Sylvester domains and pro-$p$ groups

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel campo della teoria dei gruppi pro-$p$ e dell'algebra non commutativa. L'obiettivo principale è determinare per quali gruppi pro-$p$ $G$ l'algebra di gruppo completata $\mathbb{F}_p[[G]]$ (su un campo finito di caratteristica $p$) costituisce un dominio di Sylvester.

Un dominio di Sylvester è un anello $R$ in cui la funzione "rango interno" (inner rank, denotata $irk_R$) delle matrici su $R$ soddisfa le proprietà di una funzione di rango di Sylvester. Questa proprietà è cruciale perché garantisce l'esistenza di un anello di frazioni universale (un campo di divisione) $D_R$ in cui $R$ si immerge, tale che il rango di una matrice su $D_R$ coincida con il suo rango interno su $R$.

Il problema specifico affrontato dagli autori riguarda i gruppi pro-$p$ che sono virtuosamente liberi-ciclici (ossia, contengono un sottogruppo aperto che è un'estensione di un gruppo libero pro-$p$ per $\mathbb{Z}_p$). In particolare, si indaga se per tali gruppi valga l'uguaglianza tra il rango di Sylvester indotto dal gruppo ($rk_G$) e il rango interno dell'algebra ($irk_{\mathbb{F}_p[[G]]}$), risolvendo così casi specifici della congettura di Atiyah pro-$p$.

2. Metodologia e Strumenti Principali

Gli autori adottano un approccio che combina algebra omologica, teoria dei gruppi pro-$p$ e strutture di anelli filtrati. La metodologia si articola nei seguenti punti chiave:

• Decomposizione come Anelli di Serie di Potenze Skew:
  A differenza del caso dei gruppi astratti (dove l'algebra di un gruppo libero-ciclico è un prodotto incrociato $K[N] * \mathbb{Z}$), nel contesto pro-$p$ tale decomposizione non esiste direttamente. Gli autori superano questo ostacolo dimostrando che, se $G$ è un gruppo pro-$p$ libero-ciclico con nucleo libero $N$, l'algebra $\mathbb{F}_p[[G]]$ è isomorfa a un anello di serie di potenze skew (o anello di Ore skew) della forma:
  $$\mathbb{F}_p[[G]] \cong \mathbb{F}_p[[N]][[s; \sigma, \delta]]$$
  dove $\sigma$ è un automorfismo di coniugazione e $\delta$ è una derivazione interna.

• Presentazioni "Mild Flag":
  Viene introdotta e studiata la classe dei gruppi pro-$p$ con presentazioni "mild flag". Questi sono gruppi che ammettono una presentazione specifica in cui le relazioni hanno una struttura gerarchica (flag) che garantisce proprietà di "libertà forte" (strongly free). Gli autori dimostrano che ogni gruppo pro-$p$ libero-ciclico finitamente generato contiene un sottogruppo aperto con una tale presentazione.

• Immersioni in Campi di Divisione:
  La strategia centrale consiste nell'immersione dell'algebra $\mathbb{F}_p[[G]]$ in un campo di divisione $Q$. Questo viene fatto attraverso una catena di immersioni:

  1. Si parte dall'algebra $\mathbb{F}_p[[N]]$ e la si immerge in un'algebra di serie di potenze su un'algebra libera $\Lambda[[t]]$.
  2. Si estende l'automorfismo $\sigma$ e la derivazione $\delta$ a questo nuovo anello.
  3. Si passa al campo di frazioni universale $D$ dell'algebra libera $\Lambda$.
  4. Si costruisce l'anello $D[[t]][[s; \sigma, \delta]]$ e si dimostra che è un dominio Noetheriano, ammettendo quindi un anello di frazioni classico $Q$.

• Criteri Omologici (Teorema 2.8):
  Per provare che $\mathbb{F}_p[[G]]$ è un dominio di Sylvester, gli autori verificano le condizioni del Teorema 2.8 (precedentemente dimostrato da uno degli autori in [JZ20]). Questo teorema richiede di mostrare che, per l'immersione $\mathbb{F}_p[[G]] \hookrightarrow Q$:

  1. $\text{Tor}_1^{\mathbb{F}_p[[G]]}(Q, Q) = 0$.
  2. Ogni sottomodulo finitamente generato di $Q$ ha una risoluzione libera di lunghezza limitata (proprietà di tipo FP).

• Approssimazione di Lück:
  Per dimostrare l'uguaglianza $irk = rk_G$, viene utilizzata una tecnica di approssimazione tramite quozienti finiti, sfruttando la continuità delle valutazioni non archimedee definite sul campo di divisione $Q$.

3. Risultati Chiave

• Teorema 1.1 (Risultato Principale):
  Sia $G$ un gruppo pro-$p$ torsion-free finitamente generato che contiene un sottogruppo aperto libero-ciclico pro-$p$. Allora:

  1. $\mathbb{F}_p[[G]]$ è un dominio di Sylvester.
  2. Il rango interno coincide con il rango di Sylvester del gruppo: $irk_{\mathbb{F}_p[[G]]} = rk_G$.

• Corollario 1.2 (Congettura di Atiyah pro-$p$):
  Per i gruppi descritti nel Teorema 1.1, il rango di Sylvester $rk_G$ assume solo valori interi. Questo conferma la congettura di Atiyah pro-$p$ (che prevede valori in $p^{-n}\mathbb{Z}$) per questa vasta classe di gruppi, estendendo i risultati noti precedentemente solo ai gruppi pro-$p$ residuamente analitici $p$-adici.

• Invarianza per Commensurabilità:
  Viene dimostrato che la proprietà di essere un dominio di Sylvester e l'uguaglianza $rk = irk$ sono invarianti per commensurabilità per gruppi pro-$p$ torsion-free. Ciò significa che se vale per un sottogruppo aperto, vale per tutto il gruppo.

• Approssimazione di Lück in Caratteristica Positiva:
  Il paper fornisce un caso particolare della congettura di approssimazione di Lück per sottogruppi astratti finitamente generati di gruppi liberi-ciclici pro-$p$. Si dimostra che il limite dei ranghi sui quozienti finiti coincide con il rango universale sull'algebra di gruppo.

4. Significato e Impatto

• Estensione dei Risultati di Cohn e Henneke-López-Álvarez:
  Mentre P. Cohn aveva dimostrato che le algebre di gruppi liberi sono domini di Sylvester, e Henneke-López-Álvarez avevano affrontato il caso dei gruppi liberi-ciclici astratti, questo lavoro risolve il caso pro-$p$ in caratteristica $p$, un contesto notoriamente più complesso a causa della mancanza di decomposizioni dirette come prodotti incrociati.

• Nuovi Casi per la Congettura di Atiyah:
  Il risultato fornisce una nuova e ampia classe di gruppi (inclusi i gruppi di Demushkin infiniti e i gruppi di superficie iperbolici) per cui la congettura di Atiyah pro-$p$ è vera e il rango è intero. Questo è un passo significativo verso la comprensione della struttura delle algebre di gruppo pro-$p$.

• Sviluppo di Nuove Tecniche:
  L'uso delle presentazioni "mild flag" e la costruzione esplicita di immersioni in campi di divisione tramite anelli di serie di potenze skew offrono strumenti potenti che potrebbero essere applicati ad altri problemi nella teoria dei gruppi pro-$p$ e nell'algebra omologica non commutativa.

• Connessione tra Teoria Astratta e Pro-$p$:
  Il lavoro illustra come risultati profondi nella teoria dei gruppi astratti (come la congettura di Hanna Neumann o le proprietà dei gruppi di superficie) abbiano analoghi e dimostrazioni parallele nel mondo pro-$p$, spesso richiedendo tecniche omologiche e di filtrazione più sofisticate.

In sintesi, il paper risolve un problema aperto fondamentale sulla struttura algebrica delle algebre di gruppi pro-$p$, fornendo una caratterizzazione completa per una classe significativa di gruppi e collegando la teoria dei ranghi di Sylvester alla congettura di Atiyah in caratteristica positiva.