Logistic Map Pseudo Random Number Generator in FPGA

Resumo Técnico: Gerador de Números Pseudoaleatórios de Mapa Logístico em FPGA

Definição do Problema
O projeto aborda a necessidade de um gerador de números pseudoaleatórios (PRNG) confiável, adequado para implementação em hardware digital, especificamente em Matrizes de Portas Programáveis em Campo (FPGAs). Embora sistemas caóticos sejam conhecidos por sua sensibilidade às condições iniciais (sementes) e imprevisibilidade determinística, gerar saídas que sigam uma distribuição estatística específica — particularmente uma distribuição Gaussiana (Normal) — permanece um desafio. As saídas caóticas tradicionais frequentemente exibem dependências entre valores sucessivos, complicando a aplicação direta do Teorema do Limite Central (TLC). Além disso, implementar equações caóticas contínuas em FPGAs é difícil devido à dependência do hardware em aritmética de inteiros discretos em vez de decimais de ponto flutuante.

Metodologia
Os autores desenvolveram um sistema PRNG baseado no mapa logístico, um modelo caótico definido pela equação $x_{n+1} = r \cdot x_n(1 - x_n)$. A implementação seguiu uma abordagem top-down utilizando Verilog HDL em uma placa CMOD-A7 FPGA.

1. Adaptação do Algoritmo:

   • Mapa Logístico: Para acomodar as restrições da FPGA, o mapa logístico contínuo foi reescalonado para um domínio de inteiro de 16 bits (0 a 65.535). O parâmetro $r$ foi definido como 4 para garantir o comportamento caótico.
   • Transformação Gaussiana: Para transformar a saída caótica em uma distribuição Gaussiana, os autores aplicaram uma técnica de Média Móvel Exponencialmente Ponderada (EWMA). Este método suaviza os dados e mitiga as correlações entre valores sucessivos, permitendo teoricamente que o TLC se aplique às variáveis dependentes. A fórmula EWMA utilizada foi $EWA_t = \alpha \cdot r_t + (1 - \alpha) \cdot EWA_{t-1}$, com $\alpha$ definido como $40/50$ com base em simulações preliminares em Julia.
   • Geração de Semente: O sistema utiliza uma semente em tempo real derivada de um sensor de microfone XADC, que captura o volume do som ambiente. Isso garante que as condições iniciais sejam dinâmicas e dependentes do ambiente físico.

2. Implementação de Hardware:

   • A arquitetura do sistema inclui módulos para o mapa logístico caótico (chaotic_Lmap), a média EWMA (EWMA_avg), um transmissor UART para registro de dados, um driver de display de 7 segmentos para visualização e geradores de clock.
   • Um laço de feedback no módulo principal garante que a saída do mapa logístico alimente sua própria entrada para geração iterativa.
   • Os dados são transmitidos via UART para um laptop, onde um script Python coleta os inteiros de 16 bits, constrói um histograma e sobrepõe uma curva de distribuição normal teórica para verificação.

3. Configuração Física:

   • A equipe projetou e imprimiu em 3D uma carcaça cônica para abrigar o microfone e a placa FPGA. Esta estrutura concentra o som de um alto-falante de celular no microfone, amplificando o sinal para gerar sementes robustas para o PRNG.

Principais Contribuições

• Implementação em FPGA de PRNG Caótico: A tradução bem-sucedida do mapa logístico e do algoritmo EWMA para um design funcional em Verilog HDL em uma FPGA CMOD-A7.
• Distribuição Gaussiana via TLC: A demonstração de que aplicar EWMA às saídas do mapa logístico caótico pode resultar em uma distribuição Gaussiana, validada através de simulação de hardware e coleta de dados do mundo real.
• Semeadura Impulsionada por Sensores: A integração de um sensor analógico (microfone) via XADC para fornecer uma semente dinâmica e dependente do ambiente, indo além da inicialização puramente algorítmica ou estática.
• Sistema de Verificação de Ponta a Ponta: Um fluxo de trabalho completo, desde a geração de hardware até a análise de software (plotagem de histograma em Python) para verificar as propriedades estatísticas dos números gerados.

Resultos
O sistema foi testado durante um tempo de execução de aproximadamente 5 minutos (cerca de 60 iterações de coleta de dados para a análise inicial). Os resultados mostraram que as saídas do PRNG exibiram consistentemente uma distribuição Gaussiana.

• Verificação Visual: Os histogramas dos dados recebidos via UART sobrepuseram-se de forma próxima à curva de distribuição normal teórica calculada usando a média e o desvio padrão dos dados.
• Aleatoriedade: Gráficos de séries temporais dos valores de saída não mostraram padrões periódicos, confirmando a natureza caótica da sequência.
• Limitações: Os autores observam que, embora o ajuste à curva Gaussiana tenha sido bem-sucedido, um tempo de execução mais longo (milhares de iterações) provavelmente produziria um histograma mais suave e preciso.

Significância e Alegações
O artigo afirma demonstrar a utilidade prática e eficácia de sistemas caóticos, especificamente o mapa logístico, no âmbito da geração de números pseudoaleatórios dentro de hardware digital. Ao integrar com sucesso o Teorema do Limite Central com o suavizamento EWMA em uma FPGA, o projeto valida um método para gerar números pseudoaleatórios com distribuição Gaussiana a partir de uma fonte determinística caótica. O trabalho destaca o potencial de usar modelos caóticos simples combinados com técnicas de suavização estatística para criar PRNGs eficientes, confiáveis e implementáveis em hardware que podem ser semeados por fenômenos físicos do mundo real.