Density of weak solutions of the fractional Navier-Stokes equations in the smooth divergence-free vector fields

技術的要約：滑らかな非圧縮ベクトル場における分数型ナビエ・ストークス方程式の弱解の密度

問題設定
本論文は、$d$次元トーラス $\mathbb{T}^d$ 上の分数型ナビエ・ストークス方程式における弱解の非一意性の問題に取り組む：
$$\begin{cases} \partial_t v + \text{div}(v \otimes v) + \nabla p + (-\Delta)^\theta v = 0 \\ \text{div } v = 0 \end{cases}$$
ここで $\theta \geq 0$ は分数型散逸指数である。古典的なナビエ・ストークス方程式 ($\theta=1$) および分数型ナビエ・ストークス方程式の $\theta=0$ のケース（これは散逸項 $(-\Delta)^0 v = v$ を含むため、非粘性オイラー方程式とは異なる）に関しては、凸積分法（convex integration）による非一意性の研究において顕著な進展が見られる。分数型ラプラシアン項 $(-\Delta)^\theta v$ の存在は、特に空間と時間の両方において特定の正則性特性を持つ解を構成しようとする際、レイノルズ応力の制御を困難にする。しかし、一般的に $\theta$ が小さいほど、凸積分の適用は容易になる傾向がある。

主な目的は、CheskidovとLuoによる非一意性の結果（具体的には、古典的なナビエ・ストークス方程式の $L^1_t W^{1,q}_x$ 解に関する密度定理）を分数型のケースへと拡張することである。本論文は、滑らかな非圧縮ベクトル場が、指定された正則性クラス $L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$ を持つ弱解によって任意に近く近似可能であることを示す「メタ定理」を確立することを目指している。ここで、パラメータ $p, s, q, \gamma$ は分数指数 $\theta$ によって決定されるのではなく、$\theta$ および互いの関係によって制限・制約される範囲内にある。

手法
証明は、オイラー方程式およびナビエ・ストークス方程式に関する先行研究（特に [2], [4], [5]）から適応した凸積分スキームに基づいている。手法は、主に2つのステップを含む反復スキームで構成されている：

1. 応力誤差の集中（接着 / Gluing）：
   分数型ナビエ・ストークス・レイノルズ系に対する滑らかな解 $(u, R)$ が与えられたとき、時間区間 $[0, T]$ を小さな区間 $I_i$ に分割する。各区間において、$(u, R)$ を中心とする差分方程式を解くための補正項 $v_i$ が構成され、実質的に $u + v_i$ が $I_i$ 上の厳密解となる。これらの補正項を接着するために、鋭いカットオフ関数 $\chi_i$ が適用される。このプロセスは、応力誤差 $R$ を部分区間の境界へと集中させ、応力が小さな時間測度を持つ集合上にサポートされる新しい解をもたらす。このステップにより、最終的な解が小さなハウスドルフ次元の特異集合を持つことが保証される。

2. 時空凸積分（Space-Time Convex Integration）：
   集中した応力誤差のサイズを減少させるために、接着された解に摂動 $w$ が加えられる。この摂動は以下の要素を用いて構成される：

   • 定常ミカド流（Stationary Mikado Flows）： [7] で導入された、周期的なシリンダー上にサポートされる空間的な構成要素 ($W_k$) であり、$(d-1)$ 次元の空間的集中を可能にする。
   • 間欠的な時間関数（Intermittent Temporal Functions）： 空間ブロックを変調する時間依存の振動 ($g_\kappa, h_\kappa$)。

   摂動 $w$ は、主成分 $w^{(p)}$、非圧縮性を保証するための補正項 $w^{(c)}$、および時間的補正項 $w^{(t)}$ に分解される。これらの構成要素の設計は、高周波の空間項および時間項と、レイノルズ応力とのバランスを取るものである。本論文の重要な技術的特徴は「時間における凸積分（convex integration in time）」の使用であり、これにより、追加の振動制約を必要とせずに高周波の時間項のバランスを取ることが可能となり、特定の $L^s_t$ 正則性を持つ解の構成が可能となる。

主な貢献と結果
本論文は、メタ定理が成立するためのパラメータ $p, q, s, \gamma, \theta$（および次元 $d$）に関する包括的な条件を提示する定理 1.2.1 を確立している。具体的には、任意の滑らかな非圧縮の初期場に対して、$L^p_t L^\infty_x \cap L^1_t W^{1,q}_x$ トポロジーにおいて初期場に $\epsilon$-近い弱解 $u$ が存在し、かつ以下の条件を満たす：

• $u \in L^p_t L^\infty_x \cap L^s_t W^{\gamma, q}_x$。
• $u$ は、その補集合（特異集合）のハウスドルフ次元が $\leq \epsilon$ であるような開区間の和集合 $I \subset [0, T]$ 上で滑らかである。
• $u$ は $t=0$ において初期場と正確に一致し、$t=0$ の近傍（小さな $t>0$）では、その初期データから生じる滑らかな解と一致する。

系 1.2.1 は、これらのパラメータの有効範囲を明示している。結果は、時間と空間の正則性の間のトレードオフを示している。例えば：

• $\gamma < 1$ の場合、メタ定理は $p$ に依存する様々な $q$ および $s$ の範囲に対して成立する。
• 本論文は、$\theta=1$ における $L^1_t W^{1,q}_x$ の非一意性（Cheskidov-Luo）などの先行研究を回収・拡張し、これらを分数型 $\theta$ および異なる時間可積分クラス $L^s_t$ へと拡張している。

証明には、ミカド流と時間振動のスケール則から導かれる不等式系を満たすための、精緻なパラメータ選択（セクション6）が含まれる。著者らは、空間周波数 $\sigma$、時間周波数 $\nu$、集中パラメータ $\mu, \kappa$、および振動 $\nu$ を適切に選択することで、誤差項を任意に小さくできることを示している。

意義
本論文は、分数型ナビエ・ストークス方程式における非一意性の領域を拡張したと主張している。CheskidovとLuoによる古典的なケース ($\theta=1$) からの密度結果を分数型のケース ($\theta \in [1/2, 1]$) へと一般化し、時間可積分性を $L^1_t$ から $L^s_t$ へと広げることで、一意性に対する障害がラプラシアンの特定の性質によるものだけでなく、分数型の領域においても持続することを実証している。

その意義は、ハウスドルフ次元の意味でほとんど至る所で滑らかでありながら、特定のソボレフ正則性クラスに制約されている場合でも一意性を失う弱解を構成できる能力にある。これは、散逸系における「オンサジャー予想」型の現象の理解に寄与するものであり、分数型散逸が存在する場合でも、エネルギー不等式（許容性）は低正則性の解の一意性を保証するには不十分であることを示している。本論文は、レレイ・ホップ解（エネルギー不等式を満たすもの）の一意性を解決することを主張しているのではなく、むしろより広い分布論的な弱解のクラスに焦点を当て、一意性を確保する上での現在の正則性理論の限界を浮き彫りにしている。