Sylvester domains and pro-$p$ groups

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des groupes pro-$p$ et de l'algèbre non commutative. Le problème central est de déterminer pour quels groupes pro-$p$ $G$ l'algèbre de groupe complétée $\mathbb{F}_p[[G]]$ est un domaine de Sylvester.

• Définition clé : Un anneau $R$ est un domaine de Sylvester si sa fonction de rang interne (inner rank), notée $\text{irk}_R$, satisfait les axiomes d'une fonction de rang de Sylvester (généralisant le rang matriciel sur un corps). Cela implique l'existence d'un corps de fractions universel $D_R$ dans lequel $R$ s'injecte, tel que le rang d'une matrice sur $D_R$ coïncide avec son rang interne sur $R$.
• Contexte antérieur : Il est connu que si $F$ est un groupe libre, $\mathbb{F}_p[[F]]$ est un domaine de Sylvester. Pour les groupes libres par $\mathbb{Z}$ (discrets), la question est liée à la liberté des modules projectifs.
• Objectif : Étendre ces résultats aux groupes pro-$p$ qui sont libres par $\mathbb{Z}_p$ (c'est-à-dire possédant un sous-groupe normal libre de type fini tel que le quotient soit isomorphe à $\mathbb{Z}_p$) et plus généralement aux groupes virtuellement libres par $\mathbb{Z}_p$.
• Conjectures liées : Ce travail touche à la conjecture d'Atiyah pro-$p$ (qui prédit que le rang de von Neumann $\text{rk}_G$ prend des valeurs entières pour les groupes sans torsion) et à la conjecture de Kaplansky pro-$p$ (absence de diviseurs de zéro non triviaux).

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinant l'algèbre homologique, la théorie des anneaux filtrés et la théorie des groupes pro-$p$.

A. Réduction aux sous-groupes ouverts

Grâce à des résultats de commensurabilité (Section 3), ils montrent que la propriété d'être un domaine de Sylvester et l'égalité $\text{rk}_G = \text{irk}_{\mathbb{F}_p[[G]]}$ sont des invariants de commensurabilité. Il suffit donc de prouver le théorème pour un sous-groupe ouvert. Cela permet de se concentrer sur les groupes admettant une présentation "flag" légère (mild flag presentation).

B. Décomposition en séries de puissances gauches

Pour un groupe $G$ libre par $\mathbb{Z}_p$ avec noyau libre $N$, l'algèbre $\mathbb{F}_p[[G]]$ n'est pas un produit croisé simple comme dans le cas discret. Les auteurs la décomposent comme un anneau de séries de puissances gauches (skew power series ring) :
$$\mathbb{F}_p[[G]] \cong \mathbb{F}_p[[N]][[s; \sigma, \delta]]$$
où $s$ correspond à un générateur du quotient $\mathbb{Z}_p$, $\sigma$ est un automorphisme de conjugaison et $\delta$ est une dérivation intérieure.

C. Construction d'une immersion dans un corps de fractions

La stratégie principale (Sections 4 et 5) consiste à plonger $\mathbb{F}_p[[G]]$ dans un corps de fractions $Q$ via une chaîne d'immersions :

1. On utilise la notion de présentation légère (mild presentation) pour décrire l'anneau gradué associé $\text{Gr}(\mathbb{F}_p[[G]])$ comme un anneau de polynômes gauches sur une algèbre libre.
2. On plonge l'algèbre de groupe du noyau libre $\mathbb{F}_p[[N]]$ dans une algèbre de séries formelles sur une algèbre libre $\Lambda = \mathbb{F}_p\langle a_1, \dots \rangle$, puis dans son corps de fractions universel $D$.
3. On étend les opérateurs $\sigma$ et $\delta$ à $D[[t]]$ et on construit l'anneau $D[[t]][[s; \sigma, \delta]]$.
4. On montre que cet anneau est un domaine noethérien, admettant donc un anneau de fractions d'Ore classique $Q$, qui est un corps.

D. Critère homologique (Théorème 2.8)

Pour prouver que $\mathbb{F}_p[[G]]$ est un domaine de Sylvester, les auteurs appliquent un critère homologique (Théorème 2.8 de [JZ20]). Ils doivent vérifier deux conditions pour l'immersion $\mathbb{F}_p[[G]] \to Q$ :

1. $\text{Tor}_1^{\mathbb{F}_p[[G]]}(Q, Q) = 0$.
2. Tout sous-module de type fini de $Q$ est libre (ou projectif) sur $\mathbb{F}_p[[G]]$.
   Ces propriétés sont démontrées en utilisant la structure filtrée de l'anneau et des résultats de vanishing des groupes de Tor sur l'anneau gradué associé (Section 6).

E. Égalité des rangs

Enfin, ils prouvent que le rang interne $\text{irk}$ coïncide avec le rang de von Neumann $\text{rk}_G$ (Section 7). Cela repose sur une approximation par des quotients finis et l'utilisation d'une valuation non archimédienne sur le corps $Q$ pour contrôler la dimension des modules.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Résultat Central)

Soit $G$ un groupe pro-$p$ de type fini, sans torsion, contenant un sous-groupe ouvert libre par $\mathbb{Z}_p$. Alors :

1. L'algèbre complétée $\mathbb{F}_p[[G]]$ est un domaine de Sylvester.
2. Le rang interne coïncide avec le rang de von Neumann : $\text{irk}_{\mathbb{F}_p[[G]]} = \text{rk}_G$.

Corollaire 1.2 (Conjecture d'Atiyah)

Pour un tel groupe $G$, le rang $\text{rk}_G$ ne prend que des valeurs entières. Cela confirme la conjecture d'Atiyah pro-$p$ pour cette classe de groupes.

Proposition 2.1 (Exemples)

Les auteurs construisent des exemples explicites de groupes pro-$p$ sans torsion qui sont virtuellement libres par $\mathbb{Z}_p$ mais pas libres par $\mathbb{Z}_p$ eux-mêmes (via des complétions pro-$p$ de groupes discrets comme $\Gamma_e = \langle a, b, x, y \mid [a, b]^e = [x, y]^e \rangle$).

Application à l'approximation de Lück (Théorème 8.1)

Pour tout sous-groupe abstrait de type fini $\Gamma$ d'un groupe libre par $\mathbb{Z}_p$ pro-$p$, l'approximation de Lück en caractéristique $p$ est valide :
$$\lim_{i \to \infty} \text{rk}_{\Gamma/H_i}(A) = \text{rk}_{\mathbb{F}_p[\Gamma]}(A)$$
où $H_i$ est une chaîne de sous-groupes normaux d'indice fini.

4. Signification et Contributions

1. Extension des résultats de Cohn et Henneke-López-Álvarez : Alors que le cas des groupes libres et des groupes libres par $\mathbb{Z}$ discrets était partiellement résolu, ce papier établit le résultat pour la version pro-$p$ avec des méthodes spécifiques à la topologie pro-$p$ (séries de puissances gauches au lieu de produits croisés).
2. Nouveaux cas pour la conjecture d'Atiyah : Le résultat fournit une nouvelle classe importante de groupes (les groupes virtuellement libres par $\mathbb{Z}_p$ sans torsion) pour lesquels la conjecture d'Atiyah pro-$p$ est vraie, étendant les résultats connus sur les groupes de Demushkin.
3. Technique de plongement universel : La construction explicite d'un plongement de $\mathbb{F}_p[[G]]$ dans un corps de fractions $Q$ via des anneaux de séries gauches et la vérification des conditions de Tor est une avancée technique majeure. Elle contourne l'absence de décomposition en produit croisé dans le cadre pro-$p$.
4. Lien entre algèbre et topologie : L'article démontre comment les propriétés algébriques fines (domaine de Sylvester) découlent de la structure géométrique du groupe (présentations légères, filtration de Zassenhaus).
5. Résolution partielle de la conjecture de Kaplansky : Puisque tout domaine de Sylvester est sans diviseurs de zéro, le théorème confirme la conjecture de Kaplansky pro-$p$ pour cette classe de groupes.

En résumé, cet article établit un pont solide entre la théorie des groupes pro-$p$, l'algèbre homologique et la théorie des anneaux non commutatifs, fournissant des outils puissants pour l'étude des invariants de rang et des approximations de Lück en caractéristique positive.