Logistic Map Pseudo Random Number Generator in FPGA

Sintesi Tecnica: Generatore di Numeri Pseudo-Casuali basato sulla Mappa Logistica in FPGA

Definizione del Problema
Il progetto affronta la necessità di un generatore di numeri pseudo-casuali (PRNG) affidabile, adatto all'implementazione su hardware digitale, nello specifico su Field-Programmile Gate Arrays (FPGA). Sebbene i sistemi caotici siano noti per la loro sensibilità alle condizioni iniziali (seed) e l'imprevedibilità deterministica, generare output che seguano una specifica distribuzione statistica — in particolare una distribuzione Gaussiana (Normale) — rimane una sfida. Gli output caotici tradizionali spesso presentano dipendenze tra i valori successivi, complicando l'applicazione diretta del Teorema del Limite Centrale (CLT). Inoltre, l'implementazione di equazioni caotiche continue su FPGA è difficile a causa della dipendenza dell'hardware dall'aritmetica discreta intera piuttosto che dai decimali in virgola mobile.

Metodologia
Gli autori hanno sviluppato un sistema PRNG basato sulla mappa logistica, un modello caotico definito dall'equazione $x_{n+1} = r \cdot x_n(1 - x_n)$. L'implementazione ha seguito un approccio top-down utilizzando Verilog HDL su una scheda CMOD-A7 FPGA.

1. Adattamento dell'Algoritmo:

   • Mappa Logistica: Per adattarsi ai vincoli dell'FPGA, la mappa logistica continua è stata riscalata in un dominio di interi a 16 bit (da 0 a 65.535). Il parametro $r$ è stato impostato a 4 per garantire il comportamento caotico.
   • Trasformazione Gaussiana: Per trasformare l'output caotico in una distribuzione Gaussiana, gli autori hanno applicato una tecnica di Media Mobile Esponenzialmente Pesata (EWMA). Questo metodo smussa i dati e mitiga le correlazioni tra i valori successivi, permettendo teoricamente l'applicazione del CLT alle variabili dipendenti. La formula EWMA utilizzata era $EWA_t = \alpha \cdot r_t + (1 - \alpha) \cdot EWA_{t-1}$, con $\alpha$ impostato a $40/50$ sulla base di simulazioni preliminari in Julia.
   • Generazione del Seed: Il sistema utilizza un seed in tempo reale derivato da un sensore a microfono XADC, che cattura il volume del suono ambientale. Ciò garantisce che le condizioni iniziali siano dinamiche e dipendenti dall'ambiente fisico.

2. Implementazione Hardware:

   • L'architettura del sistema include moduli per la mappa logistica caotica (chaotic_Lmap), la media EWMA (EWMA_avg), un trasmettitore UART per il logging dei dati, un driver per display a 7 segmenti per la visualizzazione e generatori di clock.
   • Un ciclo di feedback nel modulo top assicura che l'output della mappa logistica alimenti il proprio input per la generazione iterativa.
   • I dati vengono trasmessi tramite UART a un laptop, dove uno script Python raccoglie gli interi a 16 bit, costruisce un istogramma e sovrappone una curva di distribuzione normale teorica per la verifica.

3. Configurazione Fisica:

   • Il team ha progettato e stampato in 3D un involucro conico per ospitare il microfono e la scheda FPGA. Questa struttura concentra il suono proveniente dallo speaker di un telefono verso il microfono, amplificando il segnale per generare seed robusti per il PRNG.

Contributi Chiave

• Implementazione FPGA di un PRNG Caotico: La riuscita traduzione della mappa logistica e dell'algoritmo EWMA in un design funzionale in Verilog HDL su una FPGA CMOD-A7.
• Distribuzione Gaussiana tramite CLT: La dimostrazione che l'applicazione di EWMA agli output della mappa logistica caotica può produrre una distribuzione Gaussiana, validata tramite simulazione hardware e raccolta dati reali.
• Seeding guidato da Sensori: L'integrazione di un sensore analogico (microfono) tramite XADC per fornire un seed dinamico e dipendente dall'ambiente, andando oltre l'inizializzazione statica o puramente algoritmica.
• Sistema di Verifica End-to-End: Un flusso di lavoro completo, dalla generazione hardware all'analisi software (grafico dell'istogramma in Python), per verificare le proprietà statistiche dei numeri generati.

Risultati
Il sistema è stato testato durante un tempo di esecuzione di circa 5 minuti (circa 60 iterazioni di raccolta dati per l'analisi iniziale). I risultati hanno mostrato che gli output del PRNG presentavano costantemente una distribuzione Gaussiana.

• Verifica Visiva: Gli istogrammi dei dati ricevuti tramite UART si sovrapponevano strettamente alla curva di distribuzione normale teorica calcolata utilizzando la media e la deviazione standard dei dati.
• Casualità: I grafici delle serie temporali dei valori di output non mostravano pattern periodici, confermando la natura caotica della sequenza.
• Limitazioni: Gli autori osservano che, sebbene l'adattamento alla curva Gaussiana sia stato efficace, un tempo di esecuzione più lungo (migliaia di iterazioni) avrebbe probabilmente prodotto un istogramma più fluido e preciso.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene di aver dimostrato l'utilità pratica ed l'efficacia dei sistemi caotici, specificamente della mappa logistica, nell'ambito della generazione di numeri pseudo-casuali all'interno di hardware digitale. Integrando con successo il Teorema del Limite Centrale con lo smoothing EWMA su un'FPGA, il progetto valida un metodo per generare numeri pseudo-casuali con distribuzione Gaussiana da una sorgente deterministica caotica. Il lavoro evidenzia il potenziale dell'uso di modelli caotici semplici combinati con tecniche di smoothing statistico per creare PRNG efficienti, affidabili e implementabili via hardware, che possono essere alimentati da fenomeni fisici del mondo reale.