研究工作中改编而来的凸积分方案（显著参见 [2], [4], [5]）。该方法由两个主要步骤组成的迭代方案构成：

1. 应力误差集中（粘合）：
   给定分数阶 Navier-Stokes-Reynolds 系统的光滑解 $(u, R)$，将时间区间 $[0, T]$ 划分为小区间 $I_i$。在每个区间上，构造一个修正项 $v_i$ 来求解以 $(u, R)$ 为中心的差分方程，从而有效地使 $u + v_i$ 在 $I_i$ 上成为精确解。通过对这些修正项应用一个尖锐的截断函数 $\chi_i$ 将其粘合在一起。这一过程将应力误差 $R$ 集中在子区间的边界上，从而产生一个新的解，其应力仅支撑在小测度的时间集上。这一步确保了最终解具有小 Hausdorff 维数的奇异集。

2. 时空凸积分：
   为了减小集中应力误差的大小，在粘合后的解中加入一个扰动项 $w$。该扰动项利用以下工具构造：

   • 静态 Mikado 流（Stationary Mikado Flows）： 在 [7] 中引入的、支撑在周期性圆柱体上的空间构建模块（$W_k$），允许进行 $(d-1)$ 维的空间集中。
   • 间歇性时间函数（Intermittent Temporal Functions）： 调制空间模块的时间相关振荡（$g_\kappa, h_\kappa$）。

   扰动项 $w$ 被分解为主部 $w^{(p)}$、确保不可压缩性的修正项 $w^{(c)}$ 以及时间修正项 $w^{(t)}$。这些组件的设计旨在平衡高频空间项、时间项与雷诺应力之间的关系。本文的一个关键技术特征是使用了“时间凸积分”，它允许在不需要额外振荡约束的情况下平衡高频时间项，从而能够构造具有特定 $L^s_t$ 正则性的解。

主要贡献与结果
本文建立了 定理 1.2.1，该定理为使元定理成立的参数 $p, q, s, \gamma, \theta$（以及维度 $d$）提供了一套完整的条件。具体而言，对于任何光滑的无散起始场，存在一个弱解 $u$，在 $L^p_t L^\infty_x \cap L^1_t W^{1,q}_x$ 拓扑下与起始场 $\epsilon$-接近，同时满足：

• $u \in L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$。
• $u$ 在开区间并集 $I \subset [0, T]$ 上是光滑的，且其补集（奇异集）的 Hausdorff 维数 $\leq \epsilon$。
• $u$ 在 $t=0$ 时刻与起始场完全一致；而在 $t=0$ 附近（对于小的 $t>0$），$u$ 与由该光滑起始场作为初始数据产生的光滑解一致，而非直接与起始场本身一致。

推论 1.2.1 详细说明了这些参数的有效范围。结果表明了时间正则性与空间正则性之间的权衡。例如：

• 若 $\gamma < 1$，则元定理对于取决于 $p$ 的各种 $q$ 和 $s$ 的范围均成立。
• 本文恢复并扩展了先前的结果，例如 $\theta=1$ 时的 $L^1_t W^{1,q}_x$ 非唯一性（Cheskidov-Luo），并将其推广到分数阶 $\theta$ 和不同的时间可积类 $L^s_t$。

证明过程涉及精细的参数选择（第 6 节），以满足由 Mikado 流和时间振荡的标度律（scaling laws）导出的不等式组。作者证明，通过适当选择空间频率 $\sigma$、时间频率 $\nu$、集中参数 $\mu, \kappa$ 以及振荡 $\nu$，可以使误差项变得任意小。

意义
本文声称扩展了分数阶 Navier-Stokes 方程的非唯一性图景。通过将 Cheskidov 和 Luo 的密度结果从经典情形（$\theta=1$）推广到分数阶情形（$\theta \in [1/2, 1]$），并将时间可积性从 $L^1_t$ 扩大到 $L^s_t$，这项工作表明，非唯一性的障碍并非仅仅源于拉普拉斯算子的特定性质，而是持续存在于分数阶范畴内。

其意义在于能够构造出几乎处处光滑（就 Hausdorff 维数而言）但却不具备唯一性的弱解，即使在受到特定 Sobolev 正则类限制时也是如此。这有助于理解耗散系统中“Onsager 猜想”类型的现象，表明即使存在分数阶耗散，能量不等式（容许性）也不足以保证低正则性解的唯一性。本文并非声称解决了 Leray-Hopf 解（满足能量不等式的解）的唯一性问题，而是侧重于更广泛的分布弱解类，强调了当前正则性理论在确保唯一性方面的局限性。