Sylvester domains and pro-$p$ groups

Resumen Técnico: Dominios de Sylvester y Grupos Pro-p

1. Planteamiento del Problema

El objetivo central del artículo es determinar bajo qué condiciones el álgebra de grupo completada $\mathbb{F}_p[[G]]$ de un grupo pro-$p$ $G$ es un dominio de Sylvester.

• Definición Clave: Un dominio de Sylvester es un anillo $R$ donde la "rango interno" (inner rank, $\text{irk}_R$) de una matriz es una función de rango de Sylvester. Esto implica que $R$ posee un anillo de división universal de fracciones $D_R$ en el que se incrusta, y donde el rango de cualquier matriz coincide con su rango interno.
• Contexto: Se sabe que si $G$ es un grupo libre, $\mathbb{F}_p[[G]]$ es un dominio de Sylvester (resultado de P. Cohn). El artículo busca extender esto a la clase de grupos pro-$p$ libres por $\mathbb{Z}_p$ (grupos que tienen un subgrupo normal libre con cociente isomorfo a $\mathbb{Z}_p$).
• Conjeturas Relacionadas: El problema está intrínsecamente ligado a la Conjetura de Atiyah pro-$p$ (que predice que el rango de Sylvester toma valores en enteros para grupos sin torsión) y a la Conjetura de Kaplansky pro-$p$ (ausencia de divisores de cero no triviales).

2. Metodología y Herramientas Principales

Los autores emplean una combinación de teoría de grupos pro-$p$, álgebra homológica y teoría de anillos no conmutativos. La estrategia se divide en varios pasos técnicos:

• Estructura de Anillos de Series Potencias Sesgadas:
  Para un grupo $G$ libre por $\mathbb{Z}_p$ con núcleo libre $N$, el álgebra completada $\mathbb{F}_p[[G]]$ se descompone como un anillo de series potencias sesgadas (skew power series ring):
  $$\mathbb{F}_p[[G]] \cong \mathbb{F}_p[[N]][[s; \sigma, \delta]]$$
  donde $\sigma$ es un automorfismo de conjugación y $\delta$ es una derivación interna. Esto reemplaza la descomposición de producto cruzado que existe en el caso de grupos abstractos, la cual no es válida directamente en el contexto pro-$p$.

• Presentaciones "Mild Flag" (Banderas Suaves):
  Los autores introducen y utilizan la noción de presentaciones mild flag para grupos pro-$p$. Demuestran que todo grupo libre por $\mathbb{Z}_p$ finitamente generado tiene un subgrupo abierto que admite tal presentación. Estas presentaciones permiten describir el anillo graduado asociado $\text{Gr}(\mathbb{F}_p[[G]])$ como un anillo de polinomios sesgados sobre un álgebra libre, lo cual es crucial para probar propiedades de dominio.

• Construcción de Incrustaciones Universales:
  El núcleo de la prueba consiste en construir una cadena de incrustaciones:

  1. Desde $\mathbb{F}_p[[N]]$ hasta un álgebra libre de series de potencias $\Lambda[[t]]$.
  2. Hasta el anillo de división universal $D$ del álgebra libre $\Lambda$.
  3. Finalmente, hasta un anillo de fracciones clásico $Q$ de un anillo de series sesgadas sobre $D$.
     Esta construcción permite incrustar $\mathbb{F}_p[[G]]$ en un anillo de división (o un anillo de Artin en el caso general), lo cual es esencial para verificar las condiciones de Sylvester.

• Criterios Homológicos (Teorema 2.8):
  Utilizan un criterio homológico (Teorema 2.8 de [JZ20]) para demostrar que un anillo es un dominio de Sylvester. Esto requiere probar que:

  1. $\text{Tor}_1^S(U, U) = 0$ para una incrustación $S \to U$.
  2. Ciertas submódulos finitamente generados son libres.
     Los autores demuestran estas propiedades utilizando la teoría de módulos filtrados y el comportamiento de los grupos de Tor en el anillo graduado asociado.

3. Resultados Principales

Teorema 1.1 (Resultado Central):
Sea $G$ un grupo pro-$p$ sin torsión, finitamente generado, que contiene un subgrupo abierto libre por $\mathbb{Z}_p$. Entonces:

1. $\mathbb{F}_p[[G]]$ es un dominio de Sylvester.
2. El rango interno coincide con el rango de Sylvester de von Neumann: $\text{irk}_{\mathbb{F}_p[[G]]} = \text{rk}_G$.

Corolario 1.2 (Consecuencia para la Conjetura de Atiyah):
Bajo las mismas hipótesis, el rango $\text{rk}_G$ toma únicamente valores enteros. Esto confirma la conjetura de Atiyah pro-$p$ para esta nueva clase de grupos.

Invariancia de Conmensurabilidad:
Se demuestra que la propiedad de ser un dominio de Sylvester (y la igualdad $\text{rk} = \text{irk}$) es un invariante de conmensurabilidad para grupos pro-$p$ sin torsión. Es decir, si un grupo tiene un subgrupo abierto con esta propiedad, todo el grupo la posee.

Caso de Grupos Analíticos p-ádicos:
El artículo caracteriza que para un grupo pro-$p$ analítico $p$-ádico no trivial, $\mathbb{F}_p[[G]]$ es un dominio de Sylvester si y solo si $G$ es libre por cíclico (es decir, $G \cong \mathbb{Z}_p$ o $G \cong \mathbb{Z}_p \rtimes \mathbb{Z}_p$).

4. Aplicaciones y Significado

• Aproximación de Lück en Característica Positiva:
  El resultado permite establecer un caso particular de la conjetura de aproximación de Lück para subgrupos abstractos finitamente generados de grupos libres por $\mathbb{Z}_p$ pro-$p$. Específicamente, para un subgrupo $\Gamma$ y una cadena de subgrupos normales de índice finito, el límite de los rangos sobre los cocientes finitos converge al rango sobre el anillo de grupo universal.
  $$\lim_{i \to \infty} \text{rk}_{\Gamma/H_i}(A) = \text{rk}_{\mathbb{F}_p[\Gamma]}(A)$$

• Avance en la Teoría de Anillos de Grupos:
  Proporciona una nueva clase de anillos de grupos completados que son dominios de Sylvester, extendiendo los resultados conocidos para grupos libres. Esto es significativo porque, a diferencia de los anillos de grupos abstractos, la estructura de los anillos de grupos pro-$p$ es mucho más rígida y difícil de analizar debido a la topología.

• Nuevas Técnicas de Incrustación:
  La construcción de la incrustación en el anillo de división $Q$ mediante el uso de anillos de series sesgadas y localización de Ore en el contexto de anillos profinitos (incluyendo el Apéndice sobre topologías de Hausdorff en localizaciones) constituye una contribución metodológica importante que puede ser aplicada a otros problemas en teoría de grupos pro-$p$.

5. Conclusión

El artículo resuelve positivamente la pregunta sobre cuándo $\mathbb{F}_p[[G]]$ es un dominio de Sylvester para una amplia clase de grupos pro-$p$ (libres por $\mathbb{Z}_p$ y sus subgrupos abiertos). Al hacerlo, no solo confirma la conjetura de Atiyah pro-$p$ para estos casos, sino que también establece una conexión robusta entre la estructura algebraica de los anillos de grupos completados y la teoría de aproximación de Lück en característica positiva, un área donde los resultados eran anteriormente escasos.